阿布力米提·米吉提

(伊犁師范學院 數(shù)學系，新疆 伊寧 835000)

1 預備定義和定理

1.1 關(guān)于幾何函數(shù)論與單葉函數(shù)

幾何函數(shù)論(也稱復變函數(shù)幾何理論)，它的理論和方法不但可以用來解決微分方程、解析數(shù)論、微分幾何、拓撲學等許多數(shù)學分支提出的問題，而且更為普遍地應(yīng)用于自然科學的諸多領(lǐng)域[1-2].單葉函數(shù)是幾何函數(shù)論的重要內(nèi)容之一.

定義1 設(shè)D={z;|z|<1}表示單位圓盤，函數(shù)f(z)是在區(qū)域D全純.

定理1 若f(z)在z=z0全純，且f′(z0)≠0，則存在δ>0，f(z)在|z-z0|<δ單葉.

1.2 關(guān)于從屬理論與從屬原理

從屬理論是幾何函數(shù)論中的一個重要部分，應(yīng)用它研究單葉函數(shù)的各種幾何性質(zhì)是很方便的[3-4].再說，一方面從屬原理本身就有交明確的幾何性質(zhì).另一方面，從屬原理最大的優(yōu)勢就是把兩個全純的函數(shù)通過一個特殊的全純函數(shù)有機地聯(lián)系在一起.這個特殊函數(shù)是區(qū)域D中全純且影射D到自身、原點對應(yīng)原點的函數(shù)的全體所組成的函數(shù)族.

也就是，記:H(D)={f(z);/f(z)在D中全純}，B={φ(z);/φ(z)∈H(D)且|φ(z)|<1}，

P={P(z);/P(z)∈H(D),ReP(z)>0}.

定義2 設(shè)f(z)∈H(D),g(z)∈H(D)，若存在φ(z)∈B,且φ(0)=0,使f(z)=g(φ(z))，稱f(z)在區(qū)域D從屬于g(z,)記為f(z)g(z).

若f(z)g(z)，有φ(D)?D,φ(0)=0,從而由從屬的定義推出f(D)?g(D),且f(0)=g(0).

定理2 設(shè)g(z)在D中單葉，則f(z)g(z)當且僅當f(0)=g(0)且f(D)?g(D).

證明“?” 由于f(z)g(z)，有φ(D)?D,φ(0)=0,從而由從屬的定義推出f(D)?g(D),且f(0)=g(0).

“?” 由于g(z)在D中單葉的，故g-1(w)在g(D)中全純且單葉，若f(D)?g(D)，則令g(z)=g-1(f(z))∈B，且由f(0)=g(0)得到φ(0)=0,顯然對這樣的g(z)有f(z)=g(φ(z)).證畢.

關(guān)于核函數(shù)與從屬鏈以及變系數(shù)線性微分方程組的有關(guān)記號、定義及定理見文獻[5-8].

2 判斷函數(shù)f(z)單葉函數(shù)的幾種方法

定理3 設(shè)f(z)在z=z0全純，且f′(z0)≠0，若:

(1)

則f(z)在D中單葉.

定理4 若f(z)在D全純函數(shù)，且f′(z0)≠0，φ(t)是[0,1]上的可微復值函數(shù)，且φ(1)=0,φ(x)-xφ′(x)≠0,x+φ(x)≠0,令|z|=r,若f(z)滿足：

(2)

則f(z)是D中的單葉函數(shù).

證明不妨設(shè)f(z)=z+a2z2+…，考慮函數(shù):L(z,t)=f(e-tz)+φ(e-t)zf′(e-tz),t≥0，則:

此時：

從而:

由最大模原理:

故令u=e-tξ0,則|u|=e-t<1,即u∈D，

故通過對L(z,t) 的標準化后由定理2知L(z,t) 是從屬鏈，從而當t≥0時，L(z,t) 在D中單葉.

特別注意：φ(1)=0便知L(z,0)=f(z)在D中單葉.

推論1 若f(z)在D全純函數(shù)，且f′(z0)≠0，φ(t)是[0,1]上的可微復值函數(shù)，且φ(1)=0,φ(x)-xφ′(x)≠0,x+φ(x)≠0,令|z|=r,若f(z)滿足:

(3)

則f(z)+(c-1)zf′(z)在D中單葉.

