戴麗娜，林全文

(廣東石油化工學(xué)院 理學(xué)院,廣東 茂名 525000)

1 概述

其中:K≥1的正整數(shù)，函數(shù)P(t)，Qi(t)：I→R＋＝(0,∞),I是R＋上的無界子集；g:I→I,且.定義gi為g的i次迭代，即

關(guān)于微分與差分方程解的振動性問題已有許多研究成果，文獻(xiàn)中大量涉及這些方程的振動準(zhǔn)則，可參看專著[1－2]及其引文；但是，關(guān)于迭代泛函方程振動研究的成果則比較少.這類方程（尤其是作為其特例的循環(huán)方程）有著廣泛的應(yīng)用.它們可以用來描述生物、氣象、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中的許多過程，因此，近年來迭代泛函方程的振動性問題越來越受關(guān)注，具體可參看文獻(xiàn)[4－12].

本文中，筆者利用與文獻(xiàn)[7]不同的方法，對變系數(shù)函數(shù)方程（1）一切解的振動性進(jìn)行討論，并得到新的振動準(zhǔn)則，推廣了文獻(xiàn)[4－5]的某些結(jié)果.

引理1[7]4151）如果，方程

考慮非線性泛函方程

沒有正實根；

引理2[7]415設(shè)，定義序列如下：

2 主要結(jié)果

定理1 假如

則方程（1）的一切解振動.

證 假設(shè)方程（1）有非振動解x(t)，不妨設(shè)x(t)＞0,t∈I,t≥t1∈I.因，故存在t2∈I,t2≥t1，使得 x(gK＋i(t))＞0,t∈I,t≥t2.因此由方程（1）得

通過迭代，有

把式（5）代入式（1），得

由條件（4），存在一個ε＞0和t3≥t2，使得當(dāng)t∈I,t≥t3時，有

將式（7）代入式（6），得

即

由上式再次迭代，可得

對上面的式子進(jìn)行迭代，得

將上式代入式（1），得

其中，

用數(shù)學(xué)歸納法可證明1＞…＞βn＞βn－1＞…＞β1＞(A－ε)，故有存在.令n→∞，式(8)兩邊取根得

令u＝1－β，則有

定理2 假設(shè)

且

證 假設(shè)方程(1)有非振動解x(t)，不妨設(shè)x(t)＞0,t∈I,t≥t1∈I.因，故存在t2∈I,t2≥t1，使得x(gK＋i(t))＞0,t∈I,t≥t2.因此由方程(1)得

由上式迭代得

將式（12）代入式（1）且結(jié)合（10）與（12），得

即

式（13）通過迭代有

由式（1），（10）和（14），得

不斷重復(fù)上述過程得

再次迭代，得

和

由式(1)和(16),有

由式(1),(17)和(18),有

令n→∞,t→∞,由上式得

這與式(11)相矛盾.

推論1 假設(shè)

則方程(1)的一切解振動.

顯然，當(dāng)m＝1，K＝1時，方程(1)為文獻(xiàn)[4－5]給出的方程，筆者所得結(jié)果為其推廣.

3 應(yīng)用

方程(1)包括具有離散變量和連續(xù)變量的差分方程作為其特殊情形.如果令g(t)＝t－τ,τ∈R＋,I＝R＋，則方程(1)化為具有連續(xù)變量的差分方程

由定理1和定理2，可以得到定理3.

定理3 假設(shè)下列條件之一成立：

則方程（19）的一切解振動.

如果令g(t)＝θt，θ∈(0,1)，則方程（1）化為無窮時滯的差分方程

仍由定理1和定理2，還可以得到以下定理4.

定理4 假設(shè)下列條件之一成立：

則方程(20)的一切解振動.

[1] AGARWAL R P,GRACE S R,REGAN D O.Oscillation theory for difference and functional differential equations[M].Kluwer: Dordrecht,2000.

[2] GYORI I,LADAS G.Oscillation theory of delay differential equations with applications[M].New York:Oxford University Press,1991.

[3] LAKSHMIKANTHAM V,TRIGIANTE D.Theory of difference equations[M].Massachusettes:Academic Press,1988.

[4] GOLDA W,WERBOWSKII J.Oscillation of linear functional equations of the second order[J].Funkcialaj Ekvacioj,1994,37 (2):211-227.

[5] NOWAKOWSKA W,WERBOWSKI J.Oscillation of Linear functional equations of higher order[J].Arch Math,1995,31:251-258.

[6] 周勇,俞元洪.變系數(shù)函數(shù)方程解的振動性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),1999,19(3):348-352.

[7] 周勇,俞元洪,劉正榮.變系數(shù)函數(shù)方程解的振動準(zhǔn)則[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2000,23(3):413-419.

[8] 林全文,全煥,廖思泉,等.高階變系數(shù)函數(shù)方程的振動性[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2009,39(12):229-235.

[9] 林全文,伍英柱,廖思泉.變系數(shù)非線性泛函方程解的振動準(zhǔn)則[J].茂名學(xué)院學(xué)報,2007,17(1):64-66.

[10] NOWAKOWSKA W,WERBOWSKI J.Oscillatory behavior of solutions of functional equations[J].Nonlinear Analysis,2001, 44:767-775.

[11] LIN Quanwen,WU Yingzhu,LIAO Siquan.The oscillation of nonlinear functional equation with variable coefficients[J]. Journal of Mathematics Research,2009,1(2):216-221.

[12] 林全文,伍英柱,廖思泉.泛函方程解的振動準(zhǔn)則的一個新結(jié)果[J].茂名學(xué)院學(xué)學(xué)報，2009,19(6):58-60.