摘 要： 復(fù)變函數(shù)積分是復(fù)變函數(shù)這門課程的一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，然而它比高等數(shù)學(xué)中的積分內(nèi)容復(fù)雜得多。本文集中討論了復(fù)變函數(shù)積分的方法，通過(guò)積分方法的比較可以幫助學(xué)生更好地掌握復(fù)變函數(shù)這門課程。
　　關(guān)鍵詞： 復(fù)變函數(shù) 積分方法 沿非封閉曲線的積分 沿封閉曲線的積分
　　
　　復(fù)變函數(shù)是許多工科專業(yè)如自動(dòng)化控制、交通工程、電子信息等必修的數(shù)學(xué)課程，學(xué)好復(fù)變函數(shù)可以為工科學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程打下良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).但是，由于課程內(nèi)容抽象瑣碎，學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程有一定難度，容易失去學(xué)習(xí)興趣.鑒于此，教師在教學(xué)過(guò)程中，如何幫助學(xué)生尋找合適的“竅門”，降低學(xué)習(xí)難度，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，對(duì)學(xué)生學(xué)好復(fù)變函數(shù)非常重要.考慮到復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程，學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)中實(shí)變量的函數(shù)積分非常熟悉，而縱觀復(fù)變函數(shù)整個(gè)課程的內(nèi)容，積分理論在大部分章節(jié)都占據(jù)了重要地位，并且它把許多經(jīng)典內(nèi)容如柯西—古薩定理、復(fù)合閉路定理、留數(shù)定理等有機(jī)地結(jié)合起來(lái)了，那么在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，若把積分理論作為整個(gè)復(fù)變函數(shù)課程內(nèi)容的一條線索，就會(huì)幫助學(xué)生理解得更加具體，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.本文集中討論復(fù)變函數(shù)積分的常用理論和方法，并輔以適當(dāng)?shù)睦}加深理解.
　　根據(jù)積分路徑的不同，復(fù)變函數(shù)積分大致可分為以下兩類：沿非封閉曲線的積分和沿封閉曲線的積分.另外，本文還討論了一個(gè)特殊情形的積分，即無(wú)窮限的廣義積分.
　　一、沿曲線C（非封閉）的積分?蘩f（z）dz
　　當(dāng)積分路徑是非封閉的曲線時(shí)，可以用參數(shù)法和牛頓—萊布尼茲積分公式法.
　　1.參數(shù)法
　　路徑是光滑的有向曲線C且可以表示成參數(shù)方程z=z（t），α≤t≤β，參數(shù)α、β分別對(duì)應(yīng)C的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則曲線積分可以用如下的公式計(jì)算：
　　?蘩f（z）dz=?蘩f［z（t）］z′（t）dt.
　　例1．計(jì)算?蘩zdz，其中C為從原點(diǎn)到1+3i的直線段.
　　解：將C的方程寫作z=（1+3i）t，0≤t≤1，則：
　　?蘩zdz=?蘩（1+3i）td（1+3i）t=?蘩（1+3i）dt=-8+6i.
　　2.線積分法
　　如果f（z）=u（x，y）+iv（x，y）是連續(xù)函數(shù)，C是光滑曲線y=g（x），則?蘩f（z）dz可以轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)二元實(shí)變函數(shù)的線積分，即：
　　?蘩f（z）dz=?蘩udx-vdy+i?蘩vdx+udy.
　　例2．計(jì)算積分?蘩（x+yi）dz，其中C為拋物線y=2x，0≤x≤1.
　　解：u=x，v=y，則：
　　?蘩（x+yi）dz=?蘩xdx-?蘩（2x）d（2x）+i?蘩（2x）dx+?蘩xd（2x）=?蘩（x-16x）dx+i?蘩（4x+4x）dx=-+i.
　　3.牛頓—萊布尼茲積分公式法
　　如果f（z）在單連通區(qū)域D內(nèi)處處解析，G（z）為f（z）在區(qū)域D的一個(gè)原函數(shù)，z與z是區(qū)域D內(nèi)兩點(diǎn)，則：
　　?蘩f（z）dz=G（z）-G（z）.
　　例3.沿區(qū)域Im（z）≥0，Re（z）≥0內(nèi)的圓弧|z|=1計(jì)算積分?蘩dz的值.
　　解：被積分函數(shù)在所給區(qū)域內(nèi)處處解析，它的一個(gè)原函數(shù)為ln（z+1），則：
　　?蘩dz=ln（z+1）|=［ln（1+i）-ln2］=--ln2+i.
