尤紅兵 梁建文 趙鳳新

1）中國北京100029中國地震災(zāi)害防御中心

2）中國天津300072天津大學(xué)土木工程系

飽和層狀場地中任意凹陷地形對入射SV波的散射

尤紅兵1），梁建文2）趙鳳新1）

1）中國北京100029中國地震災(zāi)害防御中心

2）中國天津300072天津大學(xué)土木工程系

利用飽和土層的精確動力剛度矩陣和動力格林（Green）函數(shù)，采用間接邊界元法，在頻域內(nèi)求解了層狀飽和場地中任意凹陷地形對入射SV波的散射問題.通過自由場反應(yīng)分析，求得凹陷地形表面各點的位移和各單元的應(yīng)力響應(yīng)；同樣計算了虛擬分布荷載的格林影響函數(shù)，求得相應(yīng)的位移和應(yīng)力響應(yīng)；根據(jù)邊界條件確定虛擬分布荷載，將自由場位移響應(yīng)和虛擬分布荷載產(chǎn)生的響應(yīng)疊加得到了問題的解答.本文方法可進行退化，所得結(jié)果與不含孔隙水的干土結(jié)果一致.對3種飽和場地自由場反應(yīng)和凹陷地形對入射SV波散射進行分析，并與相應(yīng)干土結(jié)果進行了對比.研究表明，入射角度、入射頻率、粘性耦合系數(shù)等對地表位移有重要影響.在飽和場地中，入射波頻率和粘性耦合系數(shù)（土的滲透性）影響土層中波的傳播速度，導(dǎo)致地表位移幅值與干土場地產(chǎn)生明顯差異，尤其是入射角在30°—60°范圍內(nèi).因此，在飽和場地動力分析中應(yīng)綜合考慮入射角度和入射頻率對場地地表位移的影響.

飽和層狀半空間 任意凹陷地形 SV波 散射

引言

地震波在層狀彈性介質(zhì)中的傳播，一直是眾多學(xué)者所關(guān)注的課題之一.Biot（1962）建立了飽和孔隙介質(zhì)的動力方程，為研究飽和孔隙介質(zhì)的波動問題奠定了理論基礎(chǔ).Rajapakse和Senjuntichai（1995）、Pan（1999）、尤紅兵（2005）及尤紅兵等（2008）分別給出了飽和土層和半空間的精確動力剛度矩陣，解決了水平層狀場地中波的傳播問題.Senjuntichai和Rajapakse（1994）、楊峻等（1997）、尤紅兵和梁建文（2005）采用不同方法，研究了飽和層狀場地中的動力格林（Green）函數(shù).Liang和You（2004，2005）將 Wolf土－結(jié)構(gòu)動力相互作用理論（Wolf，1985；Vogtetal，1988）推廣到了飽和層狀場地，解決了計算層狀飽和場地中局部地形對彈性波散射的關(guān)鍵問題.并采用間接邊界元法在頻域內(nèi)求解了層狀飽和場地中任意凹陷地形對入射P波的散射問題（尤紅兵等，2008）.李偉華和趙成剛（2004）及Li和Zhao（2005）、巴振寧（2005）等研究了均勻飽和半空間中局部地形對平面SV波的散射，但對于層狀飽和場地中任意凹陷地形對入射SV波散射的研究少見報道.

本文利用飽和土層的精確動力剛度矩陣，給出了飽和層狀場地動力格林函數(shù)的求解方法.采用間接邊界元法，在頻域內(nèi)求解了層狀飽和場地中任意凹陷地形對入射SV波的散射問題.通過算例，研究了入射角度、入射頻率、粘性耦合系數(shù)等不同參數(shù)對地表位移的影響，并與相應(yīng)干土結(jié)果進行對比.

1 基本方法

飽和層狀場地中任意凹陷地形如圖1所示.對入射SV波的散射可通過自由場、動力格林函數(shù)的計算，根據(jù)不同的邊界條件，求解得到入射SV波的散射.圖1中，S為任意凹陷地形的邊界；均布荷載幅值p（s），r（s），q（s）分別為計算動力格林函數(shù)所施加的虛擬水平、豎向荷載及孔壓；Ux（s）和Uz（s）分別表示沿線S各點產(chǎn)生的土骨架水平和豎向位移；w（s）為沿線S流體相對于土骨架的法向位移；tx（s）和tz（s）分別表示沿線S各單元產(chǎn)生的水平和豎向應(yīng)力；tp（s）為孔壓；γ為SV波入射角.

