張小龍，東亞斌，張曉鐘，李雨田

（西安建筑科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710055）

為了降低機(jī)械和結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)，特別是受到各種條件制約難以回避共振時(shí)，現(xiàn)實(shí)的方法是安裝各種動(dòng)力吸振器。在主振動(dòng)系上附加吸振器后，通過適當(dāng)選擇吸振器的動(dòng)力參數(shù)，在主振系共振頻率點(diǎn)附近就可以達(dá)到減小其強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的目的。由于被動(dòng)式動(dòng)力吸振器的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，穩(wěn)定性和可靠性高，不需要外部動(dòng)力源，能有效地抑制頻率變化較小的機(jī)械或結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，因此很早就在許多領(lǐng)域獲得了應(yīng)用，同時(shí)對(duì)各種被動(dòng)式動(dòng)力吸振器的研究與開發(fā)也一直受到人們的關(guān)注［1－2］。

為了達(dá)到動(dòng)力吸振的目的，佐藤久雄等［3］利用兩球同向旋轉(zhuǎn)時(shí)在接觸點(diǎn)處逆向運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生阻尼力，設(shè)計(jì)了一種兩球轉(zhuǎn)動(dòng)式吸振器（two-ball rolling type swing damping equipment）。松久寛等［4］開發(fā)出了解決索道纜車振動(dòng)問題的圓弧軌道型吸振器?；拇ɡ蔚龋?］利用水平半圓弧彈簧和電磁阻尼，開發(fā)了一種水平二維免振臺(tái)，用于抑制因風(fēng)、地震和地基振動(dòng)引起的住宅振動(dòng)。張小龍等［6－7］通過理論分析與數(shù)值計(jì)算研究了滾珠控制轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)的理論與技術(shù)。

為了降低吸振器的成本，簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，本文設(shè)計(jì)了一種由簡(jiǎn)單幾何體球面和球體組成的滾動(dòng)質(zhì)量型吸振器，稱為滾珠式多向動(dòng)力吸振器，可以用于塔柱類設(shè)施的多個(gè)方向振動(dòng)控制，具有一定的通用性。本文在對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模、分析與計(jì)算的基礎(chǔ)上，運(yùn)用定點(diǎn)理論優(yōu)化設(shè)計(jì)了吸振器參數(shù)，還討論了參數(shù)對(duì)吸振效果的影響。

1 吸振器及其理論分析

1.1 吸振器

如圖1所示，在振動(dòng)主體（質(zhì)量為M）的凹球面（半徑為R）內(nèi)有一吸振球（質(zhì)量為m、半徑為r，繞其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I），振動(dòng)主體用剛度為k的彈簧和阻尼系數(shù)為c的阻尼器與基礎(chǔ)相聯(lián)（圖中阻尼器略）。由于圖1中吸振球可沿凹球面向任何方向運(yùn)動(dòng)，所以系統(tǒng)在水平面內(nèi)沿任何方向振動(dòng)時(shí)，吸振球均有吸振作用。

圖1 滾珠式多向動(dòng)力吸振器原理圖Fig.1 Mechanism of dynamic multi-direction vibration absorber with a ball

1.2 運(yùn)動(dòng)方程式及吸振性能分析

為了簡(jiǎn)化分析過程，這里只分析系統(tǒng)在一個(gè)方向的振動(dòng)及其吸振作用，模型如圖2所示，吸振球在半徑為R的圓弧面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)平衡時(shí)，吸振球處于圓弧最底部，彈簧k無伸長(zhǎng)，以此位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立圖示的固定坐標(biāo)系O-XY，取振動(dòng)主體的水平位移z及吸振球心繞凹球面中心O'的角位移θ為廣義坐標(biāo)。

圖2 系統(tǒng)在單方向的振動(dòng)模型Fig.2 Mechanical model of the system in one direction

一般情況時(shí)，設(shè)吸振球中心在坐標(biāo)系O－XY中的坐標(biāo)為（x，y），則：

假設(shè)吸振球沿圓弧面軌道作無滑動(dòng)的純滾動(dòng)，并設(shè)吸振球從圓弧面最底部的平衡位置開始滾動(dòng)到圖2所示位置時(shí)滾動(dòng)角度為φ，如圖3示，則有下述關(guān)系：

