羅睿智,虎 剛,王全武
(1.北京控制工程研究所,北京100190;2.空間智能控制技術重點實驗室,北京100190;3.中國長城工業(yè)總公司,北京100195)
基于Δ-γ等效變換的SGCMG高速轉子軸向振動特性分析及驗證
羅睿智1,2,虎 剛3,王全武1
(1.北京控制工程研究所,北京100190;2.空間智能控制技術重點實驗室,北京100190;3.中國長城工業(yè)總公司,北京100195)
懸臂式單框架控制力矩陀螺(SGCMG)的軸向振動較為劇烈,頻率成分也比較復雜;由于這種SGCMG結構是由眾多串、并聯(lián),甚至橋聯(lián)的彈性構件組成的,因此難以建立其精確的軸向動力學模型.首先通過Δ-γ等效變換的方法,簡化了高速轉子的軸向串并聯(lián)關系,進而計算出其軸向剛度;其次詳細分析了系統(tǒng)激振源---預緊軸承各零部件的加工波紋所導致的預緊力的波動,并采用相互調幅的形式描述了該波動量;然后建立了高速轉子的軸向動力學方程;最后通過數(shù)值仿真和實測結果的對比驗證了分析的合理性和模型的有效性.
Δ-γ等效變換;軸承加工偏差;高速轉子;軸向振動;動力學建模
隨著航天科技的發(fā)展,對敏捷衛(wèi)星等航天器提出了更高的目標---高精度、高穩(wěn)定性和快速姿態(tài)機動.SGCMG在理論上能夠輸出大范圍的精細的控制力矩,因此它是實現(xiàn)上述目標的理想執(zhí)行機構.其主要由高速轉子、連接支架和低速伺服系統(tǒng)構成.其中高速轉子又包括:軸承組件、輪體、電機和殼體等,其外形如圖1的左圖所示,右圖示意了其內部結構.其中軸承組件是由安裝殼、內外加載套筒、定位角接觸球軸承以及左右鎖緊螺母和加載螺母等構成.在加載螺母的預緊力作用下,使得軸承組件中的各零部件產生預變形,目的在于預變形提高了定位角接觸球軸承的剛度,進而提高了高速轉子的集成剛度.在高速轉子運行過程中,輪體、電機轉子、軸承安裝殼及軸承外圈等零部件構成一個整體并高速旋轉---旋轉體,支撐于懸臂高速主軸上.
高速轉子是懸臂式SGCMG中儲存角動量的核心部件,同時也是影響衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定和指向精度的較大的干擾源[1-2].惡化了航天器內環(huán)境,降低了星上精密儀器的性能[1].尤其是它嚴重降低了高分辨率相機的成像質量[2],甚至會激發(fā)星上柔性結構的共振[3],因此必須抑制其振動.但是首先必須了解其振動特性.通過振動測試發(fā)現(xiàn)SGCMG的高速轉子的軸向振動相對較大.而且轉子的軸向干擾主要體現(xiàn)在軸向干擾力,而軸向干擾力矩的影響很?。?-5].文獻[5]等分析了高速轉子產生軸向振動的原因,并進行了初步的理論研究,但是文中并沒有給出參數(shù)確定的方法,也沒得到驗證.其實從圖1中可見高速轉子的結構復雜,難以直接計算其軸向剛度.文獻[6]針對軸承的振動情況進行研究,并指出軸承零件滾動表面的形狀偏差(包括橢圓度、棱圓度、波紋度和粗糙度等)是軸承振動量的最主要原因,不過其假設零件的綜合作用等于各個零件單獨作用的線性疊加,這使得模型輸出不能覆蓋所有的頻率成分,也沒得到試驗驗證.因此本文在線性假設的基礎上,首先采用Δ-γ等效變換法得到高速轉子系統(tǒng)的軸向剛度,其次分析了其軸向振源特性---軸承加工波紋.然后建立了高速轉子的軸向動力學模型,分析了其軸向振動特性,最后通過仿真和測試結果對比,驗證了模型的有效性和分析的合理性.
