黃瑞

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的思維形式.章建躍博士曾經(jīng)在南京師大附中演講時(shí)說：“概念教學(xué)的核心是概括，是將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的例子為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事物的屬性，抽象概括共同的本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念.”現(xiàn)今新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心理念強(qiáng)調(diào)為學(xué)生提供更為開闊的思維空間和發(fā)展空間，這就需要我們在教學(xué)中給予學(xué)生適度的思考時(shí)間和表現(xiàn)自己思維內(nèi)容與思維過程的機(jī)會.在新課程實(shí)施過程中如何把握數(shù)學(xué)的概念教學(xué)，提高教學(xué)的有效性是我們每個(gè)教師都無法回避的課題.

三角函數(shù)主要內(nèi)容是任意角與弧度制、三角函數(shù)定義與單位圓、三角函數(shù)圖像及性質(zhì)、正弦型函數(shù)及性質(zhì)，等等.分析三角函數(shù)及其相關(guān)概念構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)體系中可知三角函數(shù)線有著重要的意義，然而教學(xué)過程中老師們感到三角函數(shù)線這一內(nèi)容比較難處理.其實(shí)掌握好三角函數(shù)線的知識，可以更好地理解三角函數(shù)的知識，進(jìn)一步提升學(xué)生對“函數(shù)”這一高中數(shù)學(xué)核心概念的理解與把握.

一、巧設(shè)教學(xué)情境，帶出問題本質(zhì)，導(dǎo)入三角函數(shù)線概念

借助數(shù)學(xué)史將三角函數(shù)線的概念引入，可使學(xué)生了解知識發(fā)生發(fā)展的背景和過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程.合理設(shè)置情境，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的樂趣，這樣也能使學(xué)生加深對概念的記憶和理解.

1蓖ü數(shù)學(xué)史引入三角函數(shù)線概念

早期的解三角形是因天文觀測的需要而引起的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)人們需要穿越無邊無際、荒無人煙的草地和原始森林，或經(jīng)水路沿著海岸線做冒險(xiǎn)的長途航行，首先要明確方向.18世紀(jì)前，正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，被認(rèn)為是已知圓內(nèi)與同一條弧有關(guān)的某些線段，即三角學(xué)是以幾何的面貌表現(xiàn)出來的，這是三角學(xué)的古典面貌.1748年，尤拉在著名的《無窮小分析引論》一書中指出：“三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值.”即任意一個(gè)角的三角函數(shù)都可以認(rèn)為是以這個(gè)角的頂點(diǎn)為圓心，以某定長為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點(diǎn)P向另一邊作垂線PM后，所得的線段OP，OM，MP(即函數(shù)線)相互之間所取的比值，sinα=MPOP，cosα=OMOP，tanα=MPOM等.若令半徑為單位長，那么所有的六個(gè)三角函數(shù)又可大為簡化.尤拉的這個(gè)定義是極其科學(xué)的，它使三角學(xué)從靜態(tài)的只是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來，使它有可能去反映運(yùn)動和變化的過程，從而使三角學(xué)成為一門具有現(xiàn)代特征的分析性學(xué)科.

2閉遷移引入三角函數(shù)線概念

同學(xué)們對于初中階段在直角三角形中如何定義銳角三角形的正弦、余弦、正切值，記憶猶新，依據(jù)教育心理學(xué)正遷移對于學(xué)習(xí)的作用，不妨在直角坐標(biāo)系中，利用單位圓先將特殊的銳角如π6，π4，π3的三角函數(shù)線畫出，然后由特殊過渡到一般，從而得出任意角的三角函數(shù)線，這樣同學(xué)們感到三角函數(shù)線有似曾相識的感覺，學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)如何將三角函數(shù)的“數(shù)”與“形”自然地結(jié)合在一起，達(dá)到“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，形成對數(shù)學(xué)美的感悟.

二、抓住三角函數(shù)線本質(zhì)屬性，有技巧地層層引導(dǎo)

1幣入單位圓，構(gòu)建三角函數(shù)線的舞臺

對教師而言，由比值yr到y(tǒng)，xr到x，再到正弦線、余弦線的兩步跨越，看似簡單，同學(xué)們卻是比較難以想到，在此處盡可能清晰再現(xiàn)知識的建構(gòu)過程，使同學(xué)們明確原則，把握概念的形成.從數(shù)學(xué)思想層面上可以突出三角函數(shù)“簡約”為“一個(gè)變量”的思想方法，進(jìn)而順利實(shí)現(xiàn)用“三角函數(shù)線”這一直觀的圖形工具來“統(tǒng)一”表達(dá)三角函數(shù)這一主線，在教學(xué)過程中反復(fù)強(qiáng)調(diào)“最簡化”“統(tǒng)一”的要求，而這樣的理念或思想，不僅能體現(xiàn)本節(jié)數(shù)學(xué)方法的特點(diǎn)，同時(shí)也在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中占據(jù)重要的地位，具有普適性.

2庇燒弦線與余弦線引導(dǎo)向正切線

同學(xué)們較容易理解與掌握正弦線與余弦線，是因?yàn)橛兄庇^感受，但是理解與掌握正切線有一定的難度，而突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵在于幫助學(xué)生充分理解“有向線段的數(shù)量”及相關(guān)概念.那么在講一些諸如“有向線段”“有向線段的數(shù)量”等等比較數(shù)學(xué)化的很難表述的概念時(shí)，可以將同學(xué)們的注意力主要集中到關(guān)注“圖形”與“數(shù)量”的對應(yīng)關(guān)系上來，自然而然地突出了探究與確定“正、余弦函數(shù)線”的形成過程與基本方法，弗賴登塔爾指出，學(xué)生不是被動地接受知識，而是再創(chuàng)造，在這個(gè)階段，如果可以給學(xué)生提供更為開闊一些的空間，那么到研究“正切函數(shù)線”時(shí)，學(xué)生就可以自覺或不自覺地用探究“正、余弦函數(shù)線”的方法解決新的問題.

新課標(biāo)對三角函數(shù)線的要求是掌握，即對所列知識內(nèi)容有較深刻的理性認(rèn)識，形成技能，并能利用所列知識解決有關(guān)問題.三角函數(shù)線在研究三角函數(shù)圖像及其性質(zhì)，求解三角方程、三角不等式，證明三角恒等式、不等式，以及數(shù)形結(jié)合思想的形成方面都有重要的作用，還可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)不同的角度研究三角函數(shù)的表示，作為工具探討三角函數(shù)的基本性質(zhì)，是三角函數(shù)這一章中非常精彩的內(nèi)容.三角函數(shù)線的講解的確有難度，但是教學(xué)過程中教師們通過充分地鋪墊，同學(xué)們對三角函數(shù)線的掌握完全可以實(shí)現(xiàn)水到渠成.