摘 要： 本文以《正弦定理的引入、探索、發(fā)現(xiàn)與證明》一課教學(xué)為例，指出新課程理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過程，其核心是學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)是以學(xué)生為本.
　　關(guān)鍵詞： 新課程 以學(xué)生為本 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)
　　
　　1.創(chuàng)設(shè)情境引入正弦定理
　　【板書】第一章 解三角形
　　【引入】同學(xué)們請(qǐng)看我們將要學(xué)習(xí)的本章標(biāo)題:解三角形.我們知道三角形可分為直角三角形與斜三角形;而直角三角形的邊與角的關(guān)系在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過，故如何解直角三角形我們已經(jīng)熟悉，下面重點(diǎn)來(lái)研究怎樣解斜三角形.
　　提出問題:什么叫解斜三角形?
　　【教師】類比解方程（求方程中未知數(shù)的過程），解斜三角形是指由六個(gè)元素（三條邊和三個(gè)角）中的三個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊）.求其余三個(gè)未知元素的過程.簡(jiǎn)稱：求斜三角形中未知的邊和角的過程.
　　如:根據(jù)下列條件解三角形:a=16，b=26，A=30°.
　　提出問題:如何解決上述問題呢？同學(xué)們先回憶以前所學(xué)過的有關(guān)斜三角形的邊和角有哪些重要的結(jié)論.
　　【學(xué)生回答】
　　1.三角形內(nèi)角和定理:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°;
　　2.三角形任意兩邊的和大于第三邊（或三角形任意兩邊的差小于第三邊）；
　　3.三角形中，較大的邊所對(duì)的角較大;較大的角所對(duì)的邊較大.
　　【教師歸納】由結(jié)論（1）可知：已知三角形的兩個(gè)內(nèi)角，可以求出第三個(gè)內(nèi)角;而結(jié)論（2）、（3）只是定性給出三角形中邊、角之間的關(guān)系，對(duì)于要想求出三角形邊和角的準(zhǔn)確值（解三角形）作用不大。所以要想直接利用它們解決上述問題還比較困難.因此，我們還要進(jìn)一步探討:在任意三角形中，邊長(zhǎng)和角之間還有什么關(guān)系?（由此引入為什么要學(xué)習(xí)正弦定理）
　　2.正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)與證明
　　2.1從特殊三角形入手進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn).
　　【學(xué)生活動(dòng)】
　　1.讓學(xué)生觀察并測(cè)量一個(gè)三角板的邊長(zhǎng)，例如，量得三角板三內(nèi)角所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別約為5cm，8.6cm，10cm.提出問題:你能發(fā)現(xiàn)三邊長(zhǎng)與其對(duì)角的正弦值之比之間的關(guān)系嗎?
　　結(jié)論：=10，≈10，=10.
　　2.（在任意的直角三角形中探討）如圖1，在Rt△ABC中，你能否發(fā)現(xiàn)類似的結(jié)論?
　　根據(jù)銳角三角函數(shù)定義:sinA=，sinB=，sinC=1=，
　　所以==.
　　【教師】對(duì)于特殊三角形，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律==.
　　提出問題:上述規(guī)律，對(duì)任意三角形成立嗎?
　　2.2實(shí)驗(yàn)，探索規(guī)律.
　　【學(xué)生活動(dòng)】二人合作，先在紙上作一個(gè)任意銳角（銳角或鈍角）三角形（如圖2），測(cè)量三邊長(zhǎng)及其三個(gè)對(duì)角，然后用計(jì)算器計(jì)算每一邊與其對(duì)角正弦值的比，填入下面表中，驗(yàn)證前面得出的結(jié)論是否正確.（其中，角精確到分，邊精確到0.1cm，結(jié)果保留3位有效數(shù)字）
　　2.3得出實(shí)驗(yàn)結(jié)論.
　　【學(xué)生小結(jié)】忽略測(cè)量誤差，通過實(shí)驗(yàn)，對(duì)任意三角形，有結(jié)論==，即在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等.
　　【教師】提出問題:上述的探索過程所得出的結(jié)論，只是我們通過實(shí)驗(yàn)（近似結(jié)果）發(fā)現(xiàn)的一個(gè)結(jié)果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理.那么怎樣證明呢?
　　【板書】正弦定理:三角形的各邊和它所對(duì)角的正弦之比相等.即
　　==
　　2.4研究定理的證明方法.
　　【教師引導(dǎo)】方法一：通過三角形面積證明.
　　如圖3，由銳角三角函數(shù)的定義可得：
　　△ABC的面積為S=BC?AD=acsinB.
　　同理S=absinC及S=bcsinA，
　　所以acsinB=absinC=bcsinA，
　　所以==.
　　【教師引導(dǎo)】方法二：向量法.
　?、偃簟鰽BC為直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義知定理成立.
