摘 要： 導數(shù)知識是“高等數(shù)學”中極其重要的部分，它的內(nèi)容、思想和應用貫穿于整個高等數(shù)學的教學之中。微分中值定理和導數(shù)應用是導數(shù)知識中的重要內(nèi)容，它們在不等式證明中有著廣泛的運用。
　　關鍵詞： 導數(shù) 不等式證明 中值定理 泰勒公式 應用
　　
　　導數(shù)知識是高等數(shù)學中極其重要的部分，它的內(nèi)容思想和應用貫穿于整個高等數(shù)學的教學之中.微分中值定理和導數(shù)應用是導數(shù)知識中的重要內(nèi)容.微分中值定理主要有:Roller定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理.導數(shù)的應用主要包括：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、最值、凸性、泰勒公式等.我們可以根據(jù)這些定理的內(nèi)容把它們和要證明的不等式有機結合起來，尋找證明的有效途徑.
　　1．利用拉格朗日中值定理證明不等式
　　利用拉格朗日中值定理，一般要考慮導函數(shù)f′（x）的單調(diào)性，但有時不一定要求導函數(shù)具有單調(diào)性，如果能斷定導函數(shù)在所討論的區(qū)間上不變號，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，也可以推證出不等式.解決這類問題的一般步驟是:
　　第一步：分析要證明的不等式，通過適當?shù)淖冃魏螅x取輔助函數(shù)f（x）和區(qū)間［a，b］;
　　第二步：根據(jù)拉格朗日中值定理得到=f′（c）；
　　第三步：根據(jù)導函數(shù)f′（x）在（a，b）上的單調(diào)性，把f′（c）作適當放大和縮小，從而推證要證明的不等式.
　　例1：如果0＜x＜1，試證（1-x）e＜1+x.
　　證明：將要證明的不等式變形為（1-x）e-（1+x）＜0（0＜x＜1），令f（x）=（1-x）e-（1+x），則f′（x）=（1-2x）e-1，在（0，x）（0＜x＜1）上應用拉格朗日中值定理，得f（x）-f（0）=f′（c）（x-0）（0＜c＜x），而（1-x）e-（1+x）=［（1-2c）e-1］x（0＜c＜x）.
　　但在（0，1）上我們不易判別f′（x）的符號，為此我們由f（x）在（0，1）上的二階導數(shù)f″（x）的符號來判別f′（x）的單調(diào)增減性，因為f″（x）=-4xe＜0（0＜x＜1），所以f′（x）在（0，1）上單調(diào)減少，從而有f′（1）＜f′（x）＜f′（0）=0.于是
　?。?-x）e-（1+x）=［（1-2c）e-1］x＜0，
　　即（1-x）e-（1+x）＜0（0＜x＜1）.
　　例2：證明不等式＜ln＜（0＜a＜b）.
　　證明：設f（x）=ln（x），則f（x）在區(qū)間［a，b］上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以存在c∈（a，b），使得f′（c）=，由f′（c）=，得=.
　　又因＜＜，于是＜lnb-lna＜，即＜ln＜.
　　2．利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式
　　許多不等式與函數(shù)相關，或整理后與函數(shù)相關，我們可以先用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，再用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)去證明不等式，這就是利用單調(diào)性證明不等式的思想.用單調(diào)性證明不等式的步驟：
　?。?）確定函數(shù)自變量所在的區(qū)間［a，b］;
　?。?）求f′（x），確定f（x）在區(qū)間［a，b］上的單調(diào)性;
　?。?）由單調(diào)性得到不等式.
　　例3:證明：當x＞1時，不等式lnx＞恒成立.
　　證明：令f（x）=lnx-，則f′（x）=-=.
　　因為x＞1，所以f′（x）＞0，即x＞1時，f′（x）為增函數(shù)，所以：
　　f（x）＞f（1）=ln1-=0，
　　所以lnx-＞0，即lnx＞.
　　3．利用函數(shù)的凹凸性證明不等式
　　若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上是凹（凸）的，則對（a，b）內(nèi)任意兩點x和x，都有f（）＜（＞）［f（x）+f（x）］，從而可利用函數(shù)圖形的凹凸性證明一些不等式，特別是一類多元不等式.通常是根據(jù)欲證不等式，構造輔助函數(shù)，利用該函數(shù)在某區(qū)間上的二階導數(shù)的正負來判定在該區(qū)間上的凹凸性，從而證明不等式.
　　例4:證明不等式xlnx+ylny＞（x+y）ln（x＞0，y＞0，x≠y）.
　　分析：觀察欲證不等式，易發(fā)現(xiàn)其等價不等式為＞ln，從而易想到應構造輔助函數(shù)f（t）=tlnt（t＞0）.
　　證明：令f（t）=tlnt（t＞0），因為f′（t）=1+lnt，f″（t）=＞0，所以f（x）在（0，+∞）內(nèi)是凹的，于是對于任給x，y∈（0，+∞），x≠y，都有
　　＞ln，
　　所以xlnx+ylny＞（x+y）ln.
　　4．利用泰勒公式證明不等式
　　如果函數(shù)f（x）的二階和二階以上導數(shù)存在且有界，可以利用泰勒公式證明這些不等式.
　　證題思路：①寫出比最高階導數(shù)低一階的泰勒展開式;
　?、谇‘斶x擇等式兩邊x與x;
　?、鄹鶕?jù)最高階導數(shù)的大小或界對展開式進行放縮.
　　例5:設f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)二階可導，且f″（x）≥0，則：
　　f≤，
　　其中p，p，…，p均為正數(shù)，x，x，…，x∈（a，b）.
　　證明：記x=，則x∈（a，b）.
　　由于f（x）在（a，b）內(nèi)二階可導，故f（x）在點x處一階泰勒公式成立，
　　f（x）=f（x）+f′（x）（x-x）+（x-x）（x＜ξ＜x）.
　　因為f″（x）≥0，x∈（a，b），所以f″（ξ）≥0，所以f（x）≥f（x）+f′（x）（x-x），
　　分別取x=x，x，…，x，則有f（x）≥f（x）+f′（x）（x-x），
　　f（x）≥f（x）+f′（x）（x-x），…，f（x）≥f（x）+f′（x）（x-x），
　　以上各不等式分別乘以p，p，…，p，得：
　　pf（x）≥pf（x）+pf′（x）（x-x），pf（x）≥pf（x）+pf′（x）（x-x），
　　…，pf（x）≥pf（x）+pf′（x）（x-x），
　　將上面n個不等式相加，得：
　　pf（x）+pf（x）+…+pf（x）≥（p+p+…+p）f（x）+f′（x）［px+px+…+px-（p+p+…+p）x］
　　因為x=，所以：
　　pf（x）+pf（x）+…+pf（x）≥（p+p+…+p）f（x），
　　此即f（x）≤，
　　從而f≤.
　　通過研究導數(shù)在不等式證明中的應用能簡化解題過程，以及計算步驟，導數(shù)為以往數(shù)學問題的解決注入了新的活力，為數(shù)學解題提供了有力的工具，使不等式的證明變得更加簡單.
　　
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