摘 要: 數(shù)列是高考的熱點內容，也是進入大學學習高等數(shù)學的基本工具?？v觀歷年全國各地高考數(shù)學試題，幾乎都會涉及數(shù)列的題型，而這類題型一般都會要求考生求出數(shù)列的通項公式。在近幾年的高考數(shù)學試題中，命題趨勢逐漸趨向利用“構造法”求數(shù)列的通項公式。如何針對這種題型獲得快速解決問題的技巧，這需要考生在平日備考中掌握利用構造法求數(shù)列通項公式的常見題型與解法。
　　關鍵詞： 數(shù)列 通項公式 構造法 常見題型 解法分析
　　
　　一、題型：形如“a=pa+q”的遞推關系
　　求解策略：由于遞推關系a=pa+q不是普通的等差、等比數(shù)列關系，我們可以構造新數(shù)列：a+x=p（a+x），根據(jù)系數(shù)關系有：（p-1）x=q，則可求出x，所以數(shù)列{a+x}是以首項為a+x，公比為p的等比數(shù)列，于是有a+x=（a+x）p，所以a=（a+x）p-x.
　　例題：已知數(shù)列{a}滿足a=1，a=a+1，求數(shù)列{a}通項公式.
　　解析：結合題型的求解策略，構造新數(shù)列：a+x=（a+x），即a=a-x，利用待定系數(shù)法得：-x=1，即x=-3，所以數(shù)列{a-3}是以首項為a-3=2，公比為的等比數(shù)列，即有a-3=（a-3）（），所以a=3-2?（）.
　　二、題型變式一：形如“a=pa+q”的遞推關系
　　求解策略：設想構造新數(shù)列：a+xq=p（a+xq），根據(jù)系數(shù)關系有：（p-q）x=1，則可求出x，即數(shù)列{a+xq}以首項為a+xq，公比為p的等比數(shù)列，即有a+xq=（a+x）p，所以a=（a+xq）p-xq.
　　例題：已知數(shù)列{a}滿足a=1，a=3a+2，求數(shù)列{a}通項公式.
　　解析：結合變式一的求解策略，構造新數(shù)列：a+x?2=3（a+x?2），于是有a=3a+x?2，利用待定系數(shù)法可得：x=1，即數(shù)列{a+2}是以首項為a+2=3，公比為3的等比數(shù)列，于是有a+2=（a+2）?3，所以a=3-2.
　　三、題型變式二：形如“a=pa+qa”的遞推關系
　　求解策略：設想構造新數(shù)列：a+xa=y（a+xa），根據(jù)系數(shù)關系則有：y-x=p，xy=q，則可求出和，即數(shù)列{a+xa}是以首項a+xa，公比為y的等比數(shù)列，于是有a+xa=（a+xa）y，這種題型需要根據(jù)x，y的具體值才可以求出數(shù)列的通項.
　　例題：已知數(shù)列{a}滿足a=2，a=3，a=a+a，求數(shù)列{a}通項公式.
　　解析：結合變式二的求解策略，設想構造新數(shù)列：a+xa=y（a+xa），即a=（y-x）a+xya，利用待定系數(shù)法可得：y-x=，xy=，即x=-1，y=-（或x=，y=1，結果一樣）.于是a-a=-（a-a），即數(shù)列{a-a}是以首項a-a=1，公比為-的等比數(shù)列，即a-a=（-），由n的不同取值得出不同表達式，利用疊加法有a-a+a-a+…+a-a=（-）+（-）+…+（-），消去中間一些項可得：a-a=［1-（-）］，所以a=-（-）.
　　四、題型變式三：形如“a=k（a=k?a）”的遞推關系
　　求解策略：由遞推關系a=k?a可知，等式的右邊含有指數(shù)（分數(shù)），一般指數(shù)是分數(shù)的形式，可利用對數(shù)函數(shù)的性質，兩邊取以k為底的對數(shù)，即：loga=log（k?a），得：loga=1+loga，這種情形可以構造新數(shù)列：loga+x=（loga+x），根據(jù)系數(shù)關系有：-x=1，得x=-2，即數(shù)列{loga-2}以首項為loga-2，公比為的等比數(shù)列，于是logka-2=（loga-2）（），所以a=k（）.
　　例題：已知數(shù)列{a}滿足a=1，a=2，求數(shù)列{a}通項公式.
　　解析：遞推關系a=2=2?a，結合變式三的求解策略，等式兩邊同時取以2為底的對數(shù)，即loga=log（2?a），即loga=loga+1，這種情形可以構造新數(shù)列：loga+x=（loga+x），即loga=loga-x，利用待定系數(shù)法得：-x=1，即x=-2，所以數(shù)列{loga-2}是以首項為loga-2=-1，公比為的等比數(shù)列，于是有l(wèi)oga-2=（loga-2）（），所以a=2.
　　小結：解答這類題型的一般步驟為：
　　以上主要列舉了四種利用“構造法”求數(shù)列通項公式的常見題型及其解法分析，每種題型各具特點，同時彼此之間又相互聯(lián)系.根據(jù)數(shù)列求通項公式的題型，考生也可以選擇利用“數(shù)學歸納法”進行求解.在備考過程中，考生多掌握一種解題方法，這不僅可以發(fā)散個人的思維，而且可以提高自身的應試能力.通過這些總結分析，希望能對考生有所幫助，同時也祝愿各位考生在考試中取得好成績.