根據(jù)航天產品的結構特點和工況要求不妨作如下假設:(1)處于工作狀態(tài)的高速轉子的所有零部件的變形都在線彈性范圍內;(2)在預加載作用下,各個彈簧都處于預變形狀態(tài),并且任意工況都不會改變彈簧變形的極性;(3)在分析高速轉子的軸向剛度時,暫時忽略各個彈簧的質量和阻尼.
在上述假設的前提下將高速轉子中的所有零部件都等效為不同剛度的彈簧,其等效結構圖如圖2所示.由圖可見,各個彈簧構成復雜的串并聯(lián)和橋聯(lián)關系,難以直接寫出系統(tǒng)的軸向剛度.本文借助于Δ-γ等效變換的思想來計算系統(tǒng)的軸向剛度.
圖1 高速轉子的外形圖、內部結構示意圖及坐標系
圖2 轉子系統(tǒng)軸向質量-彈簧等效模型
顯然,圖2中包括若干個如圖3所示的星形γ和三角形Δ結構單元.下面進行Δ-γ等效變換.
等效變換的原則為:(1)三個端點中兩兩之間的相對位移相等;(2)任意兩端點之間的回復力相等.則任意兩點之間剛度相等.下面分三種情況分別進行等效分析.
圖3 三角形Δ-星形γ等效變換圖
1)在Δ中ab兩點間的剛度
Kya和Kyb串聯(lián)剛度為:
Kacb再與Kyc并聯(lián)剛度,即ab間的剛度為:
2)在γ中ab兩點間的剛度
由此可見,ab兩點之間的剛度等效關系式為:
1)在Δ中bc兩點間的剛度:
2)在γ中bc兩點間的剛度:
由此可見,bc兩點之間的剛度等效關系式為:
1)在Δ中ca兩點間的剛度:
2)在γ中ca兩點間的剛度:
由此可見,ca兩點之間的剛度等效關系式為:
根據(jù)等式(1)~(3)可解出將Δ單元等效變換為γ單元的等效變換剛度如下:
根據(jù)等式(1)~(4)可解出將γ單元等效變換為Δ單元的等效變換剛度如下:
總之,根據(jù)該等效變換原理可以實現(xiàn)彈簧中Δ單元和γ單元之間的任意等效變換.
高速轉子的軸向振動主要源自于:(1)定位角接觸球軸承的溝道和滾動體等的加工波紋都會引起軸向預緊力波動,使得軸承組件中的各零部件作壓縮-松弛交替變形,激發(fā)高速轉子的軸向振動;這是本文的重點.(2)高速轉子的懸臂支撐的因素使得兩軸承處的徑向支撐剛度不等,從而導致徑向振動對軸向的耦合,即徑向振動產生軸向的激振力,從而加劇軸向的振動.不過對于恒定轉速的高速轉子來說,這不是激振的重點,因此本文暫不予考慮.
構成軸承組件的各零部件幾乎全是處于拉伸-壓縮狀態(tài)的圓筒狀零件,其結構類型相對簡單.在結構參數(shù)的基礎上假設各筒狀零件都是等截面圓筒.對于等截面圓筒在承受拉壓力時產生的應力和應變的關系為:
其中,E為材料的彈性模量;L為該圓筒的長度.通過對式(6)變形可求得圓筒的軸向剛度為:
其中,d、D分別為該圓筒的內、外徑.根據(jù)式(7)可求得軸承安裝殼(shell)從圖1中的O截面到兩端面的軸向剛度分別為:
同理,外加載套筒(sleeve)的軸向剛度為:
內加載套筒的軸向剛度為:
高速主軸(shaft)從A端到根部C的軸向剛度為:
由于輪體包括輪緣、輪輻和輪轂三部分,而輪體的質心又主要取決于輪緣部分,它與輪輻構成端部帶集中質量的懸臂梁.在此不妨假設輪體的軸向剛度為Kywh,同時假設緩沖彈簧的剛度為Kyspr以及軸承的軸向剛度Kδa.
