摘 要： 求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它方法靈活、技巧性強(qiáng)，學(xué)生往往難以把握。本文總結(jié)出幾種常見(jiàn)的求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，讓同學(xué)們?cè)诰唧w的實(shí)例中去具體體會(huì)，去感悟如何根據(jù)問(wèn)題的特征來(lái)選擇具體的解法。只有這樣，才能從整體上去把握問(wèn)題特征，掌握解題要領(lǐng)。
　　關(guān)鍵詞： 數(shù)列 通項(xiàng)公式 求解策略
　　
　　一、定義法
　　當(dāng)已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求出通項(xiàng)公式.
　　【例】已知等差數(shù)列{a}中，a=，s=-5，a=-，求a.
　　解：由題意得
　　s=n+d=-5 （1）a=+（n-1）d=-（2）
　　由（2）得（n-1）d=-，代入（1）可得n=15，從而d=-，所以a=+（n-1）×（-）=.
　　二、觀察法（又叫猜想法、不完全歸納法）
　　觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)間的關(guān)系，分解各項(xiàng)中的變化部分與不變部分，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號(hào)間的關(guān)系，從而歸納出構(gòu)成規(guī)律寫(xiě)出通項(xiàng)公式.關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系.
　　【例】已知數(shù)列-1，，-，，…寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.
　　解：將此數(shù)列變形為：-，，-，，…通過(guò)觀察變形找到其規(guī)律，得出數(shù)列的通項(xiàng)公式為a=（-1）.
　　注：用不完全歸納法，只是從數(shù)列的有限項(xiàng)通過(guò)觀察而得到數(shù)列所有項(xiàng)的通項(xiàng)公式，不一定可靠.如從數(shù)列2，4，8，…可得a=2n或a=n-n+2兩個(gè)不同的通項(xiàng)公式（從第四項(xiàng)開(kāi)始便不同）.
　　三、公式法（已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和s求通項(xiàng)公式）
　　這類(lèi)題目比較簡(jiǎn)單，一般都是利用a=a（n=1）s-s（n≥2）， 求{a}后要注意驗(yàn)證是否能用一個(gè)統(tǒng)一的公式來(lái)表示.［1］
　　【例】數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為s，且a=1，a=s，n=1，2，3…，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.
　　解：因?yàn)閍=s-s所以3s-3s=s，=，所以{s}是以s=1為首項(xiàng)，q=為公比的等比數(shù)列.所以s=，則a=s-s=?（n≥2）.
　　經(jīng)驗(yàn)證：n=1時(shí)，兩式不能統(tǒng)一，所以a=1（n=1）（n≥2）.
　　點(diǎn)評(píng)：先利用a與s的關(guān)系，找出s的表達(dá)式，再求a.
　　四、構(gòu)造新數(shù)列法
　　由遞推關(guān)系得出數(shù)列通項(xiàng)公式的方法多樣，累加法、累積法、構(gòu)造法、迭代法是常用的構(gòu)造法.對(duì)于較復(fù)雜的數(shù)列可試著用如下方法求通項(xiàng)公式.
　　1.累加法（又叫疊加法）
　　一般的，對(duì)于形如a=a+f（n）類(lèi)數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要f（1）+f（2）+…+f（n）能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解.
　　【例】已知數(shù)列{a}中，求a=1，a=a+，n≥2，求a.
　　解: a-a==-a-a=-…a-a=1-a=1
　　累加得a=2-.
　　2.累積法（又叫迭乘法）
　　一般的，對(duì)于形如=f（n）類(lèi)數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要f（1）+f（2）+…+f（n）能進(jìn)行求積，則宜采用此方法求解.
　　【例】已知數(shù)列{a}滿(mǎn)足a=1，a=a+2a+3a+…（n-1）a，n≥2.求數(shù)列通項(xiàng)公式a.
　　解：由題可知：a=a+2a+3a+…（n-1）a，a=a+2a+3a+…（n-2）a，兩式相減可得：a-a=（n-1）a（n≥3），即a=na，所以a=??…?a=n×（n-1）×（n-2）×…×2，即a=n!.
　　3.構(gòu)造法
　　利用數(shù)列{a}中的a構(gòu)造新的數(shù)列使之成為等差或等比數(shù)列，再求a.常見(jiàn)模型歸納如下.
　?、賏=pa+f（n），p≠1，f（n）為冪函數(shù)
　　【例】在數(shù)列{a}中，a=1，a=3a+2?3，求a.
　　解：由a=3a+2?3得=+，則為公差是的等差數(shù)列.
　　所以=+（n-1）?即a=3（n+）.
　?、赼=pa+q（p≠1，p，q為非零常數(shù)）可用待定系數(shù)法
　　【例】已知數(shù)列{a}中，a=1，a=2a+1，求a.
