韓涵 宋岑

恩格斯指出:“在數(shù)學(xué)上,為了達到不確定的無限的東西,必須從確定的有限的東西出發(fā).”所謂無窮級數(shù)就是無窮多個數(shù)列函數(shù)之和的一種形式,我們只要利用有限與無限的辯證關(guān)系,通過極限方法,就能確切的理解它的含義.

一、極限無窮級數(shù)

無窮級數(shù)幾乎與微積分同時誕生,牛頓就把二項式級數(shù)作為研究微積分的工具.為了解決微積分創(chuàng)建初期混亂的邏輯基礎(chǔ),拉格朗日也試圖用無窮級數(shù)重建微積分,但他與18世紀(jì)同時代的數(shù)學(xué)家一樣,對無窮級數(shù)的認識還是粗糙的.無窮級數(shù)之所以難以捉摸,其原因就在于它與無窮(或無限)糾葛纏綿在一起.隨著運動和變量進入數(shù)學(xué),無限這個孿生鬼怪也就同時降生.在常量數(shù)學(xué)時期,數(shù)學(xué)家們盡量回避無限,但進入變量數(shù)學(xué)時期,無限這個鬼怪就必須延座正視,直至19世紀(jì)中葉才有柯西等人揭開了無限的面紗,建立了無窮級數(shù)的嚴(yán)格化理論.

對于無窮級數(shù),不能照搬通常的加法規(guī)則來求和,這是因為它有無限多項,而有限與無限有著本質(zhì)的區(qū)別,因此如果不加證明地把有限的結(jié)果照搬到無限上去,則可能產(chǎn)生錯誤的結(jié)果.柯西的研究指出,不能把有限的交換律以及有限項總存在代數(shù)和的觀念照搬到無限項的運算之中,求無窮級數(shù)之和應(yīng)該逐項相加,但是,一直做下去,碰到一個矛盾:無論n多大,總是有限數(shù),永遠沒有完結(jié)的時候,那么應(yīng)該如何解決無窮多項相加呢?恩格斯指出:“在數(shù)學(xué)上,為了達到不確定的無限的東西,必須從確定有限的東西出發(fā).”為此,我們先把級數(shù)的前n項相加,得到前n項的和(有限項之和),然后運用極限這個法寶,當(dāng)n→∞時,前n項和的極限就反映了無窮多項相加的結(jié)果,這樣我們就可以從級數(shù)的前n項的和這個有限的量出發(fā),通過取極限,從而解無窮多項相加的問題.這里就深刻地反映了人們通過有限去認識無限,從近似去認識精確,從具體到抽象,從特殊到一般的辯證思維過程.

二、無窮級數(shù)求和

a1+a2+a3+…+a璶+….（1）

在數(shù)學(xué)上,為了達到不確定的、無限的東西,必須從確定的、有限的東西出發(fā).為了計算（1）式的無限和,先計算有限項的和：令S璶=a1+a2+a3+…+a璶+….若┆玪im猲→∞S璶=S,S是個有限數(shù),則S就定義了無窮級數(shù)（1）的和,其和是由部分和（有限和）開始,然后求極限而得到的.實際上,

S1=a1,S2=a1+a2,S3=a1+a2+a3,…

S璶=a1+a2+a3+…+a璶,…

每個S璱都是有限數(shù),是一個界限,但又是可以超越的界限,最后達到的“無限”是一個不能“超越”的界限,是個“超越仍然是自身的東西”.

下面舉例來說明以上的觀點.

例 求S=А啤轠]n=11[]n(2n+1).

解 S璶=А啤轠]k=11[]k(2k+1)

=А苙[]k=11[]k-2[]2k+1

=А苙[]k=11[]k-21[]3+1[]5+…+1[]2n+1

=А苙[]k=11[]k-21+1[]2+1[]3+…+1[]2n-2[]2n+1+21+1[]2+1[]4+…+1[]2n

=2А苙[]k=11[]k-2А2n[]k=11[]k-2[]2n+1+2

=2(C+玪n玭+a璶)-2(C+玪n2n+a2n)-2[]2n+1+2

=2-2玪n2+2a璶-2a2n-2[]2n+1.

因此S=﹍im玭→∞S璶

=﹍im玭→∞2-2玪n2+2a璶-2a2n-2[]2n+1

=2-2玪n2.

即S=2-2玪n2.

三、《莊子》中的有限與無限

莊子,名周,戰(zhàn)國時人（約公元前369—前286）,中國古代哲學(xué)家.《莊子》一書33篇,是莊子及其后學(xué)的著作.《莊子·天下篇》有這樣一句膾炙人口的話：“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”意思就是,有一個一尺長的木棒,第一天截取它的一半,以后每天截取其前一天剩余的一半,這樣的截法,取一萬年也取不完（即截取的總數(shù)總也不夠一尺長）.用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言,只考察所取的“棰”的長度,這句話可表示如下：

第一天取 S1=a1=1[]2

第2天共取走S2=a1+a2=1[]2+1[]22

第3天共取走S3=a1+a2+a3=1[]2+1[]22+1[]23

……

第n天共取走S璶=a1+a2+a3+…+a璶

=1[]2+1[]22+1[]23+…+1[]2琻

文中說的“萬世”可理解為相當(dāng)大的有限數(shù),因此,所取的長度和：

S璶=a1+a2+a3+…+a璶=1[]2+1[]22+1[]23+…+1[]2琻<1.