利用1節(jié)中的等效變換法,可見將高速轉子的高速軸向剛度模型等效簡化為圖4所示形式.根據(jù)式(4)很容易得到框1內Δ-γ等效剛度為:
圖4 等效模型的等效變換簡化圖
同理,可得到框2內Δ-γ等效剛度為:
則框3中O1點到O2點之間的剛度為:
則可將圖4結構進一步簡化為圖5所示模型:
圖5 等效結構圖的進一步簡化形式
事實上,簡化成彈簧的零件是有質量的,系統(tǒng)中也是存在阻尼的,則根據(jù)結構參數(shù)可得到軸承組件的質量m2,并在等效結構圖中加入阻尼項Cy1、Cy2.將系統(tǒng)最終簡化為如圖6所示的等效結構形式.其中兩彈簧的剛度分別為:
圖6 高速轉子的質量-彈簧-阻尼等效圖
根據(jù)假設(1)可知系統(tǒng)滿足線性疊加原理,故下面將在圖4所示的等效模型的基礎上,分析在A、B軸承的各零件的加工偏差的綜合位移波動量δyA1和δyB1的分別激勵下所引起的 O1點的振動位移.
A1O1B1C2O2路線的剛度為 KA11,滿足串聯(lián)關系:
A1A2O2路線的剛度為KA12,其滿足串聯(lián)關系:
A1點到固定點B2的剛度為KA1B2,其滿足關系:
顯然有:KA1B2δyA1=FyA1;則O2點的位移為:
則O1點的位移為:
B1O1A1A2O2路線的剛度為 KB11,其滿足串聯(lián)關系:
B1C2O2路線的剛度為KB12,其滿足串聯(lián)關系:
則B1點到固定點B2的剛度為KB1B2,其滿足關系:
顯然有:KB1B2δyB1=FyB1;則O2點的位移為:;則O1點的位移為:
軸承的加工偏差將使得軸承組件以如下諧波函數(shù)形式進行拉伸-壓縮振動,從而引起O1點振動:
目前某型號SGCMG中使用的P4級軸承溝道的圓度大都在0.5μm左右.而對剛度在10N/μm量級的預緊軸承組件來講,其溝道偏差所產生的預緊力的波動量達到5N左右.對于接觸角為15°的角接觸球軸承來說,該波動量在軸向的分量與之處于同一個量級.因此軸承加工偏差所激發(fā)軸向預緊力波動是激發(fā)軸向振動的主要原因.再根據(jù)軸承的結構關系,可以確定旋轉軸承所激發(fā)的頻率成分.
檢測的某一批軸承溝道的外形示意圖如圖7所示情形.從中可明顯看出:軸承溝道都存在明顯的一、二、三、四等低次諧波.在高速轉子運轉過程中,軸承零件滾動表面(包括內圈溝道、外圈溝道、滾動體表面和保持器的兜孔等)的加工偏差隨之旋轉,成為以2π為周期的周期函數(shù).因此可以將這些加工偏差展開成Fourier級數(shù):
Ej=,其中 j∈{內圈溝道,外圈溝道,滾動體,保持器}.
在小型SGCMG的高速轉子中,軸承內圈靜止,轉速ni=0,外圈旋轉,轉速 ne=n r/min.而其中正在使用的某軸承的參數(shù)如表1所示:
圖7 軸承溝道加工偏差示意圖
表1 軸承參數(shù)表
根據(jù)角接觸球軸承的結構形式可確定旋轉軸承將會激勵如下一些倍頻成分[7]:保持器旋轉頻率:λ1=0.59,滾動體自轉頻率:λ2=2.36,滾動體通過軸承內外圈的頻率分別為:λ3=6.6,λ4=4.4.這些倍頻的激振作用于高速轉子軸向,激發(fā)其軸向振動.
