摘 要： 航天技術(shù)是高中物理教育的熱點(diǎn)，也是高考的必考點(diǎn)。在衛(wèi)星變軌問(wèn)題上學(xué)生往往容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，特別是加速度與向心加速度的關(guān)系學(xué)生更容易混淆。
　　關(guān)鍵詞： 衛(wèi)星變軌問(wèn)題 加速度 向心加速度
　　
　　例如：探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道到達(dá)月球附近進(jìn)行第一次“剎車制動(dòng)后被月球捕獲，進(jìn)入橢圓軌道繞月飛行，如圖所示。若衛(wèi)星的質(zhì)量為m，遠(yuǎn)月點(diǎn)Q距月球表面的高度為h，運(yùn)行到Q點(diǎn)時(shí)它的角速度為，向心加速度為a，月球的質(zhì)量為M、半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G。則衛(wèi)星在遠(yuǎn)月點(diǎn)時(shí)對(duì)月球的萬(wàn)有引力大小為（ ）
　　A. B.ma C. D.m（R+h）ω
　　好多同學(xué)沒(méi)有選擇B，但也有學(xué)生選了D。
　　為了更好地解決這道題目，我們不妨先從衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)單情況入手，再拓展到橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。設(shè)衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，衛(wèi)星質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)第二定律可知：
　　==ma
　　即萬(wàn)有引力作為合外力提供衛(wèi)星勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力。此種情況下因合力始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，故有F=F=F。加速度等于向心加速度。學(xué)生對(duì)這一問(wèn)題比較容易理解與接受。而當(dāng)衛(wèi)星由圓軌道變?yōu)檐墪r(shí)，在變軌處速度要變化，加速度、向心加速度是否也發(fā)生變化呢？加速度與向心加速度否還相等呢？我就分別從物理學(xué)和高等數(shù)學(xué)兩個(gè)角度來(lái)闡述這個(gè)問(wèn)題。
　　如圖所示，圓軌道Ⅰ和橢圓軌道Ⅱ在A點(diǎn)處相切。地球處在圓軌道Ⅰ中心，同時(shí)恰好處在橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上。設(shè)圓軌道Ⅰ的半徑為r，橢圓軌道長(zhǎng)半軸為a，短半軸為b，A點(diǎn)為近點(diǎn)，B點(diǎn)為遠(yuǎn)點(diǎn)。橢圓在A點(diǎn)的曲率半徑為ρ。衛(wèi)星由圓軌道Ⅰ變?yōu)闄E圓軌道Ⅱ，必須在A點(diǎn)加速。若軌道半徑在這一瞬間不變，根據(jù)=知，在A點(diǎn)當(dāng)v增大時(shí)必有F>F，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)，軌跡可變?yōu)闄E圓軌道Ⅱ，軌道半徑就不可能是原來(lái)的r而應(yīng)增大。設(shè)為ρ，則在A點(diǎn)需要的向心力F=，在此點(diǎn)所受合力為F=。兩力是否相等呢？因這時(shí)的萬(wàn)有引力方向仍與運(yùn)動(dòng)方向（即速度方向）垂直，沒(méi)有切向分力，可見(jiàn)萬(wàn)有引力全部提供所需的向心力，F(xiàn)=F即：
　　=
　　綜上分析不難得出，在橢圓軌道Ⅱ上的A點(diǎn)處，向心加速度與加速度相等且與在圓軌道Ⅰ上的A點(diǎn)處加速度相等，它們均由萬(wàn)有引力產(chǎn)生。
　　實(shí)際上，由==可以看出，在圓軌道Ⅰ上的A點(diǎn)，當(dāng)v增加為v時(shí)，軌道半徑同時(shí)增加為ρ，致使向心加速度保持不變。
　　下面不妨從數(shù)學(xué)的角度分析在橢圓軌道Ⅱ上的A點(diǎn)，加速度等于向心加速度，由萬(wàn)有引力產(chǎn)生。不過(guò)必須先利用物理學(xué)相關(guān)知識(shí)求出在橢圓軌道的近點(diǎn)A或遠(yuǎn)點(diǎn)B處的速度。
　　因衛(wèi)星在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)只受到地球引力的作用，衛(wèi)星的機(jī)械能守恒。
　　由機(jī)械能守恒定律得：
　　mv-G=mv-G（1）
　　根據(jù)開(kāi)普勒第二定律有：
　　vr=vr，
　　即v（a-c）=v（a+c）。（2）
　　（2）式中c=（C稱為橢圓的半焦距）
　　由（1）（2）兩式解得：
　　v=，
　　v=。
　　上面已經(jīng)求出衛(wèi)星在橢圓軌道近點(diǎn)A和遠(yuǎn)點(diǎn)B的速度，下面我們不妨利用數(shù)學(xué)知識(shí)求出橢圓在A點(diǎn)的曲率半徑ρ，然后驗(yàn)證向心力等于萬(wàn)有引力。
　　如圖建立坐標(biāo)系，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：
　　+=1 （χ＞γ＞0）。
　　變形可得：γ=。
　　γ對(duì)χ的一次導(dǎo)數(shù)γ′=，
　　γ對(duì)χ的二次導(dǎo)數(shù)γ″=。
　　于是橢圓上任意點(diǎn)處的曲率半徑ρ=，將γ′、γ″代入得：
　　ρ=。
　　對(duì)A、B兩點(diǎn)，χ=±a，代入上式得：
　　ρ=ρ=。
　　于是在A點(diǎn)處衛(wèi)星需要的向心力：
　　F=。
　　將v、ρ代入可得：
　　F=，而a-c=r，
　　故F==F。
　　綜上所述，衛(wèi)星做橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，在四個(gè)頂點(diǎn)處均有F=F。
　　有了上述討論和得到的結(jié)論不難解決開(kāi)篇那道題了。由于探月衛(wèi)星在遠(yuǎn)點(diǎn)Q處運(yùn)動(dòng)的軌道半徑不是（R+h），因而D選項(xiàng)錯(cuò)誤。正確答案是BC。