系統(tǒng)的動(dòng)能T、勢(shì)能U和耗散函數(shù)V分別為：

其中I=2mr2/5，cb為吸振球運(yùn)動(dòng)阻尼。根據(jù)拉格朗日方程，當(dāng)振動(dòng)主體上作用外激勵(lì)Fcosωt時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：

圖3 吸振球的純滾動(dòng)Fig.3 The pure rolling of the ball damper

考慮到吸振球在θ=0附近作微小振動(dòng)，設(shè)θ為微小量，即 θ=O（ε），取 sinθ≈θ，cosθ≈1，略去O（ε3）及其以上量級(jí)小量，則上式對(duì)應(yīng)的無量綱方程式為：

其中：

上式中δst為大小是外激勵(lì)力幅值F的靜力作用時(shí)主振系彈簧的靜變形，ωn是主振系的固有頻率，p是吸振球的固有頻率，ζ是主體的阻尼比，ξ是吸振球的阻尼比，λ是激勵(lì)頻率ω與主振系的固有頻率ωn之比，η是主振系的固有頻率與吸振球的固有頻率比，μ是吸振球、振動(dòng)主體質(zhì)量和（M+m）與主體質(zhì)量M之比。

設(shè)方程（5）的解為：

則振動(dòng)主體和吸振球的振幅為：

式中無量綱參數(shù)A，B，C為：

振動(dòng)主體振幅Z*隨參數(shù)λ和ξ的變化規(guī)律如圖4所示。當(dāng)阻尼比ξ較小時(shí)，Z*出現(xiàn)兩個(gè)峰值，且Z*的峰值隨著ξ的增大而減小。若ξ再進(jìn)一步增大，振動(dòng)主體M和吸振球m之間的運(yùn)動(dòng)相對(duì)困難，Z*僅出現(xiàn)一個(gè)峰值，且隨ξ的增大而增大。所以當(dāng)ξ無窮大時(shí)，M和m之間不出現(xiàn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，成為質(zhì)量為（M+m）單自由度系統(tǒng)。圖4中出現(xiàn)不隨ξ變化的兩個(gè)定點(diǎn)P和Q。在ζ=0的條件下，分別令式（8）中的ξ=O和ξ→∞的振幅Z*相等，得出求解定點(diǎn)頻率比λP和λQ值的方程式為：

將λP、λQ值代入下式，即可得兩定點(diǎn)的振幅為：

圖4 振動(dòng)主體的振幅變化規(guī)律Fig.4 The variation laws of amplitude curve of main vibration system

吸振球的實(shí)際振幅Θ（=τΘ*）的變化規(guī)律如圖5所示，可以看出吸振球確實(shí)在θ=0附近作微小振動(dòng)。

圖5 吸振球的實(shí)際振幅變化規(guī)律Fig.5 The variation laws of actual amplitude curve of ball damper

2 動(dòng)力吸振器參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

在主振系參數(shù)一定的條件下，吸振球的質(zhì)量m（或μ）對(duì)主振系振幅的影響見圖6所示，μ越大制振效果越好，但實(shí)際μ的選取要根據(jù)主振系的質(zhì)量M，綜合考慮系統(tǒng)總質(zhì)量與主振系的振幅降低程度來確定。

在μ值確定之后，為了能使主振系的振幅在較大頻率范圍內(nèi)盡可能降低，利用定點(diǎn)的性質(zhì)，吸振球的其余參數(shù)η，ξ（或R－r，cb）可以按以下條件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

圖6 吸振球質(zhì)量對(duì)主振系振幅的影響Fig.6 The effects of the mass of ball damper on the amplitude curves of main vibration system

2.1 最優(yōu)頻率比

為了使兩定點(diǎn)P，Q的振幅盡量降低以調(diào)整參數(shù)η。當(dāng)η改變時(shí)，根據(jù)式（10）和式（11），一個(gè)定點(diǎn)的振幅下降，同時(shí)另一個(gè)定點(diǎn)的振幅上升，如圖7所示。因此，為了能在較大頻率范圍內(nèi)盡可能降低主振系的振幅，使定點(diǎn)P，Q的振幅相等，以調(diào)整η（或p）值。

圖7 兩定點(diǎn)P和Q振幅的變化規(guī)律Fig.7 The variation laws of amplitude curves of fixed points P and Q

