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從一道題的錯解談“解幾”中定型與定量的解題策略

2012-04-29 00:44:03廖平安
考試周刊 2012年50期
關(guān)鍵詞:雙曲線焦點(diǎn)拋物線

廖平安

例題:已知雙曲線的右準(zhǔn)線為x=4,右焦點(diǎn)F(10,0),離心率e=2,求雙曲線方程.

錯解一:∵右準(zhǔn)線方程為x=4,∴=4,又c=10,∴a=40,b=c-a=60,故雙曲線方程為-=1.

錯解二:∵右焦點(diǎn)F(10,0),∴C=10,又e==2,∴a=5,b=c-a=75,故所求的雙曲線方程-=1.

上述兩個錯解,究其原因,是對曲線的“型與量”的關(guān)系處理不當(dāng).因?yàn)殡p曲線的中心沒有明確在坐標(biāo)原點(diǎn)上,所以不能根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的量與量的關(guān)系來定量計算.也就是說該題由于雙曲線位置關(guān)系不明,就不能用定型到定量的方法解決,只能用圓錐曲線第二定義來解決.而所謂“定型”是指對曲線的形狀、位置、大小的確定(或判斷).“定量”則是在定型的基礎(chǔ)上,求曲線(方程)中所涉及數(shù)量.我們在解題中只有認(rèn)真審清題意,準(zhǔn)確地判斷好曲線形狀、位置、大小,才能相應(yīng)地定量計算相關(guān)的量.其實(shí)解析幾何中很多題目都是由定型到定量或定量到定型來解決的,把定型和定量有機(jī)地結(jié)合起來,就能快速準(zhǔn)確解決解析幾何中曲線問題,如下面例子.

一、由曲線“定型→定量”的解題

在通過題目分析,確定曲線形狀及其位置(定型)后,再根據(jù)其形狀、位置、大小來定量解決相關(guān)數(shù)量,或設(shè)好曲線的(方程)待定式,再求式中的待定數(shù)與量(定量).

例題1(2002年北京高考?文):若直線L∶y=kx-與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限,則直線L傾斜角的取值范圍().

A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)

解析:因?yàn)橹本€2x+3y-6=0過點(diǎn)A(3,0)和點(diǎn)B(0,2),直線L∶y=kx-過點(diǎn)C(0,-),所以直線L繞C點(diǎn)必須與線段AB相交(不含點(diǎn)A、B)時,則交點(diǎn)進(jìn)入第一象限(定型).易求直線L傾斜角的取值范圍(定量)是(,).

例題2(2003年北京春季招生?理):已知直線ax+by+c=0(abc≠0)與圓x+y=1相切,則三邊長分別|a|,|b|,|c|的三角形是().

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不存在

解析:因?yàn)橹本€與單位圓相切(定型),所以圓心到直線的距離等于半徑(定量),所以=1,即|a|+|b|=|c|.故選B.

二、由曲線的“定量定型”的解題

在通過題目分析中,由題中的數(shù)量(定量)關(guān)系,確定曲線的形狀或位置或大?。ǘㄐ停┣闆r.然后利用曲線固有的一些性質(zhì)來解題.

例題3:頂點(diǎn)在原點(diǎn),坐標(biāo)軸為對稱軸,且過點(diǎn)(-2,3)的拋物線是().

A.y=-x B.x=y

C.y=-x或x=yD.以上都不對

解析:由點(diǎn)(-2,3)的坐標(biāo)(定量)可知,拋物線經(jīng)過第二象限(定型),故可設(shè)拋物線方程為y=-2px或x=2py(p>0),此時把(-2,3)的坐標(biāo)代入可得p=或p=,故選C.

例題4:已知曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F,F(xiàn)在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過點(diǎn)(4,-).

(1)求曲線方程;

(2)若點(diǎn)M(3,m)在曲線上,求證:MF⊥MF;

(3)求△FMF面積.

解析:(1)∵曲線離心率e=(定量),∴曲線是雙曲線(定型),可設(shè)方程為x-y=λ(λ≠0);

又∵曲線過點(diǎn)(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.

所以雙曲線方程為x-y=6.

(2)易知焦點(diǎn)F(-2,0),F(xiàn)(2,0),

∴K=,K=,∴K?K==-.

又∵(3,m)在雙曲線上,∴9-m=6,m=3,

故K?K=-1(定量),則MF⊥MF(定型).

(3)由M(3,±)在曲線上知(定型),△FMF中FF=4,邊FF的高h(yuǎn)=(定量),∴△FMF面積是6.

三、由曲線的“定型?圮定量”的解題

在許多題目解答中,往往還要利用定型、定量多次轉(zhuǎn)換.

1.由曲線“定量→定型→定量”的解題

例題5:已知圓M經(jīng)過點(diǎn)P(-4,0),且與圓C:x-8x+y=0相切的圓心M的軌跡方程是.

解析:設(shè)圓M的半徑為R,又由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-4)+y=16可知半徑r=4,結(jié)合圖形可得,若圓M與圓C外切時,|MC|-|MP|=4,若圓M與圓C內(nèi)切時,|MC|-|MP|=-4,也就是說||MC|-|MP||=4(定量).顯然點(diǎn)M的軌跡滿足雙曲線的定義,則點(diǎn)M軌跡是以P,C為焦點(diǎn)雙曲線(定型),其點(diǎn)M軌跡方程為-=1(a>0,b>0),由題意和雙曲線定義可知2a=4,c=4,則可求得b=12(定量).故填-=1.

2.由曲線“定型→定量→定型”的解題

例題6:方程y=ax+b與y=ax-b表示的曲線在同一坐標(biāo)系中的位置可以是().

解析:由四個選項可知,y=ax-b表示橢圓(定型),∴y-ax=-b,即y+=-b,∴a<0,b<0(定量);由此可得拋物線y=ax+b是開口向左且焦點(diǎn)在x的負(fù)半軸上(定型).故選A.

綜上所述,定型與定量是在解析幾何中解決問題的一種重要思想方法與技巧,我們只要善于準(zhǔn)確判斷曲線的“型和量”,就能利用這種方法和技巧來提高解題能力,提高解題的準(zhǔn)確性.

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