□文/周 軍

基于龐得里亞金極值原理的企業(yè)資本結(jié)構(gòu)動態(tài)最優(yōu)控制

□文/周 軍

本文從企業(yè)最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)調(diào)整的成本視角出發(fā)，建立最優(yōu)控制模型，運(yùn)用龐得里亞金極值原理進(jìn)行求解，推導(dǎo)出企業(yè)資本結(jié)構(gòu)調(diào)整的動態(tài)最優(yōu)控制路徑和最優(yōu)狀態(tài)路徑，并對其結(jié)果進(jìn)行經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。

企業(yè)資本結(jié)構(gòu)；最優(yōu)控制；龐得里亞金極值原理

一、引言

資本結(jié)構(gòu)不合理是中國企業(yè)存在的普遍現(xiàn)象，非上市國有企業(yè)、上市公司和中小企業(yè)三大群體分別以債務(wù)融資、股權(quán)融資、個人資本為主的三元化融資趨勢依然明顯，由此形成的資本結(jié)構(gòu)與以企業(yè)價值最大化為目標(biāo)的資本結(jié)構(gòu)相去甚遠(yuǎn)。作為公司金融理論探討的核心內(nèi)容，研究如何實現(xiàn)企業(yè)資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化不僅是國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)，也是提高企業(yè)資本配置效率，增強(qiáng)企業(yè)價值創(chuàng)造能力亟須解決的問題。

資本結(jié)構(gòu)是一個多變量、多層次、多因素集約而成的復(fù)合性系統(tǒng)，在一定時點(diǎn)上觀察，企業(yè)的資本結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出靜態(tài)特征，表現(xiàn)為權(quán)益資本和負(fù)債二者之間的比例關(guān)系；從一段時期上觀察，資本結(jié)構(gòu)又表現(xiàn)為明顯的動態(tài)屬性。根據(jù)企業(yè)內(nèi)部資本組成的狀態(tài)不同，可分為靜態(tài)資本結(jié)構(gòu)和動態(tài)資本結(jié)構(gòu)。靜態(tài)資本結(jié)構(gòu)反映某一時點(diǎn)上企業(yè)全部資金來源的構(gòu)成及比例關(guān)系?，F(xiàn)代資本結(jié)構(gòu)理論主要是從靜態(tài)角度，以各種假設(shè)前提為基礎(chǔ)，分析企業(yè)債務(wù)與權(quán)益的比例關(guān)系，認(rèn)為只要企業(yè)資本總量不變，已實現(xiàn)的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)就應(yīng)保持不變，并未考慮外界經(jīng)濟(jì)環(huán)境與企業(yè)自身生產(chǎn)經(jīng)營條件的變化對資本結(jié)構(gòu)的影響。事實上，影響資本結(jié)構(gòu)的諸多因素都是變量，即使資本總量不變，企業(yè)也不能以不變的資本結(jié)構(gòu)應(yīng)萬變。動態(tài)資本結(jié)構(gòu)則是企業(yè)依據(jù)獲取的資金特征及時合理地調(diào)整各類資金來源的即時結(jié)構(gòu)。由于企業(yè)資金總是處于不停的變化中，因此靜態(tài)資本結(jié)構(gòu)往往只是動態(tài)資本結(jié)構(gòu)在某一時點(diǎn)上的體現(xiàn)，或者說是動態(tài)資本結(jié)構(gòu)運(yùn)行的結(jié)果。顯然，合理的資本結(jié)構(gòu)應(yīng)該是靈活的、富有彈性的，能夠根據(jù)外部環(huán)境的變化和企業(yè)戰(zhàn)略的需要進(jìn)行適時的調(diào)整，達(dá)到運(yùn)動中的“最優(yōu)”。而資本結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化需要解決這樣的問題：在整個規(guī)劃期間內(nèi)的每個時期（離散時間情形）中，或者在給定時間區(qū)間內(nèi)的每一時刻（連續(xù)時間情形），甚至可以考慮無限時間計劃水平，企業(yè)資產(chǎn)負(fù)債率的動態(tài)最優(yōu)解。這樣，動態(tài)優(yōu)化問題的解通常具有如下形式：對于企業(yè)融資決策，最終會有一條資本結(jié)構(gòu)的最優(yōu)時間路徑，即計劃期每一時刻的最優(yōu)值。

但是，企業(yè)資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化需要通過一系列交易行為來實現(xiàn)，無論是單獨(dú)調(diào)整債務(wù)或權(quán)益數(shù)量，還是同時變動，都需要付出交易成本。因此，本文將從企業(yè)最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)調(diào)整的成本視角出發(fā)，建立最優(yōu)控制模型，運(yùn)用龐得里亞金極值原理進(jìn)行求解，并就其結(jié)果進(jìn)行經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋，為提高公司治理水平提供參考。

