高云峰，徐立鴻，汪 濤，韓 皓

（1.同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，上海201804；2.上海海事大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，上海201306；3.同濟(jì)大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，上海201804）

車(chē)輛在停車(chē)線前的停車(chē)延誤、停車(chē)次數(shù)、排隊(duì)車(chē)輛數(shù)等參數(shù)，是評(píng)價(jià)交叉口信號(hào)控制方案的常用優(yōu)化目標(biāo).經(jīng)典穩(wěn)態(tài)延誤模型和時(shí)變延誤模型如Webster、HCM、Akcelik等，都是以周期時(shí)長(zhǎng)為參數(shù)計(jì)算車(chē)輛的小時(shí)平均延誤，無(wú)法估計(jì)交叉口進(jìn)口上的車(chē)輛在不同信號(hào)燈狀態(tài)下的停車(chē)延誤的動(dòng)態(tài)變化.因此，經(jīng)典模型不能評(píng)價(jià)信號(hào)控制參數(shù)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化過(guò)程.為了能夠動(dòng)態(tài)優(yōu)化路網(wǎng)交通信號(hào)協(xié)調(diào)控制方案，必須研究交叉口信號(hào)控制優(yōu)化目標(biāo)的動(dòng)態(tài)或?qū)崟r(shí)估計(jì)方法.

國(guó)內(nèi)外學(xué)者多采用計(jì)算機(jī)仿真方法（或數(shù)學(xué)建模方法），研究延誤、停車(chē)次數(shù)、排隊(duì)長(zhǎng)度等常用控制目標(biāo)與協(xié)調(diào)控制（或單點(diǎn)控制）交叉口信號(hào)控制參數(shù)的量化關(guān)系.國(guó)外學(xué)者基于定周期信號(hào)研究延誤、停車(chē)次數(shù)、排隊(duì)長(zhǎng)度等控制目標(biāo)，其中對(duì)延誤的研究最為充分.Webster建立了至今仍廣泛用于非飽和交通流的穩(wěn)態(tài)隨機(jī)延誤模型［1］，為以后進(jìn)一步開(kāi)展交通信號(hào)控制模型和算法研究奠定了基礎(chǔ).Akcelik給出了過(guò)飽和交通流的時(shí)變延誤模型［2］.車(chē)輛排隊(duì)和停車(chē)次 數(shù) 的 研 究 以Webster［3］，Catling［4］，Cronje［5］等的研究為代表.國(guó)內(nèi)學(xué)者邵長(zhǎng)橋等對(duì)增量延誤協(xié)調(diào)變換，建立了信號(hào)控制交叉口的周期延誤模型，并用觀測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)定了模型參數(shù)［6］.Liu Henry以車(chē)流波動(dòng)理論為基礎(chǔ)，研究信號(hào)控制過(guò)飽和交叉口進(jìn)口排隊(duì)長(zhǎng)度的實(shí)時(shí)估計(jì)方法，通過(guò)實(shí)時(shí)計(jì)算路段上不同交通流狀態(tài)下的流量、速度、密度參數(shù)，實(shí)時(shí)估計(jì)排隊(duì)長(zhǎng)度［7］.由于需要事先知道周期時(shí)長(zhǎng)和綠信比參數(shù)，并且只能估計(jì)排隊(duì)長(zhǎng)度，因此適用范圍有限.高云峰、楊曉光等應(yīng)用計(jì)算機(jī)模擬仿真方法，研究交叉口群協(xié)調(diào)控制的延誤、排隊(duì)長(zhǎng)度、停車(chē)次數(shù)的動(dòng)態(tài)估計(jì)方法［8］，由于機(jī)動(dòng)車(chē)流在路段上的離散過(guò)程用Robertson模型描述，故不能真實(shí)反映車(chē)輛在交叉口進(jìn)口上的排隊(duì)情況.筆者運(yùn)用元胞傳輸模型（cell transmission model，CTM）［9］描述機(jī)動(dòng)車(chē)流在路段上的運(yùn)行特征，進(jìn)一步研究交叉口信號(hào)控制優(yōu)化目標(biāo)的動(dòng)態(tài)估計(jì)方法.

1 路段交通流運(yùn)行規(guī)律模擬

研究表明，CTM［9］是描述間斷交通流運(yùn)行規(guī)律的有效模型.現(xiàn)采用CTM模擬交通流在路段上的運(yùn)行規(guī)律.