　　二、沿封閉曲線C的積分?蓐f（z）dz
　　1.參數(shù)法
　　如果積分路徑是光滑的封閉曲線C且有參數(shù)方程z=z（θ），0≤θ≤2π，則曲線積分可以通過(guò)如下的公式計(jì)算：
　　Cf（z）dz=?蘩f［z（θ）］z′（θ）dθ
　　例4．計(jì)算C，其中C為以z為中心，r為半徑的正向圓圈，n為整數(shù).
　　解：將C的方程寫作z=z+re，0≤θ≤2π，代入積分式得：
　　C=?蘩dθ=?蘩edθ=2πi，n=00，n≠0.
　　2.利用柯西—古薩基本定理積分法
　　如果f（z）在單連通區(qū)域B內(nèi)處處解析，C是B的一條封閉曲線，則：
　　Cf（z）dz=0.
　　例5.計(jì)算積分Cdz，C：|z|=2.
　　解：因?yàn)閒（z）=在圓周|z|=2內(nèi)處處解析，所以積分結(jié)果為0.
　　3.利用高階導(dǎo)數(shù)積分法
　　如果f（z）是區(qū)域D上的解析函數(shù)，C是區(qū)域D內(nèi)圍繞z的一條正向簡(jiǎn)單封閉曲線，則：
　　C=（n=1，2，…）
　　例6.計(jì)算|z|=3dz
　　解：|z|=3dz=（cosπz）［４］|=-.
　　4.利用級(jí)數(shù)積分法
　　若f（z）在圓環(huán)域B內(nèi)處處解析，C是B內(nèi)的一條封閉曲線，將f（z）展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)，f（z）=c（z-z），則：
　　f（z）dz=c.
　　例7.計(jì)算積分|z|=２dz
　　解：f（z）=在1＜|z|＜+∞內(nèi)解析，|z|=2在此區(qū)域內(nèi)，則按洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)有：
　　f（z）=-=-（1+++…）（1+++…）=-1---…，
　　則C=-2，所以|z|=２dz=2πi·（-2）=-4πi.
　　5.利用留數(shù)積分法
　　設(shè)函數(shù)f（z）在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z，z，…，z外處處解析，C是D內(nèi)包含這些奇點(diǎn)的一條封閉曲線，則
　?。胒（z）dz=2πiRes［f（z），z］.
　　例8.計(jì)算積分|z|=２
　　解：被積函數(shù)f（z）=在區(qū)域|z|≤2的奇點(diǎn)是-i與1，
　　所以|z|=２=2πi{Res［f（z），-i］+Res［f（z），1］}=-.
　　注意：若函數(shù)f（z）在封閉曲線內(nèi)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)較多，曲線外的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)較少，則根據(jù)f（z）在擴(kuò)充復(fù)平面上的所有奇點(diǎn)（包括∞）的留數(shù)的總和必為零這一結(jié)論可得：
　?。胒（z）dz=-2πiRes［f（z），∞］（曲線外只有奇點(diǎn)∞）或Ｃf（z）dz=-2πi{Res［f（z），∞］+Res［f（z），z］}（z，z，…，z，∞為曲線外的奇點(diǎn)）.
　　例9．計(jì)算積分|z|=２dz
　　解：的奇點(diǎn)±1、±i在圓周|z|=2內(nèi)，圓周外的奇點(diǎn)只有∞，則：
　?。胒（z）dz=-2πiRes［f（z），∞］=2πiRes［f（），，0］=2πiRes［，0］=0.
　　總之，復(fù)變函數(shù)的積分理論是實(shí)變量函數(shù)積分理論的推廣，但比實(shí)積分理論的內(nèi)容要豐富和復(fù)雜得多.因而教師在講授時(shí)應(yīng)幫助學(xué)生理解復(fù)變函數(shù)積分理論與高等數(shù)學(xué)中積分理論的聯(lián)系，同時(shí)又要強(qiáng)調(diào)二者的不同，這對(duì)學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)整個(gè)課程內(nèi)容大有裨益.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　?。?］鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論［M］.北京：高等教育出版社，2004.
　?。?］陸慶樂(lè).工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)（第四版）［M］.北京:高等教育出版社，1996.
　?。?］王綿森.復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解［M］.北京:高等教育出版社，2003.
　?。?］王燕.復(fù)變函數(shù)積分的解法分析［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2009，12:90-91.
　?。?］唐寶慶，楊潤(rùn)生，歐陽(yáng)文等.對(duì)復(fù)變函數(shù)積分Ｃf（z）dz的計(jì)算在教學(xué)上的探討［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2010，1（30）:120-122.
　　
　　基金資助：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10801107）。