如果定理4中令：φ(r)=r-β-rβ，可得:

推論2 若f(z)在D全純函數(shù)，且f′(z0)≠0，φ(t)是[0,1]上的可微復值函數(shù)，且φ(1)=0,φ(x)-xφ′(x)≠0,x+φ(x)≠0,令|z|=r,若f(z)滿足:

(4)

其中r=|z|<1.

則函數(shù)f(z) 在D中單葉.

如果定理4中令：φ(r)=r-β-1，可得:

推論3 若f(z)在D全純函數(shù)，且f′(z0)≠0，φ(t)是[0,1]上的可微復值函數(shù)，且φ(1)=0,φ(x)-xφ′(x)≠0,x+φ(x)≠0,令|z|=r,若f(z)滿足:

其中r=|z|<1,

(5)

則函數(shù)f(z) 在D中單葉.

如果定理4中令：φ(r)=r-β-r，可得:

推論4 若f(z)在D全純函數(shù)，且f′(z0)≠0，φ(t)是[0,1]上的可微復值函數(shù)，且φ(1)=0,φ(x)-xφ′(x)≠0,x+φ(x)≠0,令|z|=r,若f(z)滿足:

其中r=|z|<1,

(6)

則函數(shù)f(z) 在D中單葉.

特別在式(5)與式(6)中取β=1與β=2時分別可得一下兩個結(jié)果：

推論5 若f(z)在D中的全純函數(shù)且f′(z0)≠0，若:

則f(z)是D中的單葉函數(shù).

推論6 若f(z)在D中的全純函數(shù)且f′(z0)≠0，若:

則f(z)是D中的單葉函數(shù).

定理5 若f(z)在D中的全純函數(shù)且f′(z0)≠0，φ(t)與定理6中相同，r=|z|，且:

(7)

則f(z)是D中的單葉函數(shù).

利用微分方程的方法也可得到一些單葉性判別的準側(cè).

定理6 設(shè)f(z)在D內(nèi)局部單葉，即f′(z)≠0,(z∈D)，定義:

(8)

則f(z)在D中單葉的充要條件是二階線性微分方程:

w″(z)+v(z)w(z)=0.

的每個非平凡解在D內(nèi)至多有一個零點.

推論8 設(shè)f(z)在D內(nèi)局部單葉，即f′(z)≠0,(z∈D)，定義：

(9)

wi″+v(z)wi=0(i=1,2)

(10)

的每個非平凡解在D內(nèi)至多有一個零點.

證明(在下面只證當i=1時的情況).

(11)

且具有一般解u(z)=αf(z)+β，但方程(1)的每個非平凡解在D中至少有一個零點的充要條件是f(z)在D中單葉，故當i=1時，定理結(jié)論成立.(同樣可證，當i=2時的情況)

定理7 設(shè)p(x)是實值的偶函數(shù)，在x∈(-1,1)內(nèi)連續(xù)且當x∈(-1,1)時, (1-x2)p(x)單調(diào)遞減，若：

(12)

具有一個解u(x)>0，且f(z)在D中局部單葉，由式(18)是對應(yīng)的v(z)滿足：

|v(z)|≤p(|z|), (z∈D),

(13)

則f(z)在D中單葉.

[1] 阿爾福斯.復分析[M].張立，張靖譯.上海:上海科技出版社，1984.

[2] 戈魯辛.復變函數(shù)幾何論[M]. 陳建功譯.北京:科學出版社，1956.

[3] 高建福.單位圓盤內(nèi)正則函數(shù)的單葉性準則[J].數(shù)學的實踐與認識，1999(29):165-168.

[4] 高建福.正則函數(shù)的從屬性與單葉性[J].亞洲教育，2003,7(1):60-61.

[5] 范春方.某些一階微分方程解析解的單葉性[J].數(shù)學學報，1992,35(4):483-491.

[6] E.卡姆克.常微分手冊[M].張鴻林譯.北京:科學出版社,1977.

[7] 貝爾曼.微分方程解的穩(wěn)定性理論[M].北京：科學出版社，1957.

[8] 鄧宗琦.二階線性齊次微分方程的注記[J].華中師院學報,1983(2):7-12.

[9] 阿布力米提.幾類變系數(shù)線性微分方程組的可解型[J].伊犁師院學報,2006(3)：30-33.