CTM是LWR［10］模型的離散化近似，假定路段上交通流的流量q和密度k具有如下規(guī)律：

式中：v為自由流速度；qmax為路段通行能力；w為下游交叉口的停車(chē)波向上傳播速度；kj為下游阻塞密度.式（1）描述的規(guī)律如圖1所示.

圖1 CTM模型Fig.1 CTMmodel

CTM把路段分成多個(gè)相同長(zhǎng)度的小區(qū)段（cell），在某個(gè)時(shí)刻，路段的密度由各個(gè)小區(qū)段所存在的車(chē)輛數(shù)表示.在t+1時(shí)刻，第i個(gè)小區(qū)段存在的車(chē)輛數(shù)ni（t+1）用下式表示：

式中，yi（t）為［t，t+1］時(shí)段進(jìn)入第i個(gè)小區(qū)段的流量，用下式計(jì)算：

式中：Qi（t）為［t，t+1］時(shí)段能進(jìn)入第i個(gè)小區(qū)段的最大車(chē)輛數(shù)；Ni（t）為t時(shí)刻第i個(gè)小區(qū)段容納的最大車(chē)輛數(shù)；δ為系數(shù)，其值用下式表示：

2 交叉口微觀交通狀態(tài)

交叉口微觀交通狀態(tài)用于描述交叉口進(jìn)口上排隊(duì)車(chē)輛數(shù)隨時(shí)間的變化.可以基于交叉口微觀交通狀態(tài)，對(duì)信號(hào)控制交叉口的控制目標(biāo)實(shí)時(shí)估計(jì).現(xiàn)以一個(gè)周期內(nèi)處于非飽和狀態(tài)的交叉口為對(duì)象，研究交叉口微觀交通狀態(tài).從下面的分析可以看出，研究對(duì)象不失一般性.在圖2中，細(xì)實(shí)線表示交叉口的某一進(jìn)口在一個(gè)周期內(nèi)到達(dá)的流量隨時(shí)間的變化情況，粗實(shí)線表示駛出交叉口的流量隨時(shí)間的變化情況；橫坐標(biāo)t為時(shí)間，縱坐標(biāo)Q為流量，C為周期時(shí)長(zhǎng)，r為有效紅信號(hào)時(shí)間，g為有效綠信號(hào)時(shí)間，a（t）為累積到達(dá)流量，d（t）為累積離去流量，Δt為停車(chē)線前車(chē)輛排隊(duì)的消散時(shí)間.當(dāng)交叉口處于臨界飽和狀態(tài)時(shí)，Δt=g；過(guò)飽和狀態(tài)時(shí)，Δt＞g.

圖2 一個(gè)周期內(nèi)交叉口進(jìn)口的流量變化Fig.2 Changes of traffic volume on one approach of an intersection in a cycle

根據(jù)一個(gè)周期內(nèi)交叉口進(jìn)口的信號(hào)燈狀態(tài)與車(chē)輛排隊(duì)的消散情況，可將進(jìn)口停車(chē)線前車(chē)流的微觀交通狀態(tài)分為三類(lèi)：阻塞態(tài)，用0表示；飽和態(tài)，用1表示；暢通態(tài)，用2表示.如圖3所示.圖3表示交叉口進(jìn)口停車(chē)線前機(jī)動(dòng)車(chē)流的停車(chē)波和消散波的形成過(guò)程，Ih（t），Is（t）分別為交叉口進(jìn)口處于擁擠態(tài)時(shí)以排隊(duì)消散斷面和以停車(chē)線斷面計(jì)算的排隊(duì)車(chē)輛數(shù).

從圖3（橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示距離）可以看出，阻塞態(tài)表示信號(hào)燈為紅燈，車(chē)流不能通過(guò)交叉口；飽和態(tài)表示信號(hào)燈為綠燈，并且進(jìn)口上存在車(chē)輛排隊(duì)，車(chē)流以飽和流率通過(guò)交叉口；暢通態(tài)表示信號(hào)燈為綠燈，并且進(jìn)口上沒(méi)有車(chē)輛排隊(duì)，車(chē)可以不停地通過(guò)交叉口.當(dāng)一個(gè)周期內(nèi)交叉口進(jìn)口處于飽和或過(guò)飽和狀態(tài)時(shí)，進(jìn)口微觀交通狀態(tài)只能有兩種：阻塞態(tài)和飽和態(tài).

