周珂

向量是代數(shù)與幾何的主要橋梁，這種聯(lián)系不僅體現(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系，還體現(xiàn)在向量表達(dá)式和向量的幾何意義與平面幾何中三角形的“心”之間的密切聯(lián)系.

一、重心

例1已知O是△ABC的重心，求證：OA+OB+OC=0.

解如圖，由已知，O是△ABC的重心，連接AO，BO，CO，使它們的延長線與BC，CA，AB分別交于點(diǎn)D，E，F(xiàn).

二、內(nèi)心

例4O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，λ∈［0,+∞)，則P點(diǎn)的軌跡一定通過△ABC的（）.

A蓖廡

B蹦諦

C敝匭

D貝剮

解如圖(1)，作向量AP，則

由向量加法得OP=OA+AP.①

由已知可知，OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|.②

由①②可知AP=λAB|AB|+AC|AC|.③

如圖(2)，③式中，AB|AB|，AC|AC|都是單位向量，以這兩個(gè)向量為一組鄰邊作鰽B1P1C1，這時(shí)鰽B1P1C1是菱形，對角線AP1平分∠B1AC1，且

AB1=AB|AB|，④

AC1=AC|AC|.⑤

由③④⑤可知AP=λAP1.

再由λ∈［0,+∞)可知，P點(diǎn)的軌跡是射線AP，

∴P點(diǎn)的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.選B.

例5（1）設(shè)△ABC是任意三角形，AD，BE，CF分別為其內(nèi)角∠A,∠B,∠C的平分線，求證：AD，BE，CF交于一點(diǎn)G.

（2）設(shè)△ABC的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，A，B，C的對邊的長分別為a，b，c，根據(jù)第(1)小題的結(jié)果，寫出△ABC的內(nèi)心G的坐標(biāo)(x，y).

解（1）由于本題難度很大，所以，我們采用一題三圖的方式給出解答，以免字母混亂的現(xiàn)象發(fā)生，三個(gè)圖如圖所示.在題目的證明之前，我們先說明一個(gè)問題：

OP=11+λOP1+λ1+λOP2中，11+λ+λ1+λ=1.

∴OP總可以寫成以下的形式：OP=xOP1+(1-x)OP2，OP=yOP1+(1-y)OP2，等等.