1.1 自由場計算

進行自由場分析時，假定無凹陷地形存在.根據(jù)土層各表面透水和不透水邊界條件及位移、應(yīng)力和孔壓在交界面上的連續(xù)條件，利用飽和土層和半空間的精確動力剛度矩陣（尤紅兵，2005；Liang，You，2004），采用直接剛度法可求得入射SV波的飽和水平層狀場地的自由場響應(yīng)，進而得到假想邊界S上各點的位移和各單元的應(yīng)力響應(yīng).

自由場的動力平衡方程為

圖1層狀場地示意圖Fig.1 Discretization of the canyon surface

式中，［SP1－P2－SV］為整體動力剛度矩陣，由各土層和半空間的剛度矩陣組成；Ux1，Uz1，wz1，Uxn＋1，Uzn＋1，wzn＋1分別表示各土層土骨架水平和豎向位移及流體相對于土骨架的法向位移；Rxo，Rzo和Pzo是底部荷載向量幅值分量；i為虛數(shù)單位.

通過求解式（1），最終得到沿邊界S上各點自由場的位移［Uxf（s）Uzf（s）wf（s）］T和沿邊界S上各單元應(yīng)力［txf（s）tzf（s）tpf（s）］T.下標(biāo)f表示自由場，其它符號意義同前.

1.2 動力格林函數(shù)計算

動力格林函數(shù)是在自由場（無凹陷地形）內(nèi)部作用一單位荷載時，自由場任意一點的位移及應(yīng)力響應(yīng).

當(dāng)圖1所示均布荷載幅值p（s），r（s）和q（s）作用在飽和層狀場地中某一土層時的動力格林函數(shù)，可采用疊加原理得到.首先假定將作用荷載土層的頂面和底面固定.通過求解Biot動力方程，得到滿足這樣條件的相應(yīng)反力，包括土層頂面和底面的應(yīng)力和孔壓，這個分析僅在作用荷載的土層上進行.然后，將得到的反力以相反的方向作用到由所有土層和半空間組成的總體系上.利用飽和土層和半空間的精確動力剛度矩陣，采用直接剛度法求得此時總體系的反應(yīng).最后，將上述兩部分結(jié)果疊加，得到所求的動力格林函數(shù).限于篇幅，詳細(xì)計算公式可參見相關(guān)文獻（尤紅兵，2005；Liang，You，2005）.

邊界透水的動力格林函數(shù)可表示為

邊界不透水的動力格林函數(shù)可表示為

式中，［gu（s）］和［guu（s）］分別表示邊界透水、不透水時的位移格林函數(shù)；［gt（s）］和［gtu（s）］分別表示邊界透水、不透水時的應(yīng)力格林函數(shù)；下標(biāo)g僅表示作用均布荷載時得到的位移或應(yīng)力，與f對應(yīng)，區(qū)別于自由場；其它符號意義同前.

1.3 邊界條件

當(dāng)凹陷地形邊界透水時，表面的應(yīng)力和孔壓為0，其邊界條件可表示為

［W（s）］為權(quán)函數(shù)，一般取為單位矩陣.將式（3）代入式（6）得

其中，［Tp］＝∫s［W（s）］［gt（s）］ds；［Tf］＝－∫s［W（s）］［txf（s）tzf（s）tpf（s）］Tds.

通過求解式（7），得到均布荷載幅值；再代入式（2），疊加自由場結(jié)果，得到總的位移響應(yīng).

不透水邊界時，w（s）＝0，邊界條件為

利用式（5）得到

其中，［Tpu］＝∫s［W（s）］［gtu（s）］ds；［Tf］同前.