二、最優(yōu)控制模型建立及求解

資本結(jié)構(gòu)是長期融資行為的結(jié)果，向最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)的調(diào)整也是一個長期漸進(jìn)的過程。對企業(yè)而言，與最優(yōu)負(fù)債權(quán)益比存在差距是必然的。由于最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)是動態(tài)變化著的，所以企業(yè)不可能時刻都保持著最佳負(fù)債權(quán)益比，而且企業(yè)不可能在很短時間內(nèi)轉(zhuǎn)變現(xiàn)有融資行為，將資本結(jié)構(gòu)調(diào)整到理想狀態(tài)。

動態(tài)優(yōu)化的目的是在修正原有融資戰(zhàn)略實施的過程中，對資本結(jié)構(gòu)的偏離予以適時修正，使融資戰(zhàn)略緊密圍繞可持續(xù)增長目標(biāo)，以適應(yīng)復(fù)雜多變的環(huán)境。動態(tài)優(yōu)化的實質(zhì)是一個戰(zhàn)略調(diào)整與控制過程，即通過對資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化影響因素的辨識，分析其對企業(yè)最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)的作用，從而通過債務(wù)與權(quán)益資本的增減變化對資本結(jié)構(gòu)進(jìn)行科學(xué)的調(diào)整，保持企業(yè)可持續(xù)發(fā)展的潛力，以實現(xiàn)企業(yè)價值最大化的總目標(biāo)。我們對最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)模型的表述，用X統(tǒng)一代表t時刻企業(yè)最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)的決定因素，建立如下函數(shù)關(guān)系：

其中，L*（t）表示企業(yè)在t時刻的最優(yōu)負(fù)債權(quán)益比率。由于不同企業(yè)具有不同的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)決定因素X，因此企業(yè)擁有各異的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)。而且對于同一家企業(yè)來說，X隨時間t的變動而變化，其最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)在不同時期也將有所差別。理想情況中，公司在t時刻的資本結(jié)構(gòu)觀測值L（t）應(yīng)當(dāng)?shù)扔谄渥顑?yōu)資本結(jié)構(gòu)L*（t）。在企業(yè)調(diào)整資本結(jié)構(gòu)的背景下，公司的資本結(jié)構(gòu)從上一期 L（t-1）調(diào)整到當(dāng)期 L（t）的實際調(diào)整額（L（t）－L（t-1）），應(yīng)當(dāng)?shù)扔谡{(diào)整到當(dāng)期的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)L*（t）所需要的調(diào)整額（L*（t）-L（t-1））。不過，由于資本結(jié)構(gòu)調(diào)整成本等干擾因素的存在，企業(yè)在每一期不是將資本結(jié)構(gòu)調(diào)整到最優(yōu)值，而是只調(diào)整一部分，由此引入一個部分調(diào)整模型，即調(diào)整參數(shù)為δ（t）。

（3）式給出了資本結(jié)構(gòu)的動態(tài)調(diào)整模型，由該模型可以看出，企業(yè)實際資本結(jié)構(gòu)不僅受最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)的影響因素制約，還與上一期債務(wù)與權(quán)益的數(shù)量情況有關(guān)。為了找到資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化有效性的量度，本文將定義δ（t）為資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化速度，即每一特定時間內(nèi)企業(yè)實際資本結(jié)構(gòu)調(diào)整量與最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)調(diào)整量的比值，表示資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化的快慢。如果δ（t）＜0，說明實際資本結(jié)構(gòu)調(diào)整方向與最優(yōu)狀況相反，離最優(yōu)負(fù)債權(quán)益比差距越來越大；如果 0＜δ（t）＜1，說明實際調(diào)整方向相同，不過單位時間內(nèi)的幅度稍??；如果δ（t）＝1，說明實際與最優(yōu)狀態(tài)相符；如果 δ（t）＞1，則意味著調(diào)整速度過快，已經(jīng)超出目標(biāo)資本結(jié)構(gòu)。一般情況下，優(yōu)化速度將位于［0，1］之間，表示企業(yè)正在進(jìn)行著資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化的努力，但有很多因素制約著優(yōu)化速度。

我們可以把L（t）－L（t-1）看作L*，把L*（t）－L（t-1）用參數(shù) ω 代表，由-1≤L≤1，知 ω 的范圍為［-1，1］，因此資本結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化狀態(tài)變量需滿足：