令λP，λQ點(diǎn)的振幅相等，由式（11）得：

將式（13）代入式（10），得此時(shí)兩個(gè)定點(diǎn)的頻率值為：

此時(shí)，兩個(gè)定點(diǎn)的振幅為：

2.2 最優(yōu)阻尼比ξ

在滿足最佳頻率比條件式（13）的基礎(chǔ)上，再使定點(diǎn)P，Q處的振幅Z*達(dá)到極大值，以確定最優(yōu)阻尼比ξ值。即在頻率比由式（14）確定的定點(diǎn)處使?Z*/?λ=0。因式（8）是λ2的函數(shù)，所以該極大值條件可以等價(jià)為：

為了簡(jiǎn)化上式的計(jì)算，將式（8）變形為：

其中：

將式（17）代入式（16），得：

由于定點(diǎn)的振幅與ξ無關(guān)，所以式（19）中的N/D可以用式（11）替換，得：

由式（18）計(jì)算出各偏導(dǎo)數(shù)后代入式（20），考慮式（10）、式（13）和式（14），得：

其中：

由式（21）和式（22）知ξP≠ξQ，即無論如何調(diào)整ξ都不能使定點(diǎn)P和Q的振幅同時(shí)達(dá)到極大值，作為近似可選用其平均值作為最優(yōu)阻尼比，即：

圖8 參數(shù)優(yōu)化后主振系的振幅Fig.8 The optimized amplitude curve of main vibration system

經(jīng)過以上最佳參數(shù)調(diào)整后主振系的振幅如圖8所示，吸振球的實(shí)際振幅見圖9所示。

3 雙方向吸振問題

圖9 參數(shù)優(yōu)化后吸振球的實(shí)際振幅Fig.9 The optimized actual amplitude curve of ball damper

根據(jù)前面的研究結(jié)果，該吸振器能夠在一定的頻率范圍內(nèi)有效地控制單方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)（見圖8）。但當(dāng)機(jī)械或結(jié)構(gòu)承受兩個(gè)正交方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，根據(jù)二維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成原理［8］，只有在兩個(gè)方向振動(dòng)是同頻率，且相位差是0或±π時(shí)，合成振動(dòng)是同頻率的直線簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這時(shí)同樣能夠進(jìn)行有效地控制。

4 結(jié)論

本文提出了一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的滾珠式動(dòng)力吸振器，通過滾珠在凹球面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，可以控制機(jī)械或結(jié)構(gòu)的特殊的多方向振動(dòng)，并通過理論分析、數(shù)值計(jì)算和參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，確認(rèn)了該吸振器可以大幅度降低強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)，具有優(yōu)良的振動(dòng)控制性能。

［1］劉耀宗，郁殿龍，趙宏剛，等.被動(dòng)式動(dòng)力吸振技術(shù)研究進(jìn)展［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2007，43（3）：14－21.

［2］松久寛.動(dòng)吸振器の制振効率と最近の動(dòng)向.日本機(jī)械學(xué)會(huì)講演論文集［C］，2004，41－44.

［3］佐藤久雄，千島美智男.索道用二球転動(dòng)式動(dòng)揺減衰裝置の調(diào)整方法とその効果［C］.日本機(jī)械學(xué)會(huì)論文集，2007，73（730）：105－116.

［4］松久寛，顧栄栄，王永金，ほか2名.索道搬器の動(dòng)吸振器による制振［C］.日本機(jī)械學(xué)會(huì)論文集，1993，59（562）：115－120.

［5］荒川利治，古平有一，大亦絢一郎.半円弧ばねと磁気減衰を用いた動(dòng)吸振器の研究［C］.日本機(jī)械學(xué)會(huì)論文集，2007，73（732）：23 －29.

［6］張小龍，東亞斌.雙滾珠自動(dòng)抑制轉(zhuǎn)子主共振的機(jī)理（線性支承剛度）［J］.西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，41（2）：282－287.

［7］張小龍，東亞斌.滾珠自動(dòng)控制轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)的動(dòng)力學(xué)機(jī)理［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009，45（7）：95－100.

［8］ French A P.Vibrations and waves（The M.I.T.Introductory Physics Series）.W.W.Norton ＆ Company，1971.