　?、谌簟鰽BC為銳角三角形，過點(diǎn)A作單位向量垂直于，則向量與向量的夾角為90°-A，向量與向量的夾角為90°-C（如圖4），且有+=，所以?（+）=?，即?+?=?.展開，||||cos90°+||||cos（90°-C）=||||cos（90°-A），則得asinC=csinA，即=.同理，過點(diǎn)C作單位向量垂直于，可得=，故有==.
　?、廴簟鰽BC為鈍角三角形，不妨設(shè)A＞90°角（如圖5），過點(diǎn)A作單位向量垂直于，則向量與向量的夾角為A-90°，向量與向量的夾角為90°-C，且有+=，同樣可證得==.
　　【教師】提出問題:你還能利用其他方法證明嗎?請(qǐng)同學(xué)們課后自己利用平面幾何中圓內(nèi)接三角形（銳角、鈍角和直角）及同弧所對(duì)的圓周角相等知識(shí)，將△ABC中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法.
　　3.課后反思
　　3.1新課程倡導(dǎo)在教學(xué)中要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成源于實(shí)際的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要.從數(shù)學(xué)內(nèi)部需要出發(fā)引入新的知識(shí)，需要讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并探索解決途徑，驗(yàn)證并應(yīng)用所得的結(jié)論的全過程，教師切忌和盤端出.本案例，學(xué)生通過回憶所學(xué)過的有關(guān)三角形知識(shí)，發(fā)現(xiàn)要想解斜三角形，所學(xué)的知識(shí)還不夠，為了解決這一矛盾，還需要進(jìn)一步研究、探討任意三角形的邊角關(guān)系，這樣讓學(xué)生知道我們學(xué)習(xí)正弦定理主要源于數(shù)學(xué)內(nèi)部需要，并為今后進(jìn)一步利用它解決實(shí)際問題所服務(wù).
　　3.2傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容重結(jié)果輕過程，形成結(jié)果的生動(dòng)過程往往被單調(diào)機(jī)械的條文所取代，所以數(shù)學(xué)教學(xué)中有太多的機(jī)械、沉悶和程式化，缺乏生機(jī)、樂趣和對(duì)好奇心的刺激.于是，學(xué)習(xí)無(wú)需智慧，只要認(rèn)真聽講和單純記憶，讀書不必深入思考，做題不必詰問創(chuàng)新，排斥了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思考和個(gè)性.本案例，通過對(duì)特殊三角形（直角三角形）的各邊與所對(duì)角的正弦值之比尋找規(guī)律，進(jìn)而推廣到任意三角形.這種由特殊到一般的猜想屬于合情推理，關(guān)注合情推理能力地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。當(dāng)然，由合情推理得到的猜想常常需要證明（演繹推理），故又進(jìn)一步探討了正弦定理的證明，從而讓學(xué)生體會(huì)到演繹推理和合情推理是既不相同又相輔相成的兩種推理形式.
　　3.3《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)該是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式不能再是單一的、枯燥的、以被動(dòng)聽講和練習(xí)為主的方式，它應(yīng)該是一個(gè)充滿生命力的過程，學(xué)生要有充分的進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間，在自主探索、親身實(shí)踐、合作交流的氛圍中，解決困惑，更清楚地明確自己的思想，并有機(jī)會(huì)分享自己和他人的想法.本案例，在正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)過程中，學(xué)生通過自己動(dòng)手實(shí)踐，自主探索，尋找規(guī)律，得出結(jié)論.在驗(yàn)證結(jié)論時(shí)，又通過二人合作完成表格，進(jìn)一步明確結(jié)論.這對(duì)于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，改變傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式，落實(shí)新課標(biāo)的精神起到了積極作用.
　　3.4數(shù)學(xué)教學(xué)過程是教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程.首先，數(shù)學(xué)活動(dòng)就是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程的活動(dòng)，數(shù)學(xué)活動(dòng)就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，探索、掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的活動(dòng).簡(jiǎn)單地說，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中要有數(shù)學(xué)思考的含量，數(shù)學(xué)活動(dòng)不是一般的活動(dòng)，而是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程的活動(dòng)，數(shù)學(xué)化是指學(xué)習(xí)者從自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，經(jīng)過自己的思考，得出有關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.其次，數(shù)學(xué)活動(dòng)又是學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的活動(dòng).從建構(gòu)主義的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是指學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的活動(dòng)，學(xué)生與教材（文本）及教師產(chǎn)生交互作用，形成了數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和能力，發(fā)展了情感態(tài)度和思維品質(zhì).每位數(shù)學(xué)教師都必須深刻認(rèn)識(shí)到，是學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)成為主動(dòng)探索知識(shí)的“建構(gòu)者”，而不是模仿者.無(wú)論教師的教還是學(xué)生的學(xué)，都要在學(xué)生那里得到充分體現(xiàn)，不懂得學(xué)生能建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，不考慮學(xué)生作為主體的教學(xué)，不會(huì)有好的效果.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　?。?］數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀（實(shí)驗(yàn)稿）.教育部基礎(chǔ)教育司.