摘 要： 教師在教學(xué)中更要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中學(xué)會發(fā)散思維，即會轉(zhuǎn)換思考角度、轉(zhuǎn)變思維方式，用不同的思路從不同的途徑來掌握知識.本文作者就課堂教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力談?wù)剛€人的幾點(diǎn)體會和認(rèn)識.
　　關(guān)鍵詞： 課堂教學(xué) 概念教學(xué) 變式教學(xué) 情境創(chuàng)設(shè) 發(fā)散思維
　　
　　發(fā)散思維是對已知信息進(jìn)行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，從而提出新問題，探索新知識或發(fā)現(xiàn)多種解答和多種結(jié)果的思維方式.
　　新的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，應(yīng)使學(xué)生“具有創(chuàng)新意識，能獨(dú)立思考，勇于有根據(jù)地懷疑，養(yǎng)成尊重事實(shí)，大膽想象的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)精神”.“發(fā)散”是一種能力，即一個人發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力；“發(fā)散”又是一種思維活動，是智力思維能力的綜合反映.而正確培養(yǎng)和拓展學(xué)生的發(fā)散思維能力，對強(qiáng)化其創(chuàng)新意識，提高其數(shù)學(xué)素質(zhì)有著舉足輕重的作用.因此，教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中學(xué)會發(fā)散思維，即會轉(zhuǎn)換思考角度、轉(zhuǎn)變思維方式，用不同的思路從不同的途徑來掌握知識.這不僅有利于提高學(xué)生的靈活性、多面性與創(chuàng)造性，還有利于培養(yǎng)開拓型人才.我就課堂教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力談?wù)剮c(diǎn)體會和認(rèn)識.
　　一、深化數(shù)學(xué)概念教學(xué)，形成知識網(wǎng)絡(luò)，做好知識準(zhǔn)備
　　數(shù)學(xué)概念是整個數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想方法的載體.學(xué)生對基礎(chǔ)概念理解得深淺，掌握得透徹與否，將直接影響其在解題過程中思維的準(zhǔn)確性和廣闊性.所以，在教學(xué)中，學(xué)生對概念的掌握必須做到“四要”：一要了解概念的產(chǎn)生過程和背景；二要準(zhǔn)確表述概念的內(nèi)容（其中包括文字表述，符號表述，圖形表述）；三要深刻挖掘的內(nèi)涵和外延（即條件限制的挖掘，特殊情形的挖掘，思想方法的挖掘）；四要學(xué)會普遍聯(lián)系，揭示規(guī)律，明確概念所帶來的解題中思維的關(guān)鍵點(diǎn)（也即思維發(fā)散的關(guān)鍵點(diǎn)）.例如：在教學(xué)“直線與圓的位置關(guān)系”的概念時，首先可以通過直觀教具顯示直線與圓存在幾種位置關(guān)系，讓學(xué)生了解概念的必要性.同時讓學(xué)生回顧點(diǎn)與線的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線距離的度量方式，自然引出直線與圓的位置關(guān)系的概念，體現(xiàn)定義的合理性、完備性和科學(xué)性，最后通過直線與點(diǎn)，以及直線與圓的關(guān)系的對比，反映度量的本質(zhì)，揭示概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.在整章知識學(xué)習(xí)結(jié)束后，應(yīng)該對整章知識進(jìn)行梳理及總結(jié)，實(shí)現(xiàn)對教材基礎(chǔ)知識和基本方法的系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化.例如，對“函數(shù)概念與基本初等函數(shù)”一章知識進(jìn)行梳理時，首先可以引導(dǎo)學(xué)生按教材章節(jié)從整體上把知識劃分為幾個部分，并以此為主要內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)分解，畫出知識結(jié)構(gòu)示意圖（如圖1）.然后，讓學(xué)生根據(jù)結(jié)構(gòu)示意圖進(jìn)行歸納聯(lián)系，并且要求學(xué)生對基本思想方法進(jìn)行總結(jié).
　　二、進(jìn)行變式教學(xué)，鼓勵學(xué)生從不同角度思考問題
　　在課堂教學(xué)中進(jìn)行變式教學(xué)，即教師要注意引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，多途徑解題，使學(xué)生的思路逐步開闊，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.從數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)來看，以下幾點(diǎn)應(yīng)特別重視.一是啟迪學(xué)生利用知識之間的橫向聯(lián)系來分析、解決數(shù)學(xué)問題，比如，對于一個數(shù)學(xué)問題，可要求學(xué)生從代數(shù)、幾何、三角、解析幾何或其他學(xué)科知識等多方面來思考，以尋求解決問題的途徑.二是“因題制宜”，啟迪學(xué)生從習(xí)慣思路的反方向去思考和分析問題，這在數(shù)學(xué)教學(xué)中常常表現(xiàn)為啟迪學(xué)生逆用定義、定理、公式和法則；啟迪學(xué)生逆向進(jìn)行推理，即順推繁復(fù)時考慮逆求；啟迪學(xué)生反向進(jìn)行證明，即直接解決困難時考慮間接解決；啟迪學(xué)生從反向形成新結(jié)論，即探討可能性或合理性存在邏輯困難時考慮探討新的可能性等.三是啟迪學(xué)生尋求多種多樣解決問題的途徑.比如，既考慮分析法，又考慮綜合法；既考慮直接證法，又考慮間接證法；既考慮常規(guī)方法，又考慮非常規(guī)方法，等等.下面我就解題中的幾種方法進(jìn)行說明.