圖3 交叉口進(jìn)口微觀交通狀態(tài)Fig.3 Micro traffic state on one approach of an intersection

定義交叉口進(jìn)口上某個(gè)流向的信號(hào)狀態(tài)函數(shù)ss（t）如下：

則可構(gòu)造交叉口微觀交通狀態(tài)函數(shù)sm（t）為：

式（5），（6）同樣適用于飽和與過(guò)飽和交通狀態(tài).

3 評(píng)價(jià)指標(biāo)動(dòng)態(tài)估計(jì)

從圖3可以看出，當(dāng)交叉口進(jìn)口處于阻塞態(tài)和暢通態(tài)時(shí)，Ih（t）與Is（t）相等；處于飽和態(tài)時(shí)，Ih（t）總是小于Is（t）.原因在于Is（t）計(jì)入排隊(duì)消散斷面和停車(chē)線斷面之間已處于行駛狀態(tài)的那部分車(chē)流.所以，此時(shí)的Ih（t）和Is（t）存在如下關(guān)系：

式中：w為啟動(dòng)波向上游傳播的速度；tg為綠燈持續(xù)時(shí)間；Is（t）的計(jì)算方法如下：

式（8）是一個(gè)迭代方程，A（t）為［t，t+1］時(shí)段到達(dá)排隊(duì)尾的車(chē)輛數(shù)，D（t）為［t，t+1］時(shí)段駛過(guò)停車(chē)線的車(chē)輛數(shù).

假設(shè)在t時(shí)刻，交叉口進(jìn)口的排隊(duì)車(chē)輛數(shù)為Is（t）或Ih（t），停車(chē)次數(shù)為s（t），停車(chē)延誤為d（t）.下面對(duì)總停車(chē)延誤、總停車(chē)次數(shù)、總排隊(duì)車(chē)輛數(shù)的實(shí)時(shí)估計(jì)方法進(jìn)行建模.對(duì)于阻塞態(tài)，D（t）=0；暢通態(tài)，D（t）=A（t）.則式（8）可以寫(xiě)成

對(duì)于總停車(chē)次數(shù)，有下式成立：

對(duì)于總停車(chē)延誤，有下式成立：

式中，δ為仿真步長(zhǎng).

4 算法有效性與時(shí)間復(fù)雜性分析

4.1 有效性分析

以1h 為時(shí)段，觀測(cè)某個(gè)定周期信號(hào)控制交叉口的一個(gè)進(jìn)口處于不同飽和度水平（變化范圍為［0，1.5］）時(shí)車(chē)流的平均延誤.采用上述的動(dòng)態(tài)估計(jì)方法與國(guó)外經(jīng)典的穩(wěn)態(tài)延誤模型和時(shí)變延誤模型（Webster 模 型［1］、Akcelik 模 型［11-12］、HCM模型［13-15］），分別計(jì)算小時(shí)平均停車(chē)延誤，結(jié)果見(jiàn)圖4（飽和度在［0，0.9］）和圖5（飽和度在［1.0，1.5］）.Webster延誤模型只適用于飽和度小于1 的情形，所以圖5中沒(méi)有其計(jì)算結(jié)果.

圖4 延誤隨飽和度變化曲線（飽和度為0～0.9）Fig.4 Delay changes with degree of saturation（degree of saturation：0～0.9）

從圖4 和圖5 可看出，相同的飽和度條件下，Webster模型、Akcelik模型、HCM模型的計(jì)算結(jié)果的變化范圍比較大.表1列舉了各模型計(jì)算結(jié)果的最大值、最小值，以及最大值與最小值之比隨飽和度的變化.由表可知，即便是獲得廣泛認(rèn)可的經(jīng)典延誤模型，計(jì)算結(jié)果之間也存在顯著偏差.