另外，設(shè)初始時刻（t=0）企業(yè)資產(chǎn)負(fù)債率為L0，終止時刻狀態(tài)變量自由。根據(jù)資本結(jié)構(gòu)運(yùn)動導(dǎo)致的財務(wù)風(fēng)險和優(yōu)化的成本收益分析，結(jié)合漸進(jìn)穩(wěn)定性的內(nèi)涵，為了防止資本結(jié)構(gòu)過度調(diào)整帶來的負(fù)面效應(yīng)，我們把資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化速度的范圍設(shè)定為：

企業(yè)資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化需要通過一系列交易行為實現(xiàn)，無論是單獨(dú)調(diào)整債務(wù)或權(quán)益數(shù)量，還是同時變動，都需要付出交易成本。結(jié)合資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化行為的具體情況，我們把影響企業(yè)資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化的交易成本△E的因素簡化為四個特征性變量：交易數(shù)量、資產(chǎn)專用性程度、資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化的決策效率（源于委托代理問題）和市場不確定因素（即企業(yè)經(jīng)營者控制不到的隨機(jī)因素）。如果假設(shè)這四種特征性變量為 q，k，ρ，φ，則交易成本函數(shù)可以表示為：

需要說明的是，q指企業(yè)采取資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化行為所發(fā)生的交易額度，代表企業(yè)為達(dá)到資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化目的進(jìn)行的全部交易，既包括債務(wù)的改變，也包括權(quán)益的改變。同時，我們把q看作一個標(biāo)量，不區(qū)分優(yōu)化的方向。如果單位時間內(nèi)企業(yè)將債務(wù)權(quán)益比例調(diào)整到最優(yōu)，q=1；相反，若企業(yè)根本沒有進(jìn)行資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化行為，q=0，沒有產(chǎn)生交易成本；更一般的情況，企業(yè)采取資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化措施，但并沒有達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)，0

假設(shè)1：不考慮企業(yè)資產(chǎn)專用性程度和市場不確定因素的影響，只分析交易數(shù)量與交易成本之間的關(guān)系，優(yōu)化速度越快，單位時間內(nèi)交易額越大。

假設(shè)2：根據(jù)一般的交易成本經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，交易額越多，優(yōu)化行為的交易成本應(yīng)該越大，即 ?E/?q＞0；而且，隨著交易額的增加，交易成本增加得越快，即 ?2E/?q2＞0。

假設(shè)3：假定交易成本為最普通的成本函數(shù)，由兩部分組成：一是固定交易成本，即不隨交易量變化而改變的成本；二是可變交易成本，即隨著交易數(shù)量變化而改變的成本。有了這種劃分，可知當(dāng)交易量為零時，交易成本也為零；不過，一旦優(yōu)化行為發(fā)生，固定數(shù)量的交易成本就不可避免。

經(jīng)綜合考慮，企業(yè)資本結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)由兩部分內(nèi)容組成：一方面某一時期資本結(jié)構(gòu)與最優(yōu)資產(chǎn)負(fù)債率之間的差距導(dǎo)致了資本運(yùn)營的低效率（主要指除財務(wù)資本成本之外的代理成本、破產(chǎn)風(fēng)險等因素產(chǎn)生的低效率），這種低效率可表示為（L－L*），由于該數(shù)值可正可負(fù)，將其平方處理（L－L*）2作為資本運(yùn)營低效率產(chǎn)生的成本；另一方面在把交易成本看作二次線性函數(shù)、收益看作一次線性函數(shù)的條件下，資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化行為帶來的成本可表示為（pδ2-qδ+h），（p≥0，q≥0）。這樣，t時期企業(yè)資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化行為的總成本等于｛（L－L*）2＋（pδ2-qδ+h）｝，其中 L 為狀態(tài)變量資產(chǎn)負(fù)債率，δ為控制變量資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化速度。由于優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)一般為極大值，而我們得到的是時期t的總成本，所以加負(fù)號將成本最小問題轉(zhuǎn)化為最大值問題-（L－L*）2-（pδ2-qδ+h）。進(jìn)一步可得到企業(yè)資本結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)：

綜上，可以得到資本結(jié)構(gòu)調(diào)整的最優(yōu)控制模型：

其中，δ為外生控制變量。利用龐得里亞金極大值原理求極值問題，首先構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)：

有了 δ（t）解析表達(dá)式，再將其代入（8）式，可以得到狀態(tài)變量L（t）的表達(dá)式：

三、最優(yōu)狀態(tài)路徑與最優(yōu)控制路徑解釋

得到最優(yōu)控制路徑和最優(yōu)狀態(tài)路徑的數(shù)學(xué)解析式以后，還需要對計算結(jié)果進(jìn)行經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。對于最優(yōu)狀態(tài)路徑，由于時間T的資本結(jié)構(gòu)沒有加以限制，所以無法解出參數(shù)A的具體數(shù)值。為了更好地說明狀態(tài)變量變化，我們設(shè)L-L*=M，對公式（15）進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得：