通過求解式（10），得到均布荷載幅值［p（s）r（s）q（s）］T；再代入式（4），疊加自由場結(jié)果，得到總的位移響應(yīng)

圖2 凹陷地形斷面示意圖Fig.2 Cross section of the canyon

2 方法驗證

如果取水的質(zhì)量密度為0，可將本文方法退化，所得結(jié)果與不含孔隙水的干土結(jié)果一致.Vogt等（1988）假定土層為理想彈性土（干土），給出了任意凹陷地形對SV波的散射，利用其中的算例來驗證本文方法.

凹陷地形斷面示意圖如圖2所示，土1和土2參數(shù)相同.梯形凹陷的底寬為L2；頂寬為L＝2L1＋L2，且L2＝2L1.半空間上覆土層的總厚度為H＝H1＋H2＝L1tan30°.土層和半空間的密度與泊松比相同；剪切波速比為1∶2；阻尼比分別為0.05和0.02.入射SV波的波長為λs1/L＝0.25，幅值為｜ASV｜＝0.5.根據(jù)圖3結(jié)果所示，可以看出本文方法結(jié)果是可靠的，有較高的精度.圖3中x/L為圖2中凹陷地形表面各點的橫坐標(biāo)與梯形凹陷頂寬的比值；縱坐標(biāo)分別為無量綱水平位移｜Ux｜/｜ASV｜和豎向位移｜Uz｜/｜ASV｜.｜Ux｜和｜Uz｜分別為地表各點水平、豎向位移幅值.

圖3 與Vogt等（1988）相應(yīng)結(jié)果比較Fig.3 Results compared with those of Vogt etal（1988）

3 算例分析

場地幾何條件如圖2所示.凹陷地形斷面參數(shù)取L＝2L1＋L2，且L2＝2L1；土層厚度取為H＝0.5L1.飽和土參數(shù)如表1所示.根據(jù)粘性耦合系數(shù)b的不同，定義了3種滲透性不同的場地（場地A、場地B和場地C）.當(dāng)b越大，土的滲透系數(shù)越小.假定界面透水.表中μ和λ是土骨架的兩個Lamé常數(shù)；α和M為表征土顆粒和孔隙流體壓縮性的常數(shù)；ρs和ρf表示土和水的質(zhì)量密度，n為孔隙率.定義無量綱頻率為ω為入射SV波的圓頻率.為方便比較飽和場地和不含孔隙水的干土場地對SV波散射的差異，算例中干土場地參數(shù)取相應(yīng)飽和土的固相參數(shù).

表1 飽和場地計算參數(shù)Table 1 Parameters of the saturated site

3.1 自由場分析

首先分析入射SV時，4種不同場地（場地A，B，C及干土場地）自由場（無凹陷地形）地表位移的變化.圖4為自由場地表位移幅值隨入射頻率的變化曲線.圖5給出了自由場（以場地C和干土場地為例）地表位移幅值隨入射角的變化曲線.圖中，｜ASV｜為入射SV波的幅值，｜Ux｜為地表各點水平位移幅值，｜Uz｜為地表各點豎向位移幅值.

從圖4中可以看出，當(dāng)SV波垂直入射（γ＝90°）時，4種場地的水平位移幅值基本一致.其中干土場地與場地A的結(jié)果基本重合，場地B和C的結(jié)果略小.這是因為在計算中假定流體不承受水平剪應(yīng)力，因而水平位移幅值基本一致；場地B和C的結(jié)果略小，是因為入射頻率和粘性耦合系數(shù)對波速的改變，而干土場地中波速不變.豎向位移相等，全部為0.當(dāng)入射頻率接近場地的基頻時，位移被明顯放大.

圖4 自由場地表位移幅值隨無量綱入射頻率的變化Fig.4 Surface displacement amplitude of free－field response versus dimensionless incident frequency

