林自強(qiáng)

【摘要】立體幾何中的平面法向量的求解方法多樣，外積法就是其中的一種.利用外積法求解法向量比內(nèi)積法更具優(yōu)越性，此方法的引入，將對高考立體幾何中求二面角大小、證明垂直、求空間距離等變得更為輕松，特別是求二面角的平面角方面.本文通過求解有關(guān)二面角的例子重點探討外積法求平面法向量的應(yīng)用，為一線教師對學(xué)生的輔導(dǎo)和考生備考提供一定的參考價值.

【關(guān)鍵詞】外積；平面法向量；二面角；應(yīng)用

一、引言

本文緣于筆者一學(xué)生的習(xí)作.在批改學(xué)生的習(xí)作時發(fā)現(xiàn)學(xué)生采用了外積法在求解平面法向量，新的方法打破了常規(guī)解題的思維，為求平面法向量另辟蹊徑.縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)真題，立體幾何以其獨具的“姿色”占有12分值，若是方法過于拘泥，該題得分將會大打折扣！應(yīng)用外積法求解法向量避免內(nèi)積法的三元一次方程的求解過程中的風(fēng)險，達(dá)到避繁就簡的功效.

二、有關(guān)定義與定理

為了進(jìn)一步認(rèn)識外積法，下面引入兩個有關(guān)的定義以及一個定理.

定義1如果向量a⊥α（如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作a⊥α），那么向量a叫做平面α的法向量.

圖1

定義2兩個非零向量a與b的外積指的是一個向量，記為a×b，它的模（長度）是|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉，它的方向與a，b均垂直，且按a，b，a×b的順序構(gòu)成右手系［O；a，b，a×b］（圖1）.如果a，b中有一個是零向量，規(guī)定a×b＝0.向量的外積也稱為向量積或矢量積.

定理設(shè)［O；i,j,k］是一個右手直角坐標(biāo)系，在這個坐標(biāo)系下向量a，b的坐標(biāo)分別是(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)，那么，向量a×b的坐標(biāo)是(y1z2-y2z1，z1x2-z2x1，x1y2-x2y1)，或y1z1

y2z2,z1x1

z2x2，x1y1

x2y2 .

為了便于記憶，我們可以把這個結(jié)果形式寫成：

a×b=ijk

x1y1z1

x2y2z2 .

證明略.

（注：對外積坐標(biāo)更好地理解，引入補(bǔ)充知識做準(zhǔn)備:二階行列式ac

bd=ad-bc.）

例1在空間直角坐標(biāo)系中，已知a=(1,2,3)，b=(-1,0,1)，計算外積a×b.

解a×b=23

01,31

1-1，12

-10=(2,-4,2).

由本例結(jié)合定義2（圖1）可知，向量a，b所在平面的一個法向量可取為a×b=(2,-4,2).

三、外積法在求解平面法向量中的具體應(yīng)用

下面筆者給出兩道立體幾何的題目作為例題，應(yīng)用外積法來求解平面的法向量.

例2在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2.設(shè)Q為側(cè)棱PC上一點，PQ=λPC，試確定λ的值，使得二面角Q-BD-P為45°.

圖2

解以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖2的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則B(1,1,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，P(0,0,1).由于Q為側(cè)棱PC上一點，不妨假設(shè)Q點的

根據(jù)數(shù)量的外積定義，不妨取平面AMN的一個法向量為m=(1,1,-1).

∵AD⊥平面PAB，

∴可取AD=(0,2,0)作為平面PAB的一個法向量.

設(shè)平面AMN與平面PAB所成的銳二面角為θ，從而就有：

cosθ=m·AD|m|·|AD|=33.

故平面AMN與平面PAB所成的銳二面角的大小為arccos33.

四、結(jié)語

外積法在求解中學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何有關(guān)二面角大小方面的問題時，它不是孤立的，解題中并非是“單打獨斗”.外積是在求平面法向量時能避開內(nèi)積引出的三元一次方程的繁雜，做到數(shù)學(xué)上的簡潔美.時下正直新課改，外積相關(guān)知識將會在新課標(biāo)中作為一個模塊的知識供高中師生學(xué)習(xí)，有關(guān)學(xué)習(xí)勢在必行.正因如此，筆者在教學(xué)中，巧妙地引進(jìn)此法，大膽嘗試，并且收效良好.

值得一提的是，在解決整個立幾的問題中，還是需要內(nèi)積一起出擊，方能將整個問題順理成章地解決.由上述的例題中，不難看出，當(dāng)外積求出法向量后還需內(nèi)積（數(shù)量積）求角，可謂內(nèi)積、外積相得益彰.

【參考文獻(xiàn)】

［1］人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）《數(shù)學(xué)》第二冊（上）［M］.北京：人民教育出版社，2011.

［2］易忠.高等代數(shù)與解析幾何［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2007.