　　1.一題多解.
　　一題多解可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度考慮問題，從而使他們得到各種不同的方法，以拓寬他們的思路，發(fā)散他們的思維，培養(yǎng)他們思維的變通性.
　　如一道由書本上的習(xí)題改編的題：“已知S是等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和，S=S（p＞q），則S=?搖 ?搖.”
　　解法一：基本量法.由S=na+d，以及S=S（p＞q），解得：a=d，代入S=（p+q）a+d，即得S=0.
　　解法二：函數(shù)思想.S可以表示為關(guān)于n的二次函數(shù)，其對稱軸為，由圖像可知其與x軸的交點(diǎn)一處為（0，0），另一處為（p+q，0），故S=0.
　　解法三：優(yōu)化基本量法.由S=An+Bn，以及S=S（p＞q），代入得A（p+q）+B=0，，S=A（p+q）+B（p+q），代入即得S=0.此法雖然也是基本量法，但使解題過程得以簡化，同時也體現(xiàn)了整體代換的思想.
　　解法四：解填空題也可以構(gòu)造數(shù)列.例如：-3，-2，-1，0，1，2，3，4，…令q=2，p=5，S=S=-5，則S=0，從而可猜測S=0.
　　解法五：利用等差數(shù)列中的一個結(jié)論，若S是等差數(shù)列前項(xiàng)和，則數(shù)列{}是等差數(shù)列.設(shè){}的公差為d，則=+（p-q）d，=+pd，消去d得S=（S-S）=0.實(shí)際上此解法也可以理解成三點(diǎn)P（p，），Q（q，），N（p+q，）共線，利用斜率相等列式.
　　2.一題多變.
　　一題多變是充分利用教材，發(fā)揮教材中習(xí)題的作用，挖掘習(xí)題的潛能，引導(dǎo)學(xué)生步步深入，形成探索性思維.
　　在上拋物線的習(xí)題課時，以課本習(xí)題“過拋物線y=2px的焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，兩個交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y、y，求證：yy=-p.”為例.首先讓學(xué)生認(rèn)真審題，互相討論，互相啟發(fā)，集思廣益，不難得到幾種不同的證法.然后通過層層設(shè)問，及時引導(dǎo)，創(chuàng)造良好的思維環(huán)境，結(jié)合圖形誘發(fā)學(xué)生的聯(lián)想，使他們有所發(fā)現(xiàn)，從這一命題出發(fā)，引申出一系列關(guān)于拋物線焦點(diǎn)的其他命題.
　　命題1：過拋物線焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，而垂足P、Q與焦點(diǎn)的連線互相垂直.
　　設(shè)問1：若以PQ為直徑畫圓，焦點(diǎn)與此圓的位置關(guān)系怎樣？（如圖2）
　　命題2：以拋物線的焦點(diǎn)弦在準(zhǔn)線上的射影為直徑的圓必過焦點(diǎn).
　　設(shè)問2：取PQ的中心M，則M為此圓的圓心，連MF、MA，△APM與△AFM全等嗎？為什么？
　　學(xué)生易答：因?yàn)閨MP|=|MF|，|AP|=|AF|，AM為公共邊，故△APM≌△AFM.
　　設(shè)問3：能判斷AB與MF的位置關(guān)系嗎？
　　答：由△APM≌△AFM得：∠AMF=∠APM=90°，故AF⊥MF，而AF與⊙M相切，于是得：
　　命題3：拋物線焦點(diǎn)弦在準(zhǔn)線上射影的中點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線垂直于焦點(diǎn)弦.
　　命題4：拋物線的焦點(diǎn)弦與以它在準(zhǔn)線上射影為直徑的圓相切于焦點(diǎn).
　　設(shè)問4：取AB中點(diǎn)C，連接MC，能發(fā)現(xiàn)線段MC的長與焦點(diǎn)弦長有什么關(guān)系？
　　|MC|===
　　設(shè)問5：設(shè)MC與拋物線相交于點(diǎn)D，連接DF.△MFC是什么三角形?（如圖3）
　　答：由命題3可知是直角三角形.
　　設(shè)問6：D是斜邊MC的中點(diǎn)嗎？
　　由|MD|=|DF|及平面幾何知識易得：|DF|=|DC|，故D為MC的中點(diǎn).
　　總結(jié)可得：
　　命題5：拋物線焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于焦點(diǎn)弦長的一半，且其線段被拋物線平分.
　　設(shè)問7：連AB，BM，判斷△AMB的形狀.
　　從|MC|==|AC|=|BC|，可得∠MAC=∠AMC，∠CMB=∠CBM，因此∠AMC+∠CMB=∠CBM+∠MAC，故△AMB為直角三角形.