當(dāng)SV波斜入射時，入射頻率對場地地表位移有重要影響，并且飽和場地（場地A，B，C）自由場反應(yīng)與相應(yīng)干土場地自由場結(jié)果有明顯不同.當(dāng)入射角γ＝5°和30°時，隨入射頻率的增大，干土場地的水平位移幅值明顯大于飽和場地結(jié)果，尤其是η＞3.0.而場地A的豎向位移幅值最大，在η＝2.56、γ＝30°時，最大豎向位移幅值達(dá)到2.586.入射角時γ＝60°時，當(dāng)η≤2.0，飽和場地的水平位移均大于相應(yīng)干土場地結(jié)果，其中場地C的結(jié)果最大.如當(dāng)η＝1.136時，場地C的水平位移最大幅值為3.996，而相應(yīng)干土結(jié)果僅為2.232，相差1.8倍.飽和場地的豎向位移幅值則明顯小于相應(yīng)干土場地結(jié)果，場地C的豎向位移幅值最小.當(dāng)η＝3.408時，干土場地豎向位移幅值為1.721，而場地C的結(jié)果僅為0.512，相差3.36倍.

從圖5中可看出，入射SV波時，入射角對飽和場地地表位移的影響規(guī)律與干土場地類似.入射角度和入射頻率對場地地表位移均有重要影響，最大水平位移幅值不一定出現(xiàn)在SV波垂直入射情況下.如η＝1.0時，飽和場地和干土場地的最大水平位移幅值分別為4.18（場地C，γ＝57.6°）、5.66（干土，γ＝53.2°），遠(yuǎn)大于SV波垂直入射時的結(jié)果2.95（場地C）、2.79（干土）.但在飽和場地中，入射波頻率會影響波的傳播速度，導(dǎo)致地表位移幅值與干土場地產(chǎn)生明顯差異，尤其是入射角在30°—60°范圍內(nèi).因此，在飽和場地動力分析中應(yīng)綜合考慮入射角度和入射頻率對場地地表位移的影響.

圖5 自由場地表位移幅值隨入射角的變化.（a）飽和場地；（b）干土場地Fig.5 Surface displacement amplitudes of free－field response versus SV wave incident angles.（a）For saturated site；（b）For dry site

3.2 凹陷地形的散射

圖6和圖7分別給出了入射SV波時，4種不同凹陷場地（場地A，B，C及干土場地）地表水平、豎向位移幅值比較.無量綱頻率分別取1.0，2.0和4.0.

從圖6和圖7中可以看出，凹陷地形對地表位移幅值空間分布的影響隨入射頻率的增大而增大；頻率越低，位移幅值越接近于自由場反應(yīng).3種飽和場地及干土場地中凹陷地形對SV的散射有明顯不同.

在入射頻率η＝1.0時，除入射角γ＝60°外，4種場地的地表水平、豎向位移幅值相差較小.當(dāng)入射角為γ＝60°時，4種場地地表水平位移幅值相差較大.在x/L＝－0.5，即圖2中x1點處，水平位移幅值分別為3.924（場地A）、4.212（場地B）、4.711（場地C）和2.497（干土）；而干土場地的豎向位移幅值明顯大于飽和場地結(jié)果.當(dāng)η＝2.0時，入射角分別為30°和90°時，4種場地地表水平位移幅值相差較大，而其它位移幅值相差較小.在x/L＝1.0處，水平位移幅值分別為1.497（場地A）、1.199（場地B）、0.957（場地C）和1.491（干土）.當(dāng)入射頻率較高（如η＝4.0）時，入射角分別為γ＝5°和30°時，干土場地地表水平位移幅值大于相應(yīng)飽和場地結(jié)果，而3種飽和場地位移結(jié)果基本一致，相差較小.在3種飽和場地中，場地A中b＝0，土的滲透性最好，波傳播中能量消耗減少，波速較高，地表位移幅值最大；場地C的滲透性最差，波速較低，地表位移幅值最小.這些差別說明入射角、入射頻率、粘性耦合系數(shù)b（土的滲透性）等對位移結(jié)果有重要影響.

圖8還給出了凹陷地形兩邊角和底部中點（圖2中x1，x2，x3點，即x/L＝－0.5，0，0.5）處地表位移隨入射角的變化曲線.