圖5 延誤隨飽和度變化曲線（飽和度為1～1.5）Fig.5 Delay change with degree of saturation supposed by classical models（degree of saturation：1.0～1.5）

表1 相同飽和度條件下經(jīng)典延誤模型計(jì)算結(jié)果的變化范圍Tab.1 Range of variation of classical delay models at the same degree of saturation

當(dāng)飽和度在0.9以下時(shí)，以Webster模型為基準(zhǔn)計(jì)算各模型的相對(duì)偏差；當(dāng)飽和度在0.9以上時(shí)，以1994年的HCM模型為基準(zhǔn)計(jì)算各模型的相對(duì)偏差.計(jì)算結(jié)果如表2所示.可以看出，與Akcelik模型、HCM模型相比，當(dāng)飽和度小于0.9時(shí)，本模型的計(jì)算結(jié)果稍微偏?。划?dāng)飽和度大于0.9時(shí)，本模型的計(jì)算結(jié)果介于已有模型的最小值和最大值之間，如圖6所示.

表2 不同延誤模型偏差對(duì)比Tab.2 Analyses of variation of delay calculated by classical models and the dynamic estimation model %

圖6 不同延誤模型偏差對(duì)比Fig.6 Variation curves of classical delay models and the dynamic estimation model

以上數(shù)據(jù)分析表明，當(dāng)飽和度小于0.9時(shí)，本文模型的計(jì)算結(jié)果和Akcelik（1981）模型接近；當(dāng)飽和度大于0.9時(shí)，和HCM（1994）模型接近.本模型與該兩模型延誤模型的偏差分析結(jié)果見(jiàn)表3 和圖7所示.

表3 動(dòng)態(tài)估計(jì)模型與Akcelik（1981）模型、HCM（1994）模型的偏差Tab.3 Variations of the dynamic estimation model compared with the Akcelik model（1981 Version）and HCMmodel（1994Version）

圖7 本模型與Akcelik（1981）模型、HCM（1994）模型計(jì)算結(jié)果偏差Fig.7 Variation curve of the dynamic estimation model compared with the Akcelik model（1981 Version）and HCMmodel（1994Version）

4.2 時(shí)間復(fù)雜性分析

基于仿真步長(zhǎng)的迭代算法的計(jì)算頻次，要比基于周期時(shí)長(zhǎng)的經(jīng)典模型高.但就一次計(jì)算而言，迭代算法簡(jiǎn)單，運(yùn)行時(shí)間少；經(jīng)典模型復(fù)雜，運(yùn)行時(shí)間相對(duì)較多.當(dāng)?shù)惴ㄓ糜趩蝹€(gè)交叉口信號(hào)控制方案評(píng)價(jià)時(shí)，由于要按照仿真步長(zhǎng)動(dòng)態(tài)估計(jì)評(píng)價(jià)指標(biāo)，所以算法的時(shí)間復(fù)雜度與仿真時(shí)間長(zhǎng)度有關(guān)，是一次仿真過(guò)程中迭代循環(huán)次數(shù)的線性函數(shù)，則平均時(shí)間復(fù)雜度為O（n）.當(dāng)用經(jīng)典模型計(jì)算信號(hào)控制方案的評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí)，由于要以周期時(shí)長(zhǎng)為單位動(dòng)態(tài)計(jì)算評(píng)價(jià)指標(biāo)，因此，時(shí)間復(fù)雜度還是與仿真時(shí)間長(zhǎng)度有關(guān)，是一次仿真過(guò)程中計(jì)算次數(shù)的線性函數(shù)，則平均時(shí)間復(fù)雜度也為O（n）.時(shí)間復(fù)雜度為O（n）的迭代算法可以滿足單個(gè)交叉口信號(hào)控制參數(shù)動(dòng)態(tài)優(yōu)化的實(shí)時(shí)性要求.

5 結(jié)論

（1）本模型不僅可用于非飽和交叉口，也可用于過(guò)飽和交叉口.與經(jīng)典的Webster模型、Akcelik模型、HCM模型相比，在非飽和狀態(tài)下，本模型的延誤估計(jì)結(jié)果稍微偏?。辉谶^(guò)飽和狀態(tài)下，本模型的延誤估計(jì)結(jié)果介于這三類(lèi)模型的計(jì)算結(jié)果范圍之間.

（2）本模型通過(guò)對(duì)信號(hào)控制交叉口的停車(chē)延誤、停車(chē)次數(shù)、排隊(duì)長(zhǎng)度等優(yōu)化目標(biāo)的動(dòng)態(tài)估計(jì)，得到平均時(shí)間復(fù)雜度O（n），可用于交叉口信號(hào)控制參數(shù)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化過(guò)程.

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