假設所有的加工偏差所激發(fā)的預緊力波動量互相調幅.并結合4.1和4.2的內容可得到A軸承的加工偏差產生的預緊力波動量(在考慮量綱為力F以及濾除其中的直流分量后)可表示為:
其中,λi∈{1,λ1,λ2,λ3,λ4} =Λ,nΛ表示集合Λ中元素個數(shù).KPLA為軸承的軸向預緊剛度;σA為與接觸角等因素相關的修正系數(shù).Ω為高速轉子的轉速,
同理,B軸承的加工偏差產生的預緊力的波動量可表示為:
Sλim、 αλinβλim和 ρA、ρB等是與軸承加工波紋相關的系數(shù).由于轉子系統(tǒng)振幅是轉子轉速的二次函數(shù)[3-4],則對于該線性系統(tǒng)來說,軸承加工波紋所產生的軸向預緊力波動量為:
激勵力的幅值和相位在很大程度上取決于軸承的加工精度、預緊力和轉速.可通過試驗數(shù)據(jù)辨識其中的參數(shù).尤其是其中的幅值可以通過頻譜辨識.甚至可以將其中的參數(shù)與軸承的加工偏差(比如軸承的圓度、波紋度、表面粗糙度等)直接對應.
針對圖6建立高速轉子的軸向動力學模型如下:
由此可計算預緊軸承的加工波紋所激發(fā)的高速轉子質心處的軸向振動位移y1及基座上受到的振動力FyST()t=Ky2y2+cy2˙y2.由于方程右邊的激勵形式較為復雜,本文采用ODE45求數(shù)值解.
下面通過數(shù)值仿真與試驗結果的對比來驗證分析的合理性和模型的有效性.
某型懸臂式SGCMG的部分結構參數(shù)如表2所示,經模態(tài)試驗和軸承的剛度試驗等計算得到其余零件的軸向剛度如表3所示.
經過計算可以得到圖6中的兩剛度分別為:Ky1≈1.4×107N/m,Ky2≈4.6×107N/m;A、B兩軸承的加工偏差對O1點振動位移的貢獻系數(shù)分別為:μA1O1≈0.996,μB1O1≈1.000.
根據(jù)結構參數(shù)可近似取輪體的質量及安裝殼的部分質量之和 m1≈4kg;軸承組件其余的總質量m2≈3kg.經模態(tài)試驗可大致估計高速轉子系統(tǒng)的軸向阻尼比為:ζ1=0.1、ζ2=0.1.則采用龍格庫塔法進行數(shù)值仿真,可得到高速轉子的軸向振動瀑布圖如圖8所示.其中上圖為高速轉子質心處的振動位移;下圖為高速轉子基座上輸出的波動力.它們在垂直方向的坐標范圍為:[0,3×10-7] m和[0,3] N.
表2 高速主軸的結構參數(shù)
表3 高速轉子中部分零部件的剛度
圖8 仿真所得軸向振動瀑布圖
利用Kistler9256CQ多分量測力臺及配套的信號調理等儀器和OROS的8通道數(shù)據(jù)采集設備OR35在精密隔振光學平臺上對某型SGCMG高速轉子進行微振動測試.測得軸向振動力的瀑布圖如圖9所示.其中橫、縱、鉛直坐標的范圍分別為:[0,600] Hz,[0,6000] r/m in,[0,12] N.
1)基座上的振動力幅值在10N量級,而高速轉子各零部件的剛度及系統(tǒng)的集成剛度都大于107N/m,根據(jù)胡克定律可估計各個零部件的變形都不大于微米量級,因此它們都處在所用材料的線彈性范圍內,故系統(tǒng)的軸向振動整體上表現(xiàn)為線性占主導.
2)仿真圖中從原點發(fā)出的放射線與測試結果中的放射線相吻合,覆蓋了測試圖中表現(xiàn)出來的幾乎所有的頻率成分,這在一定程度上證明軸向激振的頻率成分來源于預緊軸承的加工波紋.同時也表明“預緊軸承的加工波紋所激發(fā)的振動在數(shù)學上表現(xiàn)為相互調幅”的形式是有效的.