圖6 四種不同凹陷場地地表位移幅值比較.（a）η＝1.0；（b）η＝2.0Fig.6 Comparison of the surface displacement amplitudes of four different sites（a）η＝1.0；（b）η＝2.0

圖7 四種不同凹陷場地地表位移幅值比較（η＝4.0）Fig.7 Comparison of the surface displacement amplitudes of four different sites（η＝4.0）

從圖8中可以看出，入射角度、入射頻率以及水平位置對場地地表位移反應(yīng)有重要影響.當(dāng)SV波中入射頻率較低（η＝1.0，2.0）時，入射角在45°—60°范圍內(nèi)地表位移變化較激烈；當(dāng)入射頻率較高（η＝4.0）時，入射角在30°—60°范圍內(nèi)地表位移變化較大.如η＝1.0時，干土場地中x1，x2和x3三點的最大水平位移幅值分別為6.78（γ＝53.2°），4.29（γ＝53.2°）和5.06（γ＝53.2°）.飽和場地（場地C）中x1，x2和x3三點的最大水平位移幅值分別為5.02（γ＝57.4°），2.90（γ＝56.6°）和3.55（γ＝57.8°）.由于場地土層對入射波的放大作用和凹陷地形對波的散射，x1點的水平位移幅值最大，x3點次之，x2點的水平位移幅值最小.

4 討論與結(jié)論

利用飽和土層的精確動力剛度矩陣和動力格林函數(shù)，采用間接邊界元法，在頻域內(nèi)求解了層狀飽和場地中任意凹陷地形對入射SV波的散射問題.通過自由場反應(yīng)分析，求得凹陷地形表面各點的位移和各單元的應(yīng)力響應(yīng)；同樣計算了虛擬分布荷載的格林影響函數(shù)，求得相應(yīng)的位移和應(yīng)力響應(yīng)；根據(jù)邊界條件確定虛擬分布荷載，最終得到問題的解答.本文方法可進行退化，所得結(jié)果與不含孔隙水的干土結(jié)果一致.通過4種場地自由場反應(yīng)和凹陷地形對入射SV波散射的算例分析，研究了入射角、入射頻率、粘性耦合系數(shù)b（土的滲透性）等對地表位移的影響，結(jié)果表明：

1）入射角度和入射頻率對飽和場地和干土場地的地表位移均有重要影響.斜入射與垂直入射的地表位移比值最大可達(dá)2倍以上，入射角在30°—60°范圍內(nèi)地表位移變化較大.應(yīng)合理考慮入射角度及入射頻率對場地地表位移的影響.

圖8 x/L＝－0.5，0和0.5處地表位移幅值隨入射角的變化Fig.8 Surface displacement amplitudes versus SV wave incident angles at the point x/L＝－0.5，0，0.5

2）在飽和場地中，入射頻率和粘性耦合系數(shù)（土的滲透性）影響土層中波的傳播速度，進而對飽和場地的動力響應(yīng)影響較大.這是與干土場地反應(yīng)明顯不同的主要原因.

3）飽和場地結(jié)果與相應(yīng)干土場地結(jié)果明顯不同，應(yīng)合理考慮孔隙流體的影響.

限于篇幅，本文僅考慮了凹陷地形表面透水情況，對于界面不同透水條件對位移結(jié)果的影響，以及飽和層狀場地中其它任意形狀洞室對入射彈性的散射，將另文討論.

巴振寧.2005.飽和半空間中凹陷地形和隧洞對平面P、SV波的散射［D］.天津：天津大學(xué)：33－－62.

李偉華，趙成剛.2004.飽和土沉積谷場地對平面SV波的散射問題的解析解［J］.地球物理學(xué)報，47（5）：911－－919.

楊峻，吳世明，陳云敏.1997.彈性層和飽和半空間體系穩(wěn)定動力響應(yīng)［J］.土木工程學(xué)報，30（3）：39－－48.

尤紅兵.2005.層狀飽和半空間中凹陷地形或隧洞對彈性波的散射［D］.天津：天津大學(xué)：37－－50.

尤紅兵，梁建文.2005.層狀飽和場地中線性分布斜線荷載的動力Green函數(shù)［J］.振動工程學(xué)報，18（3）：335－－341.

尤紅兵，梁建文，趙鳳新.2008.層狀飽和場地中任意凹陷地形對入射P波的散射［J］.巖土工程學(xué)報，30（6）：840－－849.

Biot M A.1962.Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media［J］.JApplPhys，33：1482－－1498.