　　解：設(shè)a-t=2（a-t）即a=2a-t，故t=-1，原式可變?yōu)閍+1=2（a+t），所以{a+1}為首項(xiàng)為a+1=2，公比為2的等比數(shù)列，所以a+1=2，即a=2-1.
　　③a=（p，q為常數(shù)）型
　　【例】已知數(shù)列{a}滿(mǎn)足，a=1，a=求a.
　　解：將a=兩邊取倒數(shù)，變形為：=×+，即+1=（+1）.
　　所以+1是首項(xiàng)為+1=2，公比為的等比數(shù)列.所以+1=2?（），即a=.
　?、苋?duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列a-p=（a）（p，t為常數(shù)）［2］
　　【例】已知數(shù)列{a}中，a=3，a=（a-1）+1，求a.
　　解：由條件可知a-1=（a-1），兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得lg（a-1）=2lg（a-1），即=2，所以{lg（a-1）}是首項(xiàng)為lg（a-1）=lg2，公比為2的等比數(shù)列，所以lg（a-1）=2lg2，所以a=2+1.通過(guò)取對(duì)數(shù)達(dá)到降次的目的，使原來(lái)的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等比關(guān)系.
　　⑤通過(guò)取方根轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列
　　【例】已知f（x）=x+2+2（x≥0），a=2設(shè)數(shù)列每項(xiàng)都滿(mǎn)足a=f（a），求a.
　　解：因?yàn)閒（x）=x+2+2（x≥0），所以a=f（a）=a+2+2=（+），又a＞0，兩邊同時(shí)取平方根，得=+，所以，{}為公差為的等差數(shù)列.所以=（n-1），即a=2n.
　　⑥a=pa+qa（p，q為非零常數(shù)）型
　　【例】在數(shù)列{a}中，a=1，a=2，a=a+a，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.
　　解：由a=a+a兩邊減去a得a-a=-（a-a），所以{a-a}是以a-a=1為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列，所以a-a=（-），再用累加法求通項(xiàng)公式.
　?、遖+t=（p，q，r為非零常數(shù)）型
　　【例】數(shù)列{a}滿(mǎn)足a=2，a=，求a.
　　解：對(duì)等式兩端同時(shí)加參數(shù)t，得：a+t=+t=（2t+5）?，令t=，解之得t=-1，2，代入a+t=（2t+5）?，a-1=3×，a+2=9×.相除得：=×，即是首項(xiàng)為=，公比為的等比數(shù)列，即=×3，解得a=.
　　五、數(shù)學(xué)歸納法
　　有時(shí)一個(gè)數(shù)列可以由已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，通過(guò)“觀察法”，就可以歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之.這種方法是可靠的.［３］
　　【例】已知數(shù)列{a}滿(mǎn)足a=1，a=，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.
　　解：a=1，a=，a=，a=，a=，猜想a=.
　　現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明:
　?。á。┊?dāng)n=1時(shí)，a==1成立；
　?。áⅲ┘僭O(shè)n=k時(shí)，a=.當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閍===.
　　由（ⅰ）（ⅱ）得a=對(duì)n∈N都成立.
　　六、倒數(shù)法
　　數(shù)列有形如f（a，a，a，a）=0的關(guān)系，可先求得，再求得a.［４］
　　【例】已知數(shù)列{a}中，a=1，a=，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.
　　解：由遞推關(guān)系變形得=2+，故數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)是1，公差是2，所以=1+（n-1）×2=2n-1，即a=.
　　以上各例雖然是一些具體的例子，但它們往往可以應(yīng)用于一般情形.數(shù)列通項(xiàng)公式的這幾種求法，在以上例題中可以看到?jīng)]有一定的界限，如“數(shù)學(xué)歸納法”法是“觀察法”的延伸，而有的題目往往用到多種求法，有的例題中出了用到了構(gòu)造法還用了公式法.我們可以看到，求數(shù)列通項(xiàng)公式雖然具有很強(qiáng)的技巧性，但是并沒(méi)有離開(kāi)我們所學(xué)的基本知識(shí)與技能、基本思想與方法.因此在平日教與學(xué)的過(guò)程中，既要加強(qiáng)基本知識(shí)、基本方法、基本技能和基本思想的學(xué)習(xí)，又要注意培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)素質(zhì)與能力和創(chuàng)新精神.注意多加總結(jié)和反思，注意聯(lián)想和對(duì)比分析，做到觸類(lèi)旁通.這樣即使題目再靈活，技巧性再?gòu)?qiáng)，做起來(lái)亦能得心應(yīng)手.
　　參考文獻(xiàn)：
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　　［2］孫坤菊.解題方法與技巧，中學(xué)教學(xué)參考，2009.4.
　?。?］劉家勇.數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)理化學(xué)習(xí)，2008，（12）.
　?。?］陳秀英.數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法，高教前沿，2009-8.