3)從測試圖9中可見,軸向振動力的低速響應比模型仿真中的響應要大,這主要是因為高速轉子的徑向模態(tài)頻率曲線、軸向的一階模態(tài)頻率曲線和軸承的加工波紋所產生低次倍頻激勵三者相交于圖9和圖10中的A點(270Hz);同時,由于懸臂式的不等剛度支撐的轉子系統(tǒng)的徑向和軸向振動耦合(即:2節(jié)中的第(2)振源:徑向振動對軸向的耦合),從而導致該處的微小激勵卻引起徑向振動和軸向振動在一定范圍內循環(huán)放大.下面給出徑向振動的一項測試結果,從對比中可以顯見三線相交于A點以及徑向和軸向振動耦合的存在.
圖9 試驗測得的軸向振動力瀑布圖
圖10 高速轉子徑向振動力瀑布圖
4)仿真圖和實測圖在幅值以及模態(tài)頻率的大小上還存在一定的差異,這可能是因為仿真中的參數(shù)取得與實際情況有一定差別,尤其是由預緊軸承的加工波紋所產生的激勵力的幅值和相位以及模型中的質量難以準確得到,這還需要后續(xù)的參數(shù)辨識.
5)測試圖和仿真圖中都表明:在模態(tài)頻率處的響應尖峰突出,因此減小高速轉子軸向振動的更有效的辦法是增加軸向阻尼.事實上,緩沖彈簧的剛度比輪體和預緊軸承等的軸向剛度都要大1個量級,其緩沖作用有限.
通過對SGCMG高速轉子軸向振動特性的分析可得到如下一些結論:
1)Δ-γ角等效變換有效解決了軸向剛度的計算難題,為建立準確的軸向動力學模型奠定了基礎.
2)預緊軸承的加工波紋導致了軸向預緊力的波動,進而激發(fā)高速轉子的軸向振動.而且由軸承的眾多零部件的加工波紋所產生的激振力在數(shù)學上表現(xiàn)為相互調幅.
3)所建立的動力學模型(二階線性非齊次微分方程組)基本反映了高速轉子這一分布式系統(tǒng)的軸向低階模態(tài),因此可以近似描述高速轉子的軸向振動.
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Axial Vibration Analysis and Validity of High-Speed Rotor of Cantilever SGCMG Based on a Triangle-Star Equivalent Transform ation
LUO Ruizhi1,2,HU Gang3,WANG Quanwu1
(1.Beijing Institute of Control Engineering,Beijing 100190,China;2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory,Beijing 100190,China;3.China GreatWall Industry Corporation, Beijing 100095,China)
Cantilever single gimbal control moment gyroscope(SGCMG)excites severe axial vibration which includes some complex frequency components.Because the SGCMG structure consists ofmany elastic members with series and parallel, even bridging connection, it is very difficult to directly establish its accurate axial dynamicsmodel.Firstly,the axial connection between components of high-speed rotor is simp lified by using themethod of equivalent transformation between the triangle and the star;thus,the axial stiffness of the rotor is calculated simply.Secondly,the exciting source for high-speed rotor vibration with the form of cross-amp litudemodulation was analyzed which derives from preloading bearing processing error.Third ly, the high-speed axial rotor axial dynam ics equations were established.Finally, validity of themodel is verified by comparing results of the numerical simulation based on themodel and the experimental test for cantilever SGCMG.
triangle-star equivalent transformation;bearing processing error;high-speed rotor;axial vibration;dynamicsmodeling
V4
A
1674-1579(2011)02-0014-07
10.3969/j.issn.1674-1579.2011.02.003
2011-02-10
羅睿智(1982-),男,四川人,碩士研究生,研究方向為慣性執(zhí)行機構的振動分析與振動控制技術(e-mail:rzllrz@163.com).