摘 要： 在標(biāo)的資產(chǎn)的對數(shù)收益非正態(tài)的情況下，本文通過時間序列的動態(tài)結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出股票對數(shù)收益的Edgeworth展開，由此推導(dǎo)幾何平均亞式期權(quán)值，并看出對數(shù)收益過程的非高斯性及相依性對期權(quán)定價的影響.
　　關(guān)鍵詞： 平穩(wěn)過程 累積量 Edgeworth展開式 亞式期權(quán)
　　
　　引言
　　亞式期權(quán)又稱為平均價格期權(quán)，是在總結(jié)真實(shí)期權(quán)，虛擬期權(quán)和優(yōu)先期權(quán)等期權(quán)實(shí)施的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)基礎(chǔ)上推出的新型期權(quán).與標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的區(qū)別在于：在到期日確定期權(quán)收益時，用期權(quán)合同期內(nèi)某段時間標(biāo)的資產(chǎn)價格的平均值來代替到期日的標(biāo)的資產(chǎn)的價格，這段時間稱為平均期.在對價格進(jìn)行平均時采用算術(shù)平均或幾何平均.本文考慮幾何平均亞式期權(quán)的定價問題，主要采用Edgeworth展開式近似對數(shù)收益分布，從而可得到幾何平均亞式期權(quán)價格的解析近似式.很多作者都使用過不同的統(tǒng)計(jì)序列展開式進(jìn)行歐式期權(quán)定價（像Jarrow and Rudd，1982;Corrado and Su，1996a，b，1997;Kariya，1993）.本文將采用類似的方法得到標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)收益分布的Edgeworth展開式，從而得到幾何平均亞式期權(quán)價格的解析近似式.
　　1.累積量
　　定義1：設(shè)X是一個隨機(jī)變量，它的n+1階矩存在，φ（t）為其特征函數(shù)，將lnφ（t）作Taylor展開
　　lnφ（t）=（it）+o（t）（1）
　　稱展開式中系數(shù)c為X的第k階累積量.
　　定義2:設(shè)（X，…，X）為n維隨機(jī)變量，它的n+1階矩存在，φ（t，…，t）為其特征函數(shù)，稱Cum（X，…，X）為（X，…，X）的n階累積量，其中
　　Cum（X，…，X）=（-1）（p-1）!E（X）（2）
　　這里v（j）是（1，…，n）的非空子集，v=（v，…，v）為（1，…，n））的任一分割，1≤p≤n.
　　特別地，當(dāng)n=2，3時，
　　Cum（X，X）=E（XX）-EXEX，
　　Cum（X，X，X）=E（XXX）-EXE（XX）-EXE（XX）-EXE（XX）+2EXEXEX
　　注：（1）式中的c可用Cum（X，…，X）表示出來，例如
　　c=Cum（X，X），c=Cum（X，X，X），…
　　2.Edgeworth展開
　　對數(shù)收益的分布在真實(shí)市場往往是非高斯的和非對稱的，我們將用Edgeworth展開來反映這些收益的分布.Edgeworth展開式具有好的分析形式，使用它可以得到更合理的期權(quán)價格.
　　設(shè)X為i.i.d，EX=μ，DX=σ＜∞，令S=（X-μ）/（σ），以F（x）表示S的分布函數(shù)，以Φ（x）和?準(zhǔn)（x）分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)和密度函數(shù).由中心極限定理知
　　?坌x∈R，F(xiàn)（x）→Φ（x）（n→∞）.
　　進(jìn)一步，F(xiàn)（x）有如下更精確的表示式
　　?坌x∈R，F(xiàn)（x）=Φ（x）-?準(zhǔn)（x）［++…++…］，
　　稱上式為S的分布的Edgeworth展開式，其中Q（x）是以X的累積為系數(shù)的多項(xiàng)式，例如
　　Q（x）=λ（x-1），
　　Q（x）=λx+（λ-λ）x+（λ-λ）x，
　　這里λ=c/σ，稱λ為X的第k階標(biāo)準(zhǔn)累積.
　　3.亞式期權(quán)的Esscher價格定義
　　設(shè)T為期權(quán)的到期日，S為標(biāo)的資產(chǎn)在時刻T價格，K為敲定價.文【5】對歐式看漲期權(quán)在時刻T的價格定義為
　　C=exp（-rτ）E（S-K）.
　　其中r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，是一常數(shù)，E表示在已知T及以前時刻的資產(chǎn)信息的條件下的條件期望，（x）=max{x，0}.
　　類似于文【5】我們給出標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)收益的定義和亞式期權(quán)的Esscher價格定義.
　　定義3：設(shè)（S;t≥0）是標(biāo)的資產(chǎn)的價格過程，對數(shù)收益X由下式定義，
　　lnS-lnS=△μ+△X，j=1，…，N（3）
　　其中T為計(jì)算標(biāo)的資產(chǎn)平均值的起點(diǎn)，N=τ/△，τ=T-T，△為分割的小區(qū)間的長度，T為到期日.
　　亞式看漲期權(quán)在時刻T的Esscher價格定義為
　　GA=eE ［（S）-K］
　　 =eE ［（S）-K］.
　　亞式看跌期權(quán)在時刻T的Esscher價格定義為
　　GA=eE ［K-（S）］.
