摘 要： 本文以年代為線索，以代表人物為依托，初步探討了概率論的發(fā)展?fàn)顩r，使我們對(duì)概率論思想的發(fā)展歷程有個(gè)大致的了解。
　　關(guān)鍵詞： 概率論 發(fā)展 歷程
　　
　　一、早期概率論思想的形成
　　概率論的歷史始于17世紀(jì)中葉。據(jù)說，1654年左右，愛好賭博的法國(guó)人梅雷（1610-1685）寫信向帕斯卡（1623-2662）請(qǐng)教，于是帕斯卡和費(fèi)馬（1601-1665）在通信中討論了“點(diǎn)數(shù)問題”“骸子問題”等，他們用排列組合理論得出正確解答，并提出了數(shù)學(xué)期望的這一核心概念。1655年惠更斯（1629-1695）在巴黎時(shí)了解到費(fèi)馬和帕斯卡通信的結(jié)果，回到荷蘭后，寫了一篇短文《論賭博中的計(jì)算》，提出把概率建立在“期望”的基礎(chǔ)上。
　　1.古典概型思想的形成
　　從討論賭博問題開始的初期概率論，主要研究的是一個(gè)試驗(yàn)只有有限個(gè)基本事件，且每個(gè)基本事件出現(xiàn)的概率相等。可是通常要考慮的是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)反復(fù)出現(xiàn)的情況。比如擲一枚骸子，共擲n次，那么其中出現(xiàn)m次6點(diǎn)的概率是多少呢?這屬于伯努利概型。它的計(jì)算方法是設(shè)某事件E在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p，則不出現(xiàn)的概率為1-p，那么n次試驗(yàn)中出現(xiàn)m次事件E的概率為：p（m）=Cp（1-p），然而，當(dāng)n無窮大時(shí)，概率的計(jì)算是相當(dāng)麻煩的，而且如果不知道事件在一次試驗(yàn)中的概率，就無法用上面的公式計(jì)算n次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率。不過，任何人都能觀察到在大量重復(fù)同一試驗(yàn)時(shí)，某一事件出現(xiàn)的頻率會(huì)越來越穩(wěn)定于某一數(shù)值，這就是大數(shù)定律的思想所在。［１］真正使概率論作為一門獨(dú)立數(shù)學(xué)分支的奠基人是雅各布?伯努利（1654-1705），他的興趣不在這一定律的內(nèi)容，而是證明它。他在《猜度術(shù)》（1713）中給出了“伯努利定律”——這就是“大數(shù)定律”的最早形式。
　　繼伯努利之后，棣莫弗（1667-1754），蒲豐（1707-1788），貝葉斯（約1702-1761）等對(duì)概率論作出了奠基性貢獻(xiàn)。其中，棣莫弗在1718年把《抽簽的計(jì)算》修改擴(kuò)充為《機(jī)會(huì)論》，這是概率論較早的專著之一，它首次定義了獨(dú)立事件的乘法定理，給出二項(xiàng)分布公式。后來，他還利用自己以前導(dǎo)出的關(guān)于的漸近公式，即所謂的斯特林公式，證明了概率為1/2時(shí)的二項(xiàng)分布收斂于正態(tài)分布的棣莫弗—拉普拉斯定理。
　　2.幾何概型思想的產(chǎn)生
　　現(xiàn)實(shí)生活中人們必須把等可能思想應(yīng)用到含無窮多個(gè)事件的情況，就產(chǎn)生了幾何概率。其中蒲豐于1777年發(fā)表的《或然性試驗(yàn)》，首先提出并解決了現(xiàn)在著名的“蒲豐投針問題”。隨后的幾十年里幾何概率分別在英國(guó)和法國(guó)獲得獨(dú)立發(fā)展。
　　相反地，基于觀察到的后果事件來計(jì)算原因事件的概率，這屬于逆概率問題，即所謂的“執(zhí)果循因”。關(guān)于這方面的工作，我們就不能不提到貝葉斯定理:假定A，…，A是兩兩不相容事件，且對(duì)一切i有P（A）>0，則對(duì)任意事件B，有：P（A/B）=，i=1，2，…，k，此時(shí)P（A）叫做先驗(yàn)概率，而P（A/B）是原因A的后驗(yàn)概率。他的方法是，在計(jì)算一個(gè)事件的概率時(shí)，使用了人們對(duì)這個(gè)事件概率的一個(gè)估計(jì)，即先驗(yàn)概率。