Li W H，Zhao C G.2005.Scattering of plane SV waves by cylindrical canyons in saturated porous medium［J］.SoilDynamEarthqEng，25（12）：981－－995.

Liang J W，You H B.2004.Dynamic stiffness matrix of a poroelastic mutli－layered site and its Green’s functions［J］.EarthquakeEngineeringandEngineeringVibration，3（2）：273－－282.

Liang J W，You H B.2005.Green’s functions for uniformly distributed loads acting on an inclined line in a poroelastic layered site［J］.EarthquakeEngineeringandEngineeringVibration，4（2）：233－－241.

Pan E.1999.Green’s functions in layered poroelastic half－space［J］.IntJNumAnalMethGeomech，23（13）：1631－－1653.

Rajapakse R K N D，Senjuntichai T.1995.Dynamic response of a multi－layered poroelastic medium［J］.EarthqEng StructDynam，24（5）：703－－722.

Senjuntichai T，Rajapakse R K N D.1994.Dynamic Green’s functions of homogeneous poroelastic half plane［J］.JEng MechASCE，120（11）：2381－－2404.

Vogt R F，Wolf J P，Bachmann H.1988.Wave scattering by a canyon of arbitrary shape in a layered half space［J］.EarthqEngStructDynam，16（6）：803－－812.

Wolf J P.1985.DynamicSoil-StructureInteraction［M］.Englewood Cliffs：Prentice－Hall：112－－142.

尤紅兵 中國地震災(zāi)害防御中心副研究員，一級注冊地震安評師.2005年天津大學(xué)結(jié)構(gòu)工程專業(yè)畢業(yè)，獲博士學(xué)位.主要從事結(jié)構(gòu)抗震，復(fù)雜介質(zhì)中地震波傳播理論，電氣設(shè)備減隔震技術(shù)等相關(guān)領(lǐng)域的研究.

SV wave scattering by a canyon of arbitrary shape in a saturated layered half－space

You Hongbing1），Liang Jianwen2）Zhao Fengxin1）
1）ChinaEarthquakeDisasterPreventionCenter，Beijing100029，China
2）DepartmentofCivilEngineering，TianjinUniversity，Tianjin300072，China

Based on exact dynamic－stiffness matrices and Green’s functions of a layered saturated soil，the scattering of SV waves by a canyon of arbitrary shape in a saturated layered half－space is modeled using the indirect boundary element method in frequency domain.The free－field responses are calculated to determine the displacement and stress at canyon surface，and fictitious distributed loads are then applied on the canyon surface in the free field to calculate the Green’s functions for displacement and stress.The amplitude of the fictitious distributed loads are determined from the boundary conditions，and the dis－placements arising from the waves in the free field and from the fictitious distributed loads are summed to obtain the solution.The present method can be degenerated and the result agrees well with that of dry soil without fluid.The free－field responses of three different saturated sites are calculated and numerical results for displacements of the canyon due to incident SV waves are presented.The results of the saturated sites are compared with that of corresponding dry layered site.It is shown that the incident angle，the frequency of incident wave and penetrability of soils have a great effect on displacements.The frequency of incident wave and the internal friction parameter or the penetrability of soil influence the velocities of three waves propagated in layered saturated soils，which result in the apparent difference between the saturated layered halfspace and the dry site，especially for the incident angles from 30°to 60°.The incident angle and frequency of incident wave should be comprehensively considered in dynamic analysis of the saturated sites.

saturated layered half－space；canyon of arbitrary shape；SV wave；scattering

10.3969/j.issn.0253－3782.2011.06.004

TU433

A

尤紅兵，梁建文，趙鳳新.2011.飽和層狀場地中任意凹陷地形對入射SV波的散射.地震學(xué)報，33（6）：735－－745.

You Hongbing，Liang Jianwen，Zhao Fengxin.2011.SV wave scattering by a canyon of arbitrary shape in a saturated layered half－space.ActaSeismologicaSinica，33（6）：735－－745.

國家自然科學(xué)基金（50978183）和地震行業(yè)科研專項（200708034）共同資助.

2011－01－06收到初稿，2011－04－13決定采用修改稿.

e－mail：hbyou＠126.com