孫千偉，劉 威，李 杰

（同濟大學土木工程學院，上海200092）

在對埋地管線進行地震反應分析時，如何反映管－土之間相互作用是一個關鍵問題.對于彈性地基梁模型，通常采用等效彈簧來反映管－土之間相互作用，這就使得彈簧系數(shù)的選取成為了問題的關鍵.一般情況下，管－土相互作用的等效彈簧系數(shù)可通過以下三個途徑獲得：解析法、有限元法和試驗實測值［1］.由于有限元法建模的復雜性及試驗實測數(shù)據(jù)的非普適性，因此很難廣泛應用于工程實際.而對于解析法而言，雖然在表達式推導過程中引入了一些假設和對問題進行了一定的理想化處理，但其通常可以反映出問題的本源和關鍵，具有明確的物理意義，具有普適性.

至今，確定管－土相互作用等效彈簧系數(shù)的解析法主要有：Mindlin解法［2－3］、邊界元法［4］及基于無限空間彈性體柱坐標系下的波動方程解法［1，5］等.20世紀70年代，Parmelee等［2］及Hindy等［3］利用半無限彈性空間的靜力Mindlin解來獲得在某一集中力作用下管周土體任意一點處的反應位移，從而確定管－土之間等效彈簧系數(shù)，但該方法得到的系數(shù)均為靜力解.1987年，王海波等［4］采用邊界單元法求解半無限空間中的管－土動力相互作用問題，給出了相應的等效彈簧系數(shù)，但該方法過于復雜.符圣聰［5］參考地下樁基中的薄層理論，從無限彈性空間圓柱坐標動力方程出發(fā)，推導了管－土動力相互作用的等效彈簧系數(shù)，但該系數(shù)是基于無限彈性空間條件推導的，未考慮場地表面對波動效應的影響.2000年，Matsubara等［1］從圓柱坐標系下的彈性波動方程出發(fā)，利用鏡像的方式獲得了半無限空間管－土軸向動力相互作用的等效彈簧系數(shù)的頻域表達式，該表達式反映了等效彈簧系數(shù)更全面的信息，如其與頻率、管道半徑及埋深的關系等.但遺憾的是，文中并沒有指出可以利用SH波的波動方程來反映管－土軸向動力相互作用，也沒有對模型進行驗證.

基于上述背景，本文首先從一維柱面SH波波動方程出發(fā)，重新闡釋了文獻［1］中推導的管－土軸向動力相互作用等效彈簧系數(shù)的解析表達式，并對主要影響參數(shù)進行分析；然后，從非一致激勵作用下管－土動力相互作用振動臺試驗研究結果［6］出發(fā)，分析了小震（0.1g）作用下管－土接觸面處剪切力與管－土相對滑移的關系，給出了試驗條件下的管－土軸向動力相互作用等效彈簧系數(shù)，并將其與解析結果進行對比，進而驗證了理論模型的合理性，并根據(jù)工程需要，給出了推薦值.

1 管-- 土軸向動力相互作用等效彈簧系數(shù)解析表達式

對于埋地管線而言，在均勻無限空間場地條件下，可將管周土體受到均勻諧和激勵下的反應簡化為彈性介質中的一維柱面波動問題.考察波動方程［7］，發(fā)現(xiàn)管－土軸向動力相互作用可以由SH波的波動作用來反映，如圖1所示.

圖1 一維柱面SH波波動問題Fig.1 One－dimensional SH wave motion theory in cylindrical coordinates

對應的動力平衡方程為

式中：r，z為柱面坐標系下徑向及軸向坐標，τrz＝τzr為r—z平面內的剪應力，uz為柱面坐標下軸向位移，ρ為質量密度，t為時間.

應力—位移關系為

式中：G為管周土體剪切模量.

將式（2）代入式（1），得到柱面SH波的波動方程

對式（3）進行Fourier變換，得到頻域方程

式中：Uz（r，ω）是uz（r，t）的頻域位移，ω為圓頻率.

根據(jù)文獻［1］的研究思路，首先，對式（4）進行求解并引入接觸面處應力平衡條件，來獲得其在無限空間場地條件下的解答；然后，對埋地管線在無限空間場地獲取鏡像，進而得到半無限空間場地反應的頻域解答；最后，根據(jù)管－土接觸面處合力的平衡條件，得到管－土軸向動力相互作用的等效彈簧系數(shù)表達式［1］

式中：kA為軸向等效彈簧系數(shù)；δ（a0，γ）是a0和γ的函數(shù)，記為

式中：a0＝ωb／VS，為量綱一頻率，b為管線半徑；γ＝d／b；J0，J1為0，1階Bessel函數(shù)；N0，N1為0，1階Neumann函數(shù)；I1（a0，γ），I2（a0，γ）分別表示為

從上式可以看出，kA是G，a0和γ的函數(shù)，較全面地反映出了土體的動力特性.