　　二、概率論思想的進(jìn)一步發(fā)展
　　1.概率研究方法由組合到分析的轉(zhuǎn)化
　　自牛頓（1643-1727）和萊布尼茨（1646-1716）創(chuàng)立微積分以后，概率論的研究便有了全新的工具。［２］1812年拉普拉斯出版了他的《概率的分析理論》，該書明確地給出了概率的古典定義;獨(dú)立事件的加法、乘法法則；推廣了伯努利在大數(shù)定律方面的工作，導(dǎo)出了如下形式的二項(xiàng)分布漸近于正態(tài)分布的中心極限定理（后稱棣莫弗—拉普拉斯定理）:
　　盡管影響事件結(jié)果的隨機(jī)因素很多，但是每一個(gè)因素對(duì)結(jié)果的影響都不大，比如，影響射擊結(jié)果的因素有:子彈規(guī)格的微小差別、風(fēng)力、空氣的濕度，等等，其中每一個(gè)的影響都不顯著，然而這些因素合起來就會(huì)有明顯的作用，所以人們就得研究這些隨機(jī)變量的和。中心極限定理研究的就是隨機(jī)變量的和漸近于正態(tài)分布的規(guī)律性，它也可以給出變量偏離程度的定量描述。高斯（1777-1855）在這方面作出了貢獻(xiàn)。因?yàn)樗谟懻撔行擒壍绬栴}時(shí)為了處理觀測(cè)誤差而引進(jìn)了最小二乘法，并把最小二乘法同概率聯(lián)系起來，對(duì)估計(jì)量提供了算法。
　　2.分析概率論研究的深化
　　法國(guó)的數(shù)學(xué)家，尤其是拉普拉斯和泊松，他們對(duì)概率論的研究很快被人們了解，并且在俄國(guó)取得了進(jìn)一步的發(fā)展。
　　19世紀(jì)俄國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家切比雪夫（1821-1894）在極限理論方面作出了重要貢獻(xiàn)。他對(duì)概率論兩類最重要的主題:大數(shù)定律、中心極限定理取得了相當(dāng)大的進(jìn)展，并且培養(yǎng)了馬爾科夫（1856-1922）、李亞普諾夫（1857-1918）等杰出的數(shù)學(xué)家。其中1866年出版的《論均值》包含了兩條十分重要的命題:
　　第一條:如果用a，b，c，…表示離散隨機(jī)變量x，y，z，…的數(shù)學(xué)期望，用a，b，c，…表示x，y，z，…的數(shù)學(xué)期望。令
　　L=a+b+c+…-a，
　　M=a+b+c…+a，其中a>0，那么P（L≤x+y+z+…≤M）>1-1/α。或者，假設(shè)
　　L′=-，
　　M′=+，
　　其中n是變量x，y，z，…的個(gè)數(shù)，那么，顯然有：
　　P（L′≤≤M′）>1-。
　　第二條是第一條的推論：
　?。?）如果a，b，e，…與a，b，c，…一致有界，那么
　?。▅-|＜ε）=1
　　（2）令b=c=…=a，b=c=…=a，則P（|-a＜ε|）=1，實(shí)際上，第一個(gè)命題是切比雪夫不等式P（|ξ-Eξ|＜β）＞1-Dξ/β的一個(gè)證明;第二個(gè)命題就是著名的切比雪夫大數(shù)定律。特別的，如果讓x，y，z，…分別以概率1-p及p取值0和1，就可以由切比雪夫大數(shù)定律推出伯努利大數(shù)定律。
　　發(fā)現(xiàn)大數(shù)定律的一般條件，就能揭示平均值的統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定性，即隨機(jī)的規(guī)律性。馬爾可夫第一個(gè)嚴(yán)格證明了一般條件下的中心極限定理;削弱了中心極限定理與大數(shù)定律的條件限制，把隨機(jī)變量互相獨(dú)立的情況推廣到變量相關(guān)的情況，把相關(guān)隨機(jī)變量引入概率論研究。他最重要的貢獻(xiàn)在于研究了相關(guān)隨機(jī)變量的和及平均值的性質(zhì)。
　　三、近代公理化概率思想的發(fā)展
