摘 要： 函數(shù)的零點(diǎn)是考綱上要求的基本內(nèi)容，也是高中新課程標(biāo)準(zhǔn)新增內(nèi)容之一，是函數(shù)的重要性質(zhì)。它是溝通函數(shù)、方程、圖像的一個(gè)重要媒介。因此處理函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，需充分運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想方法。本文主要?dú)w納了關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的幾種題型及其解法。
　　關(guān)鍵詞： 函數(shù)零點(diǎn) 意義 概念 題型 解法
　　
　　高中新課程標(biāo)準(zhǔn)在數(shù)學(xué)必修1第三章函數(shù)的應(yīng)用中新增了函數(shù)的零點(diǎn)一部分.函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識(shí)具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個(gè)鏈結(jié)點(diǎn)，它從不同的角度，將數(shù)與形、函數(shù)與方程有機(jī)地聯(lián)系在一起.
　　一、函數(shù)零點(diǎn)的意義
　　在系統(tǒng)地掌握了函數(shù)的概念及性質(zhì)，基本初等函數(shù)知識(shí)后，學(xué)習(xí)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，并結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)來(lái)判斷方程的根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而掌握函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法，為“二分法求方程的近似解”和后續(xù)學(xué)習(xí)的算法提供了基礎(chǔ)．因此方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的內(nèi)容具有承前啟后的作用，意義重大.
　　二、函數(shù)零點(diǎn)的概念
　　1．函數(shù)零點(diǎn)的定義
　　對(duì)于函數(shù)y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）（x∈D）的零點(diǎn)．
　　2．幾個(gè)等價(jià)關(guān)系
　　方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根?圳函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn)?圳函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn).
　　3．函數(shù)零點(diǎn)的判定（零點(diǎn)存在性定理）
　　如果函數(shù)f（x）=0在區(qū)間［a，b］上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也就是f（x）=0的根．
　　三、函數(shù)零點(diǎn)的題型及解法
　　【題型一】解方程：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過(guò)解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上.
　?。劾?］函數(shù)f（x）=x-的零點(diǎn)為_(kāi)_______．
　　解析：由x-=0（x≠0）得：x-4=0（x≠0），
　　∴x=±2，即函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為-2和2.
　?。壑R(shí)遷移1］（2010?福建高考）
　　函數(shù)f（x）=x+2x-3（x≤0）-2+lnx（x＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
　　A．0 B．1C．2D．3
　　解析：令f（x）=0，得x≤0x+2x-3=0或x＞0lnx=2，
　　∴x=-3或x=e，∴答案為C.
　?。壑R(shí)遷移2］已知函數(shù)f（x）=4+m?2+1=0有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為?搖?搖?搖?搖.
　　解析：由題知：方程4+m?2+1=0只有一個(gè)零點(diǎn)．
　　令2=t（t＞0），
　　∴方程t+m?t+1=0只有一個(gè)正根，
　　∴由圖像可知-＞0Δ=0，∴m＝-2.
　　小結(jié)：這類題型主要考查函數(shù)零點(diǎn)的有關(guān)知識(shí)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想等.
　　【題型二】利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷.
　?。劾?］已知函數(shù)f（x）=x+x+a（a＜0）在區(qū)間（0，1）上有零點(diǎn)，則a的范圍為?搖?搖?搖?搖．
　　解析：由題意f（0）?f（1）＜0，
　　∴a（2+a）＜0，
　　∴-2＜a＜0.
　　［知識(shí)遷移1］（2010?天津高考）
　　函數(shù)f（x）=2+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）
　　A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（0，1） D．（1，2）
　　解析：由題意可知f（-2）=-6＜0，f（-1）=-3＜0，f（0）=1＞0，f（2）＞0，f（-1）?f（0）＜0，因此在區(qū)間（-1，0）上一定有零點(diǎn).∴答案為B.
　?。壑R(shí)遷移2］（2011?新課標(biāo)全國(guó)高考）
　　在下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=e+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）
　　A．（-，0） B．（0，） C．（，） D．（，）
　　解析：∵f（）=e+4×-3＜0，f（）=e+4×-3＞0，
　　∴f（x）=e+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（，）.答案為C.
　　小結(jié)：這類題型主要考查函數(shù)零點(diǎn)的有關(guān)概念、判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間及函數(shù)零點(diǎn)存在定理等.
　　【題型三】通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖像，觀察圖像與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷．
　　［例3］判斷函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
　　解析：在同一坐標(biāo)系畫(huà)出y=lnx與y=6-2x的圖像，由圖可知兩圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f（x）=lnx+2x-6只有一個(gè)零點(diǎn)．
　?。壑R(shí)遷移1］（2009?山東高考）若函數(shù)f（x）=a-x-a（a＞0，且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是?搖?搖?搖?搖．
　　解析：令g（x）=a（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1兩種情況．在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像.如圖，若函數(shù)f（x）=a-x-a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)g（x）、h（x）的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．根據(jù)畫(huà)出的圖像只有當(dāng)a＞1時(shí)符合題目要求．
　?。壑R(shí)遷移2］（2011?山東高考）已知函數(shù)f（x）=logx+x-b（a＞0，且a≠1）.當(dāng)2＜a＜3＜b＜4時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)x∈（n，n+1），n∈N，則n=?搖?搖?搖?搖.
　　解析：令y=logx，y=b-x，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)就是這兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由于直線y=b-x在y軸上的截距b滿足3＜b＜4，結(jié)合函數(shù)圖像，函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，因此n只能是1或者2或者3.f（1）=1-b＜0，f（2）=log2+2-b＜1+2-3=0，f（3）=log3+3-b＞1+3-4=0.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)在區(qū)間（2，3）內(nèi)，故n=2.
　　小結(jié)：這類題型主要考查函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)零點(diǎn)的有關(guān)概念、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想，等等.
　　根據(jù)以上的題型及解法分析，我們把函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的解決總結(jié)為：判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，要根據(jù)具體問(wèn)題靈活處理，當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時(shí)，就直接求出進(jìn)行判斷；當(dāng)不能直接求出時(shí)，可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷；當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無(wú)法判斷時(shí)可畫(huà)出圖像判斷．
　　從近幾年的高考試題來(lái)看，函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題．利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理或函數(shù)的圖像，對(duì)函數(shù)是否存在零點(diǎn)（方程是否存在實(shí)根）進(jìn)行判斷或利用零點(diǎn)（方程實(shí)根）的存在情況求相關(guān)參數(shù)的范圍，是高考中常見(jiàn)的題目類型．
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　　［2］孫翔峰主編.三維設(shè)計(jì)?高考總復(fù)習(xí)?新課標(biāo).光明日?qǐng)?bào)出版社，2011.4.