摘 要： 本文通過對柯西不等式的研究，得出了幾種新的證明方法：配方法、向量法、行列式性質(zhì)、數(shù)學(xué)歸納法、運(yùn)用二元二次型的正定性，最后討論了柯西不等式在極值問題上的應(yīng)用.
　　關(guān)鍵詞： 柯西不等式 證明方法 極值問題
　　
　　柯西不等式是數(shù)學(xué)中一個非常重要的不等式，價值不可估量.它以對稱和諧的結(jié)構(gòu)，應(yīng)用的廣泛性，引起了人們的興趣和探討。它對推導(dǎo)其他數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)解題及在實際運(yùn)用中都有非常重要的作用.
　　本文主要研究柯西不等式的幾種證明方法及利用柯西不等式來解決一些數(shù)學(xué)問題，最后還給出柯西不等式的一些推廣.柯西不等式在理論中占有很重要的地位，靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，起到事半功倍的作用，也有利于培養(yǎng)人的邏輯思維能力和推理論證能力.同時，柯西不等式也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.柯西不等式不僅在高等數(shù)學(xué)中是一個十分重要的不等式，而且對初等數(shù)學(xué)也有很重要的指導(dǎo)作用，利用它能高瞻遠(yuǎn)矚、居高臨下，能夠方便地解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)問題.構(gòu)造柯西不等式解題能夠打破常規(guī)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，充分發(fā)揮柯西不等式的教育功能.
　　一、柯西不等式的證明
　　柯西不等式是一個重要的不等式，其應(yīng)用極為廣泛.無論是高等數(shù)學(xué)還是初等數(shù)學(xué)，都有不少問題可以用它來解決.柯西不等式的多種方法證明及靈活應(yīng)用，對培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力也頗有益處.下面給出柯西不等式的五種證明方法.
　　1.配方法
　　證明：（a+a+…+a）（b+b+…+b）-（ab+ab+…+ab）
　　=（a）（b）-（ab）=ab-abab
　　=（ab+ab-2abab）
　　=（ab-2abab+ab）=（ab-ab）≥0
　　即（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b）
　　當(dāng)且僅當(dāng)（ab=ab）=0，即a=kb（k為常數(shù)，i=1，2，…，n）時，等號成立.
　　2.向量法
　　證明：設(shè)n維向量=（a+a+…+a），=（b+b+…+b），則有|?|≤||?||，即（?）≤||||，所以（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b），當(dāng)且僅當(dāng)（ab=ab）=0，即a=kb（k為常數(shù)，i=1，2，…，n）時，等號成立.
　　3.數(shù)學(xué)歸納法
　　證明：當(dāng)n=1時，顯然成立.
　　當(dāng)n=2時，（ab+ab）=ab+2abab+ab≤ab+ab+ab+ab=a（b+b）+a（b+b）=（a+a）（b+b）
　　當(dāng)且僅當(dāng)ab=ab時，等號成立.
　　假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b），當(dāng)且僅當(dāng)ab=ab（k為常數(shù)，i=1，2，…，n）時，等號成立.
　　當(dāng)n=k+1時，
　　2ab
　　=（a+a+…+a+a）（b+b+…+b+b）
　　=（a+a+…+a）（b+b+…+b）+b（a+a+…+a）+a（b+b+…+b）+ab
　　≥（a+a+…+a）（b+b+…+b）+2ab+ab
　　≥（ab+ab+…+ab）+2ab（ab+ab+…+ab）+ab
　　=（ab+ab+…+ab）
　　即（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a+a）（b+b+…+b+b），當(dāng)且僅當(dāng)ab=ab（k為常數(shù)，i=1，2，…，n）時，等號成立.
　　綜上所述，（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b），當(dāng)且僅當(dāng)（ab=ab）=0，即a=kb（k為常數(shù)，i=1，2，…，n）時，等號成立.
　　4.運(yùn)用二元二次型的正定性
　　證明：顯然0≤（ax+by）=（a）x+2（ab）xy+（b）y為x，y的正定二次型，所以其判別式不大于0.即4（ab）-4ab≤0
　?。╝b）≤ab（1）
　　且（ax+by）=0，當(dāng)且僅當(dāng)ax+by=0，即=-，i=1，2，…，n.所以當(dāng)且僅當(dāng)==…=時，（1）式等號成立.即（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…