　　命題6：過拋物線焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足與焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的連線互相垂直.
　　
　　類似還可得：
　　命題7：過拋物線焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足必在焦點(diǎn)弦為直徑的圓上.
　　命題8：以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.
　　3.一題多思.
　　一題多思可以培養(yǎng)學(xué)生從新的角度、用新的觀點(diǎn)去認(rèn)識事物、解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性.
　　例如為了讓學(xué)生徹底弄清楚軸對稱問題，以“求點(diǎn)A（6，4）關(guān)于直線4x+3y-11=0的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo).”為基本題，進(jìn)行一題多思，恰當(dāng)?shù)貙υ擃}進(jìn)行演變、引申、拓廣.
　?。?）逆向思維：若A（6，4）與A′（-2，2）關(guān)于直線l對稱，求直線l的方程.
　?。?）問題一般化：求點(diǎn)A（x，y）關(guān)于直線l∶Ax+By+C=0的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo).
　　（3）問題特殊化：求點(diǎn)A（6，4）關(guān)于直線l∶y=x，l∶y=-x的對稱點(diǎn)A′、A″的坐標(biāo).
　?。?）問題引申：求直線：x-y-2=0關(guān)于直線：4x+3y-11=0的對稱直線的方程.
　?。?）與最值結(jié)合：在直線上l∶4x+3y-11=0上找一點(diǎn)M，使它到A（6，4），B（5，1）兩點(diǎn)距離之和最小.
　　4.開放性問題.
　　在教學(xué)過程中教師可以結(jié)合課本的例題、練習(xí)題，以及自編的一些特別的練習(xí)題，要求學(xué)生由因?qū)す?，?zhí)果索因，促使學(xué)生廣開思路，多角度、多途徑地思考問題.
　　如圖4所示，在直四棱柱ABCD-ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足?搖?搖條件時，有AC⊥BD（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）.
　　分析：由于AA⊥平面ABCD，容易得到AC⊥BD是AC⊥BD的充要條件，而題目只需填寫一個充分條件，答案舉例如下：
　　1.AC⊥BD
　　2.ABCD是正方形
　　3.ABCD是菱形
　　4.AB=AD且BC=DC
　　5.AB=BC且AD=DC
　　6.S=AC?BD
　　7.底面ABCD的對角線平分一組對角
　　8.底面ABCD關(guān)于對角線對稱
　　此題沒有一個固定的答案，抓住P7LLGKwXsAE3h1kFB1Imlg==關(guān)鍵條件AC⊥BD是解決問題的重點(diǎn).設(shè)計(jì)一些答案不唯一的試題，要求學(xué)生從不同角度分析比較，鼓勵學(xué)生各抒己見.
　　總之，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主渠道，在解題教學(xué)中注意培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維的能力，對于提高學(xué)生的思維品質(zhì)，提高課堂教學(xué)質(zhì)量，改變一些學(xué)生高分低能的狀況，是一種行之有效的方法.
　　三、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生求知欲，調(diào)動學(xué)生思維積極性
　　“興趣是最好的老師”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，是數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)發(fā)散思維的重要手段.
　　1.以舊引新，激發(fā)學(xué)生探求新知識的興趣.
　　例如，在介紹二面角的概念時，先復(fù)習(xí)提問初中角的概念，通過點(diǎn)類比線，通過射線類比半平面，使學(xué)生產(chǎn)生對新知識的求知欲，從而提高學(xué)生思維的積極性.
　　2.創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí).
　　例如，在等比數(shù)列一節(jié)的教學(xué)中，可創(chuàng)設(shè)如下有趣的問題：龜兔賽跑，烏龜在前方1米處，兔子的速度是烏龜?shù)?0倍，當(dāng)它追到1米處時，烏龜前進(jìn)了米；當(dāng)它追到米處時，烏龜又前進(jìn)了米；當(dāng)它追到米時，烏龜又前進(jìn)了米……（1）分別寫出相同的各段時間里兔子和烏龜各自所行的路程；（2）兔子能追上烏龜嗎？讓學(xué)生觀察這兩個數(shù)列的特點(diǎn)引出等比數(shù)列的定義，由此導(dǎo)入新課，能夠有效地促進(jìn)學(xué)生積極思考，激發(fā)濃厚興趣，很快進(jìn)入主動學(xué)習(xí)狀態(tài).
　　總之，發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，主渠道是課堂教學(xué).教師要最大限度地發(fā)揚(yáng)課堂民主，調(diào)動學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性，營造生動活潑的課堂氛圍，讓學(xué)生愉快思考，積極探索，大膽質(zhì)疑.教師要巧設(shè)問題，善設(shè)疑點(diǎn)，給學(xué)生一個自由發(fā)揮的天地，提供積極參與的思維空間，學(xué)生對知識有了強(qiáng)烈的興趣，才會主動地、積極地參與到學(xué)習(xí)活動中，它要求教師在教學(xué)中注意發(fā)掘一切可以調(diào)動學(xué)生發(fā)散思維能力的因素，開發(fā)學(xué)生的智力潛能，從而從根本上提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.
　　
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