2 影響參數(shù)分析

為了考察不同參數(shù)對彈簧系數(shù)取值的影響程度，對管線半徑b、管線埋深d、剪切波速VS取不同值時δ的取值進行研究.

2.1 管線半徑

假設d＝1m，VS＝100m·s－1，b分別取0.1，0.3，0.5，1.0m，δ—ω關系如圖2所示.當ω＜41rad·s－1（f＜6.5Hz，f為頻率）時，隨著b增大，δ有增大的趨勢，但增幅較緩，總體上處于0.5～1.0之間；當ω＝41rad·s－1（f＝6.5Hz）時，b大小對δ幾乎沒有影響，δ約等于1.1；當ω＞41rad·s－1（f＞6.5Hz）時，隨著頻率的增加，b對δ的影響逐漸加大，并呈現(xiàn)出隨著b增大δ減小的趨勢.這說明對于高頻階段，b大小對δ影響顯著，是影響彈簧系數(shù)取值的主要原因之一，但在低頻階段影響不大.

圖2 不同b值對應的δ—ω關系Fig.2 The relationship betweenδandωof different b

2.2 管線埋深

假設b＝0.3m，VS＝100m·s－1，d分別取0.5，1.0，2.0，5.0m及∞，δ—ω關系如圖3所示.從圖中可以看出，隨著d加大，δ呈現(xiàn)出逐漸增大的趨勢，并在一定頻率范圍內出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，但當d增大到一定程度后（接近于∞時），δ漸漸趨于穩(wěn)定.

圖3 不同d值對應的δ—ω關系Fig.3 The relationship betweenδandωof different d

2.3 剪切波速

假設d＝1m，b＝0.3m，VS分別取50，75，100，150，200，500m·s－1，δ—ω關系如圖4所示.從圖中可以看出，VS取不同值時，δ在某一頻率點上存在明顯的變化.在該分界點前，δ基本穩(wěn)定在1左右；在分界點后，δ隨頻率的增加出現(xiàn)明顯的振蕩現(xiàn)象，且有隨VS增加而漸緩的趨勢.當VS＝50，75，100m·s－1時，對應的分界點分別在ω＝57，83，110rad·s－1.這說明隨著剪切波速的變化，影響δ取值的頻率變化范圍相應地發(fā)生變化.較小的剪切波速對應的頻率影響范圍較大；較大的剪切波速僅對較高頻率階段的δ有較大影響，對低頻階段幾乎沒有影響.

圖4 不同VS值對應的δ—ω關系Fig.4 The relationship betweenδandωof different VS

從上面的分析可知，對于低頻階段，d對δ取值較為敏感，其他因素影響不明顯；而對于高頻階段，上述的三種因素均對δ取值產生較大影響，不具有明顯的規(guī)律性.為了統(tǒng)一表示這三種影響因素的影響程度，可用量綱一頻率a0及管線埋深與管半徑之比γ來反映，如圖5所示［1］.

圖5 不同γ取值下δ—a0的關系Fig.5 The relationship betweenδand a0of differentγ

圖5給出了γ取不同值時，a0在0～1.0內的δ—a0關系.從圖中可以看出，在a0取0～1.0時，δ限定在0.18～4.80范圍之內，并且隨著γ增大逐漸趨于穩(wěn)定，當γ→∞時，δ值在1.0～3.0之間，對應的彈簧系數(shù)取值范圍為1.0G～3.0G，其上限值3.0G即是通常采用的日本化工抗震設備準則的推薦值.

3 管 --土軸向動力相互作用等效彈簧系數(shù)試驗值

為了驗證管－土軸向動力相互作用等效彈簧系數(shù)取值的合理性，以埋地管線振動臺試驗結果為依據(jù)進行對比分析.2008年，孟海［6］對埋地管線進行了非一致激勵作用下振動臺模型試驗，研究了埋地管線管－土動力相互作用.現(xiàn)從試驗結果出發(fā)，給出試驗條件下管－土軸向動力相互作用的等效彈簧系數(shù).

3.1 試驗概況

本試驗為非一致激勵作用下埋地管線振動臺試驗，如圖6所示.試驗首先設計了兩個層狀剪切箱A，B，將管線埋于其中，并在管體及其周圍土體布置若干傳感器，然后將剪切箱分別置于兩個振動臺上，通過對振動臺沿管線軸向輸入不同的激勵，測試埋地管線及周圍土體的反應.有關試驗的詳細情況參見文獻［6］.圖中AD6，AD8，BD6為測量管－土軸向相對位移的位移計，同時，在管道內外測點臨近位置布置了應變片用以測量管體應變.

圖6 埋地管線非一致激勵振動臺模型試驗立面圖（單位：mm）Fig.6 The evelation of shaking table test of buried pipeline under non－uniform excitation

3.2 試驗結果分析

試驗采用不同加速度峰值的輸入激勵對管－土動力相互作用進行了研究.從試驗數(shù)據(jù)及現(xiàn)象看，當?shù)卣饎蛹铀俣确逯递^小時（0.1g），管－土之間的相對位移量很小，可以認為接觸面處剪切力τ與相對位移u存在線性關系［6］.現(xiàn)提取輸入加速度峰值為0.1g時的管－土相對位移（見圖7）及管體應變ε（見圖8）進行分析，研究管－土之間的動力相互作用，并給出其等效彈簧系數(shù)值.