　　由（3）式知
　　S=Sexp（△μ+△X），
　　S=Sexp（2△μ+△（X+X）），
　　?噎
　　S=Sexp（N△μ+△（X+X+…+X））.
　　故
　?。⊿）=Sexp［△μ+△N（N-j-1）X］
　　 =Sexp［μ+τN（N-j-1）X］.
　　于是
　　GA=eE ［Sexp［μ+τN（N-j-1）X］-K］.
　　GA=eE ［K-Sexp［μ+τN（N-j-1）X］］.
　　4.亞式期權(quán)的定價
　　4.1基本模型
　　B-S模型假定標(biāo)的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運(yùn)動，它的波動率為常數(shù).而在實(shí)際市場運(yùn)行中，標(biāo)的資產(chǎn)的對數(shù)收益往往服從非高斯分布且非對稱.因此我們假定標(biāo)的資產(chǎn)的對數(shù)收益{X}是相依過程，且滿足:
　?。ˋ1）{X}是四階平穩(wěn)的，即
　?。╥）EX=0;
　　（ii）Cum（X，X）=C（u）;
　?。╥ii）Cum（X，X，X）=C（u，u）;
　?。╥v）Cum（X，X，X，X）=C（u，u，u）.
　?。ˋ2）累積量C（u，u，…，u），k=2，3，4滿足
　?。?+|u|）|C（u，u，…，u）|＜∞，j=1，2，…，k-1.
　?。ˋ3）|u||C（u，u，…，u）|=o（1），j=1，2，…，k-1.
　?。ˋ4）Z的j階累積量是O（N），其中Z=N（N-j+1）X.
　　在（A2）下，{X}有k階累積譜密度，以f表示{X}的第k階累積譜密度在頻率為0的值，即
　　f=（2π）C（u，u，…，u），k=2，3，4.
　　4.2{X}滿足AR模型時的亞式期權(quán)定價.
　　由前知，（S）的分布依賴于Z=N（N-j-1）X的分布.下面我們來考慮Z的Edgeworth展開式.
　　定理1:假定（A1）-（A4）成立，則Z=（πf）Z的密度函數(shù)的3階Edgeworth展開為
　　g（z）=φ（z）{1+N（1-）H（z）+NH（z）+NH（z）}+o（N）.（4）
　　其中?準(zhǔn)（g）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)，H（?）為k階hermite多項(xiàng)式，k=2，3，...，7，且f′=|u|C（u）.
　　定理1的證明可參考文【13】.很多作者都使用不同的統(tǒng)計(jì)序列展開進(jìn)行期權(quán)定價，這里我們將使用標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)收益分布的Edgeworth展開式給出亞式期權(quán)的定價公式.我們將考慮對數(shù)收益過程{X}滿足AR模型時的亞式期權(quán)定價問題.
　　設(shè)X=aε，t∈Z
　　其中{ε}是不相關(guān)r.v序列，并作以下假定：
　?。˙1）{ε}是四階平穩(wěn)的，即
　　（i）Eε=0;
　?。╥i）Cum（ε，ε）=C（u）;
　?。╥ii）Cum（ε，ε，ε）=C（u，u）;
　?。╥v）Cum（ε，ε，ε，ε）=C（u，u，u）.
　　（B2）累積量C（u，u，…，u），k=2，3，4滿足
　?。?+|u|）|C（u，u，…，u）|＜∞，j=1，2，…，k-1.
　?。˙3）{a}滿足（1+|j|）|a|＜∞.
　?。˙4）|u||C（u，u，…，u）|=o（1），j=1，2，…，k-1.
　　在（B2）下，{ε}有k階累積譜密度，以f表示{ε}的第k階累積譜密度在頻率為0的值，即
　　f=（2π）C（u，u，…，u），k=2，3，4.
　　
　　在（B1）-（B4），（A4）下，我們可得到以下推論.
　　定理2:假定（B1）-（B4）及（A4）成立.令
　　a=exp（-rτ），
　　a=exp（μ+τσA），
　　d=（ln（）+μ+f）/（f），
　　d=d-（f）.
　　則GA及GA可表為
　　GA=G+N（1-f′）G+N（2π）fG
　　 +Nπ（f）G+o（N）.（5）
　　GA=G+N（1-f′）G+N（2π）fG
　　 +Nπ（f）G+o（N）.（6）
　　其中
　　G=a{aSΦ（d）-KΦ（d）}，
　　G=aaS{（f）H（-d）?準(zhǔn)（d）+（f）Φ（d）}，k=2，3，6.
　　A=a，f=A，
　　f′=2|j|aa，
　　G=G-a［Sexp（μ）M-K］，
　　M=E{exp（τσA）Z}.
　　注：從（5）和（6）式中可以看出亞式期權(quán)價格的漸進(jìn)擴(kuò)張依賴于f′，f，k=2，3，…，7，因此，我們可以看出非高斯性和相依性對對數(shù)收益過程的高階期權(quán)值的影響.
　　5.定理2的證明
　　由（B1）-（B3）及X=aε，t∈Z知f=Af.k=2，3
　　再由（A2）可得
　　C（u）=var（aε，aε）=σaε.
　　故
　　f=A，f′=σf′.
　　于是==f′，=（2π）f，
　　=（2π）f，=（2π）f′f，
　　=（f），
　　G=G-a［Sexp（μ）M-K］，
　　M=E{exp（τσA）Z}.
　　
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