摘 要：復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過程中我們提出“一個方法”、“一個中心”的教學(xué)模式?！耙粋€方法”即類比復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的異同；“一個中心”即以簡單閉曲線上的積分f（z）dz為中心來研究復(fù)變函數(shù)的積分。
　　關(guān)鍵詞： 復(fù)變函數(shù) 復(fù)積分 “一個方法” “一個中心” 教學(xué)方法
　　
　　復(fù)變函數(shù)是高等工科院校有關(guān)專業(yè)的必修基礎(chǔ)課，它有自身的研究對象、完美的理論及精湛的技巧，其理論和方法在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著極為廣泛的應(yīng)用。在教學(xué)過程中我們提出“一個方法”、“一個中心”的教學(xué)模式。“一個方法”即類比復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的異同；“一個中心”即以簡單閉曲線上的積分f（z）dz為中心來研究復(fù)變函數(shù)的積分。
　　復(fù)變函數(shù)是在實(shí)變函數(shù)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的，在理論研究的各個方面既有區(qū)別又有聯(lián)系。雖然復(fù)變函數(shù)論有本學(xué)科的獨(dú)立性、完整性，但由于復(fù)變函數(shù)理論是高等數(shù)學(xué)的后繼課程，復(fù)變函數(shù)的基本概念和定理都與高等數(shù)學(xué)理論類似，但又有發(fā)展。在教學(xué)過程中，可以采用類比的方法教學(xué)，所謂類比的方法就是指通過復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)類似之處的比較，由以往在高等數(shù)學(xué)中獲得的實(shí)變函數(shù)的知識，引出新的處理復(fù)變函數(shù)的方法。運(yùn)用“復(fù)與實(shí)”的類比，“一對二的對應(yīng)”關(guān)系等，激發(fā)他們對新知識的認(rèn)知積極性。
　　1.“一對二的對應(yīng)關(guān)系”。
　　在復(fù)變函數(shù)中存在很多的一對二的對應(yīng)關(guān)系，即一個復(fù)的對應(yīng)到兩個實(shí)的。學(xué)習(xí)的方法是“復(fù)的”不方便研究時就可轉(zhuǎn)化為“實(shí)的”來研究。
　　1.1復(fù)數(shù)對應(yīng)于兩個實(shí)數(shù)，如z=x+iy，復(fù)數(shù)z對應(yīng)于兩個實(shí)數(shù)x，y；
　　1.2復(fù)函數(shù)對應(yīng)于兩個實(shí)函數(shù)，如w=z，令z=x+iy，w=u+iv，則u+iv=（x+iy）=x-y+2xyi，因而復(fù)函數(shù)w=z對應(yīng)于兩個實(shí)函數(shù)u=x+y，v=2xy；
　　1.3復(fù)函數(shù)的極限對應(yīng)于兩個實(shí)函數(shù)的極限；
　　1.4復(fù)函數(shù)的連續(xù)對應(yīng)于兩個實(shí)函數(shù)的連續(xù)；
　　1.5復(fù)函數(shù)的求導(dǎo)對應(yīng)于兩個實(shí)函數(shù)的求導(dǎo)f′（z）=+i，通過柯西－黎曼方程還可以有其他的表達(dá)形式，但都可用兩個實(shí)函數(shù)的偏導(dǎo)來表示；
　　1.6復(fù)函數(shù)的解析對應(yīng)于兩個實(shí)函數(shù)柯西－黎曼方程=，=-；
　　1.7復(fù)數(shù)列的收斂對應(yīng)于兩個實(shí)數(shù)列的收斂；
　　1.8復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂對應(yīng)于兩個實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂。
　　通過以上“一對二的對應(yīng)”關(guān)系，可以很快地解決極限、求導(dǎo)、解析、級數(shù)等問題。在這些方面甚至很多定理都和高等數(shù)學(xué)中的定理基本相同，讓學(xué)生體會到對新的復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)可以很方便地轉(zhuǎn)化為已有知識的問題，能大大地提高學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)然除了相同之處還有不同之處，復(fù)變函數(shù)是以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù)，實(shí)變函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)。因此要認(rèn)清復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的區(qū)別，這樣便于把握問題的本質(zhì)。
　　2.復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的區(qū)別。
　　復(fù)變函數(shù)論研究的內(nèi)容和方法與高等數(shù)學(xué)中的一元微積分相比，有其特殊的方面，二者存在著諸多差異。教學(xué)中如何向?qū)W生展示二者的聯(lián)系與差異，揭示復(fù)變函數(shù)的本質(zhì)屬性，是上好這門課的關(guān)鍵所在。
