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如何有效利用中考題

2012-04-29 22:17:51申華娟
關(guān)鍵詞:對稱點(diǎn)壓軸動點(diǎn)

申華娟

近幾年中考的數(shù)學(xué)壓軸題題型多、題意創(chuàng)新,總體來說,大都呈現(xiàn)“起點(diǎn)低、坡度緩、尾巴略翹”的趨勢,綜合考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.因此,教師平時(shí)在綜合題的教學(xué)中,須和學(xué)生一起分析壓軸題的結(jié)構(gòu)及所考查的知識點(diǎn).通過教師的解析和點(diǎn)評,引導(dǎo)學(xué)生探索各種題型的解題規(guī)律,準(zhǔn)確把握解題思路、方法和技巧,以減輕學(xué)生解壓軸題的心理壓力.下面以2010年浙江臺州市中考數(shù)學(xué)壓軸題為例,談?wù)勚锌紨?shù)學(xué)壓軸題的教學(xué)設(shè)計(jì).

(2010 浙江臺州市)如圖1,Rt△ABC中,∠C = 90°,BC = 6,AC = 8.點(diǎn)P,Q都是斜邊AB上的動點(diǎn),點(diǎn)P從B 向A運(yùn)動(不與點(diǎn)B重合),點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動,BP = AQ.點(diǎn)D,E分別是點(diǎn)A,B以Q,P為對稱中心的對稱點(diǎn),HQ⊥AB于Q,交AC于點(diǎn)H. 當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)頂點(diǎn)A?xí)r,P,Q同時(shí)停止運(yùn)動.設(shè)BP的長為x,△HDE的面積為y.

(1)求證:△DHQ∽△ABC;

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并求y的最大值;

(3)當(dāng)x為何值時(shí),△HDE為等腰三角形?

分析 第(1)問是基礎(chǔ)題,求兩個(gè)三角形相似,起點(diǎn)低,絕大部分學(xué)生能比較輕松地給予解答. 根據(jù)A,D關(guān)于點(diǎn)Q成中心對稱,可證∠HDQ = ∠A,即可得出結(jié)論.

第(2)問難度不大,自然想到用面積公式表示△HDE的面積,利用第(1)小題的結(jié)論,列出比例式,尋求HQ與DQ的關(guān)系,從而建立y與x的函數(shù)解析式. 通過學(xué)生操作活動,自剪紙片,按照題意折疊紙片,容易發(fā)現(xiàn):隨著動點(diǎn)P,Q的運(yùn)動,x隨之變化,點(diǎn)D,E的位置也會變化,因此必須分類討論.

第(3)問有一定的難度,根據(jù)第(2)問的分析,很容易想到要根據(jù)x的取值范圍進(jìn)行分類討論. △HDE為等腰三角形,沒有說明哪條邊是腰,哪條邊是底邊,因此還要根據(jù)等腰三角形的腰和底邊分類討論,須防止漏解.

簡解

(1) ∵ A,D關(guān)于點(diǎn)Q成中心對稱,HQ⊥AB,

∴ ∠HQD = ∠C = 90°,HD = HA,∴∠HDQ = ∠A,

∴ △DHQ∽△ABC.

(2)①如圖2,當(dāng)0 < x ≤ 2.5時(shí),

ED = 10 - 4x,QH = AQ tan A = ■x,

此時(shí)y = ■(10 - 4x) × ■x = -■x2 + ■x .

當(dāng)x = ■時(shí),最大值y = ■.

②如圖3,當(dāng)2.5< x ≤ 5時(shí),

ED = 4x - 10,QH = AQ tan∠A = ■x,

此時(shí)y = ■(4x - 10) × ■x = ■x2 - ■x.

當(dāng)x = 5時(shí),最大值y = ■.

∴ y與x之間的函數(shù)解析式為

y = -■x2 + ■x(0 < x ≤ 2.5),■x2 - ■x(2.5 < x ≤ 5).

y的最大值是■.

(3)①如圖2,當(dāng)0 < x ≤ 2.5時(shí),

若DE = DH,∵ DH = AH = ■ = ■x,DE = 10 - 4x,

∴ 10 - 4x = ■x,x = ■.

顯然ED = EH,HD = HE不可能;

②如圖3,當(dāng)2.5 < x ≤ 5時(shí),

若DE = DH,4x - 10 = ■x,x = ■;

若HD = HE,此時(shí)點(diǎn)D,E分別與點(diǎn)B,A重合,x = 5;

若ED = EH,則△EDH∽△HDA,

∴ ■ = ■,■ = ■,x = ■.

∴當(dāng)x的值為■,■,5,■時(shí),△HDE是等腰三角形.

點(diǎn)評 本題集方程、函數(shù)、幾何證明于一身,有計(jì)算、有證明,具有較強(qiáng)的綜合性.可見,本例題的重點(diǎn)知識點(diǎn)是:(1)勾股定理;(2)三角形面積公式;(3)等腰三角形性質(zhì)定理;(4)三角函數(shù)概念或相似三角形性質(zhì)定理;(5)二次函數(shù)表達(dá)式及用配方法或公式法求二次函數(shù)的最值.本題貫徹的數(shù)學(xué)思想是:(1)運(yùn)動觀點(diǎn);(2)方程思想;(3)數(shù)形結(jié)合思想;(4)分類思想;(5)轉(zhuǎn)化思想.

另外,分類討論時(shí)要做到既不重復(fù)又不遺漏,等腰三角形常以腰和底邊為分類標(biāo)準(zhǔn).動點(diǎn)的討論,常以運(yùn)動過程中的特殊位置為分界點(diǎn).

拓展 Rt△ABC中,∠C = 90°,BC = 6,AC = 8. 點(diǎn)Q是斜邊AB上的動點(diǎn),點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動,點(diǎn)D是點(diǎn)A以Q為對稱中心的對稱點(diǎn), HQ⊥AB于Q,交AC于點(diǎn)H.當(dāng)△HDC是直角三角形時(shí),求AQ的長度.

學(xué)生討論后教師點(diǎn)撥:△HDC是直角三角形,要抓住直角頂點(diǎn)進(jìn)行討論:當(dāng)∠DCH = 90°時(shí),點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,此時(shí)點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn),AQ=5;當(dāng)∠CDH = 90°時(shí),由對稱知識可知,∠A = ∠ADH,從而可以證明∠CDB = ∠B,即CB = CD.過C作CG⊥AB于G,由相似三角形的知識可求出BG = DG = 3.6,AQ = DQ = 1.4;當(dāng)∠CHD = 90°時(shí),由外角知識可知∠A = 45°,即這種情況不存在.

課后演練 Rt△ABC中,∠C = 90°,BC = 6,AC = 8.點(diǎn)Q是斜邊AB上的動點(diǎn),點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動,點(diǎn)D在射線AB上,且是點(diǎn)A以Q為對稱中心的對稱點(diǎn), HQ⊥AB于Q,交AC于點(diǎn)H.設(shè)AQ = x,△HDQ與△ABC重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍.

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