假設兩測點區(qū)域內管－土接觸面處的剪切力分布均勻，并沿管周表面環(huán)向相等，管體應力亦沿管周表面環(huán)向相等，現(xiàn)取測點AD6與測點AD8之間的管段作為研究對象，如圖9所示.該管段的平衡方程可表示為

式中：Δσ表示兩測點間的管軸向應力之差；τ為管－土接觸面處均勻分布剪切力；D為管道外徑；A≈πDs，為管道橫截面面積，其中s為管道壁厚；L為兩測點間距離.

圖9 兩測點間管段受力圖Fig.9 Force diagram of pipe segment between two measure points

將管道應力—應變關系代入式（9），可以建立管－土接觸面剪切力與兩測點應變差之間的關系為

式中：E為管材彈性模量，這里為鋼管，其值為2.06×1011Pa；Δε為兩測點間應變差.

取該管段管－土相對位移的平均值

其中，uAD6，uAD8分別表示測點AD6和AD8的相對位移值.假設管－土相對位移沿管周表面相等，則管周土體受到的剪切合力與管－土相對位移在彈性階段的關系可表示為

則管－土相互作用等效彈簧系數(shù)k可表示為

相應地，單位管段長度的彈簧系數(shù)為

圖10 管－土接觸面處剪切力與相對位移平均值關系Fig.10 Relationship of shear stress and slippage on pipe－soil interaction surface

對上式中單位管段長度的剪切合力πDτ及相對位移平均值u進行Fourier變換，可以得到對應的幅值譜T（f）（見圖11）及（f）（見圖12）.

這樣，可以得到管－土軸向動力相互作用等效彈簧系數(shù)的頻域表達式

由上式可知，只要給定頻率值即可計算出管－土軸向相互作用等效彈簧系數(shù)的頻域值.

4 解析解與試驗結果對比

對于解析解，由式（5）及式（6）可知，要計算等效彈簧系數(shù)，需要確定一些基本參數(shù)，這些參數(shù)包括：G，VS，土體卓越頻率fp，b及d.

（1）G［6］模型試驗采用的土體為粉質黏土，在試驗前，利用動力三軸試驗方法測定了土體動力參數(shù).對于干密度ρd＝1.5g·cm－3、固結主應力比Kc＝1.2、圍壓σ3c＝50kPa的土體，測得其動剪切模量為Gdmax＝4.6MPa.

（2）VS［8］每次振動臺試驗前，都對模型土體進行了剪切波測試，測得剪切波速的平均值VS＝55～60m·s－1，這里取VS＝57.5m·s－1.

（3）fp

［8］根據(jù)試驗資料，試驗時首先利用低幅白噪聲對模型土體進行掃描，激發(fā)其各階振型，并由之計算出各階頻率，這里取一階卓越頻率fp＝6Hz.

（4）d和b 本模型試驗采用的是鋼管，2b＝219mm，d＝970mm.

通過上面的已知數(shù)據(jù)，可以計算量綱一頻率a0＝2πfpb／VS＝0.072，γ＝8.86.將a0和γ代入式（6），可得δ＝1.23，對應的單位管線長度上的軸向等效彈簧系數(shù)kA＝δ（a0，γ）G＝5.66×106N·m－2.

對于振動臺試驗結果，將fp代入式（15），并結合圖11，12所示Fourier幅值譜，可以計算等效彈簧系數(shù)kA＝5.27×106N·m－2.兩者相對誤差約為7.4%，說明在本試驗條件下，兩者結果吻合較好，驗證了解析方法的合理性.

5 結論

本文利用解析法和振動臺試驗結果研究了管－土軸向動力相互作用等效彈簧系數(shù)取值問題，得到了等效彈簧系數(shù)的頻域值.對于本試驗條件，計算得到單位管段長度的軸向等效彈簧系數(shù)kA＝5.27× 106N·m－2，同等參數(shù)條件下采用解析法得到的彈簧系數(shù)kA＝5.66×106N·m－2，相對誤差約為7.4%.雖然與真實值相比，無論是試驗結果還是解析結果都不可避免地存在一定的偏差，但兩者的吻合說明了解析表達式在一定程度上能夠反映影響土彈簧系數(shù)取值的主要因素（如G，f，d，b，VS），從而驗證了文獻［1］給出的土彈簧系數(shù)解析表達式的合理性.對于工程實際情況，VS遠大于b與f之積（a0＜0.1），從δ—a0關系圖中可以看出這時δ限定在0.6～2.0之間，且隨著γ增加逐漸增大，因此，若管－土之間未發(fā)生相對大位移，其軸向動力相互作用的等效彈簧系數(shù)可在0.6G～2.0G之間取值.

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