另一方面,“萬世”又是人無法達到的“無限大”的數(shù).所以,這句話又含有這樣的意義：┆玪im猲→∞S璶=┆玪im猲→∞1[]2+1[]22+1[]23+…+1[]2琻=1,就是說,這里包含了樸素的極限思想.

如果也考察“棰”本身,那么這句話就表示了一個有限和無限的辯證過程.“一尺之棰,日取其半”,就是一個有限向無限的轉(zhuǎn)化過程.就棰的長度來說,分的過程是無限的,無論分得多么小,總是可以取長度一半的,這是一個無限的過程.但是“純粹的量的分割是有一個極限的,到了這個極限它就轉(zhuǎn)化為質(zhì)的差別”,對作為一定質(zhì)的棰來說,具體的分割又是“可竭”的,即分到一定的關(guān)節(jié)點時,就不能保持“棰”之所以為棰了的質(zhì)了,這個關(guān)節(jié)點就是取的一個極限,它標(biāo)志著分的過程從無限到有限的轉(zhuǎn)化.這個關(guān)節(jié)點大約在分到30天時到達,這時棰的長度大約是十萬億分之一尺,已小于分子直徑的數(shù)量級,這時就再不稱其為“棰”了.可見,“取”的過程是一個有限與無限對立統(tǒng)一的過程.《莊子》中的這種辯證思想后來在中國古代數(shù)學(xué)中得到發(fā)揚,成為中國古代數(shù)學(xué)思想的重要特點之一.

四、幾個等式中的有限與無限

超越數(shù)e的計算公式e=1+1[]1!+1[]2!…+1[]n!+….

公式右邊是無限個有理數(shù)的和,對數(shù)列r璶=1+1[]1!+1[]2!…+1[]n!來說,不論n多大,它總保持有理數(shù)的屬性,我們只有通過﹏→∞這一無限過程,才能使其完成極限過程,達到質(zhì)的飛躍,從而刻畫出這一超越數(shù)其實質(zhì)就在于通過無限過程,使數(shù)列r璶的屬性發(fā)生了質(zhì)變.

等式1[]2+1[]4+1[]8+1[]16+…=1.

等式左邊是一種不完全的東西,是一種無限的努力；右邊是完全的有限和.這里不完全的東西之所以變成完全的東西,無限的努力之所以能取得有限的結(jié)果，就在于通過這種無限的過程發(fā)生了質(zhì)變.如果只有有限過程,那么不完全的東西將永遠是不完全的,無限的努力將永遠不會取得有確定性的有限的結(jié)果.

五、阿基里斯悖論中的有限與無限

公元前5世紀(jì),芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯和烏龜賽跑的悖論,他提出讓烏龜在阿基里斯前面10米處開始,并且假定阿基里斯的速度是10米/分,烏龜?shù)乃俣仁?米/分.當(dāng)比賽開始后,若阿基里斯跑了10米,設(shè)所用的時間為t,此時烏龜便領(lǐng)先他1米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個1米時,他所用的時間為t[]10,烏龜仍然前于他0.1米.當(dāng)阿基里斯跑完下一個0.1米時,他所用的時間為t[]100,烏龜仍然前于他0.01米……芝諾解說,阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜,但絕不可能追上它.

這樣提出問題,其結(jié)論顯然與我們的知覺相悖,并且不難用初等數(shù)學(xué)的方法求出追趕的時間和路程,從而對芝諾的悖論給予反駁：阿基里斯一定能追上烏龜！然而芝諾把這樣一個直覺上都會產(chǎn)生疑問的簡單問題與無限糾纏在一起,由于長期以來人們對無限有關(guān)的概念缺乏深刻的認識,因而不能用辯證的觀點解答芝諾的疑難,這不僅給當(dāng)時的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家提出了詰難,而且使兩千余年內(nèi)的智者、哲人傷透腦筋,使一代一代的數(shù)學(xué)家爭論不休,以至于不得不把“無限”這個怪物排除在數(shù)學(xué)之外.直至19世紀(jì),當(dāng)反映變量無限變化的極限理論建立之后,才可用極限理論回答芝諾的挑戰(zhàn).

具體解法為：阿基里斯追趕烏龜?shù)木嚯x為S=10+1+0.1+0.01+0.001+…102-n+….

這是無窮項相加,顯然不能直接求出結(jié)果.我們可借助有限,再通過取極限的方法,將有限項之和的問題轉(zhuǎn)化為無限項之和的問題.根據(jù)等比數(shù)列前n項和的公式,可求得距離S的前n項和為：

S璶=10+1+0.1+0.01+0.001+…+10﹏-2=10(1-0.1琻)[]1-0.1=100(1-0.1琻)[]9.

于是S=┆玪im猲→∞S璶=100(1-0.1琻)[]9=100[]9（米）,追趕的時間為t=S[]v=10[]9（分）.

通過以上分析研究,在無窮級數(shù)求和過程中，有限與無限是對立的統(tǒng)一，由有限轉(zhuǎn)化為無限的主要橋梁就是極限,所以極限的本質(zhì)就是描述變量變化的無限過程.