數(shù)形結(jié)合的解題思想是高中數(shù)學(xué)的主要解題方法之一。數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求：讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示等思維過程?？梢钥闯觯嚎臻g想象、抽象概括、符號表示等是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)中兩大研究對象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展長河中的一條主線，并且使數(shù)學(xué)在實踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入。一方面，借助于圖形的性質(zhì)，可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直觀的啟示。另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，可以獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息相互轉(zhuǎn)換、相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡潔明快，而且可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟一條重要的途徑。因此，數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種解題方法，更是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生關(guān)于數(shù)形結(jié)合有一首小詩：
　　數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？
　　數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，
　　數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，
　　幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。
　　這首詩形象地道出了數(shù)形結(jié)合的真諦。由于數(shù)形結(jié)合的重要性，數(shù)學(xué)教師經(jīng)常把數(shù)形結(jié)合方法掛在嘴邊，落實在課堂上。但是在實際教學(xué)中有的同學(xué)會有這樣的疑問：我也由題目給定的代數(shù)關(guān)系得畫出圖形，或是也由所給出的圖形得到了一定的代數(shù)關(guān)系，可是題目就是解不出來，這是為什么？下面我們通過幾個例子來看一下。
　　例1.（2010全國卷）已知函數(shù)f（x）=|lgx|?搖?搖0＜x≤10x+6?搖?搖x﹥10，若a、b、c不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc 的取值范圍是?搖?搖?搖.
　　我請一個同學(xué)上黑板上來展示他的解題過程，該生說不會做，我就讓他寫出他已經(jīng)做出的部分，他的解題過程如下：
　　先由已知條件，畫出圖像。
　　由圖像可以看出，要使f（a）=f（b）=f（c），可設(shè)a＜b＜c，則相當(dāng)于y=n的圖像與上圖有三個交點。則可判斷出a＜1，1＜b＜10，10＜c＜12。
　　到此為止，該生得不出進(jìn)一步的結(jié)論，有一種感覺，好像眼看著就能做出來，卻怎么也做不出來。
　　分析：出現(xiàn)上述結(jié)果的原因其實就是學(xué)生在對數(shù)形結(jié)合關(guān)系的把握上只注重圖形的功能，也就是說，已知條件的幾何意義是找出來了，但是蘊藏在幾何圖形下面的代數(shù)關(guān)系卻還沒有揭示出來，而沒有認(rèn)識到要想最終決問題還是要依靠a、b、c之間的代數(shù)關(guān)系，幾何圖形只能幫助我們直觀地認(rèn)識可能出現(xiàn)的結(jié)果，而不能精確進(jìn)行運算。簡單地說，只認(rèn)識到f（x）與y=n有三個不同交點，只注重圖形關(guān)系，而不能把f（a）=f（b）=f（c）所揭示的代數(shù)含義轉(zhuǎn)化出來。由此我想到為什么有的同學(xué)做這些類型的問題時，可能會得出正確的結(jié)果，但你讓他寫他卻不太能完整地寫出來。某種意義上是因為是因為我們有時過分關(guān)注形式化的結(jié)果，卻忽略了其代數(shù)關(guān)系的教學(xué)。
　　經(jīng)過點撥，該生得出了以下的解題過程：
　　∵由圖形可以看出，要使f（a）=f（b）=f（c），可設(shè)a＜b＜c，則相當(dāng)于y=n圖像與上圖有三個交點。則可判斷出a＜1，1＜b＜10，10＜c＜12。
　　∴f（a）=-lga，f（b）=lgb，f（c）=c+6
　　由f（a）=f（b），得-lga=lgb
　　∴ ab=1，∴abc=c.
　　又∵1＞f（c）＞0，則10＜c＜12
　　∴abc∈（10，12）.
　　例2.若關(guān)于x的方程x+ax+2=0的兩根都大于1，求實數(shù)a的取值范圍.
　　解法一：設(shè)f（x）=x+ax+2，若方程有兩個大于1的根，由圖像可知圖形與x軸有兩個交點且零點大于1，所以：
　?。?）f（1）＞0，（2）△≥0，（3）-＞1.
　　則由（1）可得a＞-3，由（2）可得a≥2或a≤-2，由（3）得a＜-2.綜上可知-2≥a＞-3.
　　全班所有學(xué)生，無論是做對做錯的，用的都是上述解法。而且當(dāng)我提問是否有其他解法時，學(xué)生都感到茫然，好像只知道這種方法。這也許是因為我們在解決此類問題時一直給學(xué)生強調(diào)“一元二次函數(shù)、一元二次不等式、一元二次方程”三個二次的相互轉(zhuǎn)化，使學(xué)生形成了思維定勢，只想到要立即轉(zhuǎn)化成為一元二次函數(shù)。
　　就一個一元二次方程的根的情況來說，它的根是完全可以解的。為什么學(xué)生想到的只是利用函數(shù)的圖像呢？是方程的解不能表示出來還是表示太難？我們來看看代數(shù)解法的解題過程，對比一下就可以看出問題所在。
　　解法二：因為方程有解，則同上，由△≥0得a≥2或a≤-2，所以方程的根為x=，x=，由題意可得x＜x，若要根大于1，只要x＞1即可，由＞1，可得-3＜a＜-2，所以a 的取值范圍是-2≥a＞-3.
　　對比兩種不同的解法，可以發(fā)現(xiàn)，解法二唯一有點困難的地方是解不等式＞1。但是對于一個高中生來說，實在說不上難，為什么學(xué)生就不愿意采用，甚至于忘記這種解法呢？這不是我們開始學(xué)習(xí)討論方程的根的問題時學(xué)生最先想到的方法嗎？討論方程根的問題，把方程根求出來不是最本質(zhì)的做法嗎？同時該做法對于糾正學(xué)生對于圖形的過度依賴，加強代數(shù)關(guān)系的教學(xué)，鍛煉學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)都有好處。
　　例3.試判斷方程sinx=x方程解的個數(shù).
　　根據(jù)觀察，我們可以看出x=0一定是方程的根，有的同學(xué)根據(jù)感覺畫出圖像（1）認(rèn)為有三個交點。有的同學(xué)則畫出圖像（2）認(rèn)為有一個交點。大家都知道解的個數(shù)問題要化成交點的個數(shù)，但是為什么會得到不同的結(jié)果呢？而且得到（1）的同學(xué)更多。產(chǎn)生錯誤的根本原因是對函數(shù)y=sinx的圖像的變化不清楚。而解決這個問題就要利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)y=x-sinx 在（0，）上的大于零恒成立。
　　利用數(shù)形結(jié)合解題要求畫出相應(yīng)的圖形，但是由于各種原因?qū)W生畫出的都是草圖，有時其精度足以影響到解題的結(jié)果。這時就顯示出代數(shù)計算的重要性，數(shù)形結(jié)合不僅有圖形，還要有相應(yīng)的代數(shù)運算。
　　綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化。其實也就是化歸思想。它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。當(dāng)然，具體到一個問題到底是用幾何解法還是用代數(shù)解法解決來得比較快、比較準(zhǔn)，要根據(jù)具體的題目而定。