　　最早對(duì)概率論進(jìn)行公理化嘗試的是俄國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦（1880-1968）和奧地利數(shù)學(xué)家米澤斯（1853-1953）。［３］1927年伯恩斯坦發(fā)表了一篇“論概率論的公理化基礎(chǔ)”的文章，同年他的《概率論》第一版出版。該書給出了一個(gè)詳細(xì)的概率論公理體系，他假定我們?cè)谧匀豢茖W(xué)中的推理是基于以往的經(jīng)驗(yàn)，只要給定的條件集合a實(shí)現(xiàn)，屬于已知類A的一個(gè)事件必然發(fā)生，這和其他因素?zé)o關(guān)。然而，只有當(dāng)條件集合a不太大，而且易于觀測(cè)時(shí)，把a(bǔ)和A聯(lián)系起來的規(guī)律才有實(shí)際意義。如果這個(gè)條件不成立，事件A就叫做隨機(jī)事件。然后他試著引進(jìn)一個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)的條件集合來代替a，它可以重復(fù)實(shí)現(xiàn)無限多次，當(dāng)存在時(shí)，給定試驗(yàn)中事件A以一個(gè)明確的概率發(fā)生，而且這個(gè)概率可以用數(shù)值表示。如果也定義了事件B的概率，那么下面三個(gè)關(guān)系必有一個(gè)成立:P（A）=P（B）；P（A）>P（B）；P（A）　　從20世紀(jì)20年代開始，通過對(duì)概率論基本概念——事件與概率的仔細(xì)分析，人們發(fā)現(xiàn)事件的運(yùn)算與集合的運(yùn)算完全類似，概率與測(cè)度有相同的性質(zhì)。在這方面的研究最卓著的是原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫，他通過函數(shù)論的方法和概念，建立大數(shù)定律適用性的充分必要條件。1926年，柯爾莫哥洛夫得到了這些條件，他證明了下列定理:
　　一列互相獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，ξ，ξ，…，ξ，服從（弱）大數(shù)定律，當(dāng)且僅當(dāng)n→∞時(shí)，滿足下列關(guān)系:（1）dF（4x）→0；（2）（1/n）（xdF（x）→0；（3）（1/n）xdF（x）→0，這里F（x）表示p（ξ-Mξ＜x）。這個(gè)定理完全解決了概率論的一個(gè)中心問題——（弱）大數(shù)定律。
　　1933年，柯爾莫戈洛夫以德文出版了他的經(jīng)典性著作《概率論基礎(chǔ)》，這可以說是概率論的一個(gè)里程碑。他建立了在測(cè)度論基礎(chǔ)上的概率論的公理化體系，奠定了近代概率論的基礎(chǔ)。這一公理體系著眼于規(guī)定事件及事件概率的最基本的性質(zhì)和關(guān)系，并用這些規(guī)定來表明概率的運(yùn)算法則。
　　法國(guó)數(shù)學(xué)家萊維（1886-1971），原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽，日本數(shù)學(xué)家伊藤清（1915-）等又在公理化基礎(chǔ)上取得了一系列理論突破。如，萊維從樣本函數(shù)角度研究隨機(jī)過程的思想，辛欽證明了重對(duì)數(shù)律，20世紀(jì)40年代伊藤清率先對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)引進(jìn)隨機(jī)積分由此建立了概率論的一個(gè)新分支——隨機(jī)分析學(xué)。
　　簡(jiǎn)言之，公理化就是將概率概念從具體頻率解釋抽象出來，然后再?gòu)墓砘到y(tǒng)回到現(xiàn)實(shí)世界之中。這樣，概率論的應(yīng)用范圍大大拓寬了。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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