　　2.1實(shí)數(shù)可以比較大小，而復(fù)數(shù)不可以；
　　2.2復(fù)變函數(shù)極限與實(shí)變函數(shù)極限的定義的形式都一樣，都是利用ε-σ定義的，但是復(fù)變函數(shù)中z→z在復(fù)平面上可以是沿任何方向趨向于z，而實(shí)變函數(shù)中x→x只能沿實(shí)軸從左右兩邊趨向于x。趨向的方式不同，極限的實(shí)質(zhì)就不相同。因?yàn)楹瘮?shù)的連續(xù)，可導(dǎo)，可微等都是在極限的基礎(chǔ)上展開的，由此導(dǎo)致了復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)在連續(xù)、可導(dǎo)、可微等定義方面雖然形式相同，但實(shí)則又存在著不同；
　　2.3復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)初等函數(shù)的推廣，它與實(shí)初等函數(shù)有許多相同之處，但也有很大區(qū)別。比如單值和多值的區(qū)別；
　　2.4復(fù)變函數(shù)積分的定義類似高等數(shù)學(xué)里積分的方法，采取的是分割、近似替代、求和、取極限等步驟來建立的，但形式像一元積分，而實(shí)質(zhì)像曲線積分；
　　2.5復(fù)變函數(shù)積分的牛頓—萊布尼茲公式與實(shí)一元函數(shù)的牛頓—萊布尼茲公式在形式和結(jié)果上幾乎是完全一致，但實(shí)一元函數(shù)積分對函數(shù)的要求比復(fù)變函數(shù)積分對函數(shù)的要求要低得多。用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分，首先要解決的是，積分上下限的兩點(diǎn)是否可以包含在一個單連通域內(nèi)，且被積函數(shù)f（z）是否在該單連通域內(nèi)解析。
　　2.6最大的不同之處是復(fù)變函數(shù)積分主要研究簡單閉曲線上的積分f（z）dz，方法不同于高等數(shù)學(xué)中的方法，但思想有相同之處。復(fù)合閉路定理或留數(shù)定理，表達(dá)了邊界與內(nèi)部的聯(lián)系，在高等數(shù)學(xué)中的牛頓－萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式同樣表達(dá)了邊界與內(nèi)部的聯(lián)系。
　　對所講授的內(nèi)容進(jìn)行異同的對比，使學(xué)生了解新舊知識的關(guān)系，讓學(xué)生認(rèn)清復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的異同，同時培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維。
　　3.復(fù)變函數(shù)的中心內(nèi)容是簡單閉曲線上的積分f（z）dz，圍繞此展開，可以看到它獨(dú)特的完美結(jié)構(gòu)。
　　f（z）dz型積分是整個復(fù)變函數(shù)最中心的問題。被積函數(shù)f（z）在簡單閉曲線C內(nèi)解析，由柯西－古薩定理得f（z）dz=0；當(dāng)被積函數(shù)f（z）在簡單閉曲線C內(nèi)不解析時，由復(fù)合閉路定理，簡單閉曲線C上的積分轉(zhuǎn)化為繞內(nèi)部各個孤立奇點(diǎn)的簡單閉曲線C的積分之和，這也是留數(shù)定理的主要內(nèi)容。
　　剩下的問題就是如何解決繞單個孤立奇點(diǎn)的簡單閉曲線C的積分，對這個問題逐步深入。
　　3.1先解決dz型，f（z）在簡單閉曲線C內(nèi)解析，可用柯西積分公式。
　　3.2然后解決型dz，f（z）在簡單閉曲線C內(nèi)解析，可用高階導(dǎo)數(shù)公式，當(dāng)n=1時就是3.1的情形。
　　3.3最普通的形式f（z）dz，可用羅朗級數(shù)負(fù)一次冪系數(shù)c表達(dá)。
　　3.4最后是留數(shù)，Res［f（z），z］=c，就是羅朗級數(shù)負(fù)一次冪系數(shù)c，只是不用把完整的羅朗級數(shù)都得出來，因?yàn)橹灰玫截?fù)一次冪系數(shù)，就可用留數(shù)計(jì)算規(guī)則直接計(jì)算負(fù)一次冪系數(shù)。
　　4.小結(jié)。
　　總之，在教學(xué)過程中，要帶領(lǐng)學(xué)生不斷回憶高數(shù)中的知識，并從中聯(lián)想如果放到復(fù)變函數(shù)中會有什么區(qū)別，然后進(jìn)行探究、比較，認(rèn)識到復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的不同，可以做到知識的承前啟后的效果，便于我們加深對知識的理解，提升認(rèn)知的高度。教師的教學(xué)不是只要求學(xué)生以學(xué)到知識為目標(biāo)，而是希望大家能夠做到會學(xué)習(xí)、會研究；使學(xué)生不僅僅了解復(fù)變函數(shù)的知識，還在學(xué)法上得到某種啟示，將核心放在思路、方法、能力的培養(yǎng)上。此外，對于工科學(xué)生的要求不需要像對數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生那樣嚴(yán)格，教學(xué)中盡量做到教學(xué)語言“通俗化”，適當(dāng)減少理論性較強(qiáng)的推導(dǎo)和證明。
　　
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　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”