1、資本結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化的最優(yōu)狀態(tài)路徑L可解釋為：資本結(jié)構(gòu)L將隨著時間動態(tài)變化，當(dāng) t=0 時，M＝L0－L*，即L＝L0；隨著時間 t的增加，公式（17）的分子逐漸變小，分母逐漸變大，說明L－L*＝M的值趨于減少，實際資本結(jié)構(gòu)與最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)的差距逐漸縮?。划?dāng)t→∞時，M=0?L=L*，說明資本結(jié)構(gòu)達(dá)到了最優(yōu)狀態(tài)。因此，在哈密爾頓函數(shù)下求解資本結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化模型得到的最優(yōu)狀態(tài)路徑表明，狀態(tài)變量L與L*最優(yōu)值之間的差距將呈遞減趨勢，企業(yè)資產(chǎn)負(fù)債率向著理論上的最優(yōu)值逐漸靠攏，當(dāng)時間增加到一定程度，實際資產(chǎn)負(fù)債率就會十分接近最優(yōu)值，直至?xí)r間趨近于無窮大時二者相等。盡管這里假定最優(yōu)值L*是固定不變的，如果賦予L*動態(tài)特征，其最優(yōu)狀態(tài)路徑是類似的，只不過狀態(tài)變量將不斷趨近于變動著的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)值。

2、最優(yōu)控制路徑的解釋：參考公式（14），由于前一個多項式為常數(shù)，資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化速度將隨后面多項式的數(shù)值-ω（L－L*）t/p改變發(fā)生變化。當(dāng) L＜L*時，-ω（L－L*）/p＞0，優(yōu)化速度 δ隨著時間的增加而提高，使得資本結(jié)構(gòu)L向最優(yōu)值 L*逼近；當(dāng) L＞L*時，-ω（L－L*）/p＜0，優(yōu)化速度為負(fù)，資本結(jié)構(gòu)即隨著時間增加而反方向變化，同樣推動著資本結(jié)構(gòu)L向最優(yōu)值L*的方向調(diào)整。優(yōu)化速度δ符號的正負(fù)變化，說明資本結(jié)構(gòu)將以最優(yōu)值為核心上下浮動，進(jìn)一步揭示了控制變量與狀態(tài)變量的內(nèi)在聯(lián)系：控制變量（資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化速度）約束著狀態(tài)變量（企業(yè)資產(chǎn)負(fù)債率）的變化，在最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)L*不變的條件下，控制的結(jié)果使?fàn)顟B(tài)變量圍繞其上下波動，在最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)隨時間不斷變化的條件下，控制變量同樣使企業(yè)資產(chǎn)負(fù)債率向著時變的最優(yōu)值進(jìn)行動態(tài)調(diào)整，使二者的差距保持在盡可能小的范圍內(nèi)。

四、結(jié)束語

本文從企業(yè)最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)調(diào)整的成本視角出發(fā)，建立最優(yōu)控制模型，運(yùn)用龐得里亞金極值原理進(jìn)行求解。利用傳統(tǒng)資本結(jié)構(gòu)理論解釋企業(yè)資本結(jié)構(gòu)的形成、影響因素，從“動態(tài)”視角，結(jié)合控制論、最優(yōu)控制原理、公司財務(wù)理論，對企業(yè)資本結(jié)構(gòu)的動態(tài)性、資本結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化的理論路徑以及企業(yè)資本結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化的實現(xiàn)機(jī)制進(jìn)行了闡述。研究表明，通過對企業(yè)資本結(jié)構(gòu)調(diào)整的成本與企業(yè)資本結(jié)構(gòu)之間的動態(tài)關(guān)系分析，可知最優(yōu)債務(wù)權(quán)益比將隨著內(nèi)外經(jīng)營環(huán)境的變化而發(fā)生改變，靜止地看待資本結(jié)構(gòu)是不全面，也是不合理的。企業(yè)資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化應(yīng)該是一個朝不斷變化著的目標(biāo)債務(wù)權(quán)益比例持續(xù)調(diào)整的動態(tài)過程。利用系統(tǒng)控制理論，將資本結(jié)構(gòu)視為動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是一種可行的選擇，這樣不僅使原本紛繁復(fù)雜的影響因素得以明確劃分，又賦予資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化擁有動態(tài)特征，更重要的是，以此推導(dǎo)出資本結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化的最優(yōu)狀態(tài)路徑和最優(yōu)控制路徑，為提高公司治理水平提供參考。

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[3]楊亞達(dá)，王明虎.資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化與資本運(yùn)營[M].大連：東北財經(jīng)大學(xué)出版社，2001.

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（作者單位：華僑大學(xué)經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院）