張海青

“圓”是一個(gè)特殊的圖形，它有許多重要的性質(zhì).在解析幾何中，涉及直線和圓的有關(guān)問題時(shí)，若能抓住題設(shè)中圖形特征和數(shù)量關(guān)系，充分利用平面幾何中圓的有關(guān)性質(zhì)，常?？梢缘玫胶?jiǎn)捷而巧妙的解法.現(xiàn)舉以下幾例來說明.

1.巧用“垂徑定理”

例1:已知A（3，0）是圓x+y=25內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，以A為直角頂點(diǎn)作直角三角形ABC，且點(diǎn)B、C在圓上，試求BC中點(diǎn)M的軌跡方程.

分析：B、C都為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若設(shè)出B、C的坐標(biāo)，引進(jìn)角參數(shù)，將導(dǎo)致繁復(fù)的運(yùn)算.如果注意到由“垂徑定理”可知OM⊥BC（O為原點(diǎn)），再結(jié)合∠CAB=90°，|AM|=|BM|=|CM|=|BC|，即可迅速解題.

解：設(shè)M（x，y），連接OC，OM，MA，

則由“垂徑定理”，

∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)

∴OM⊥BC

∴|OM|+|MC|=|OC|

∵在直角三角形ABC中，|AM|=|BM|=|CM|=|BC|

∴|OM|+|AM|=|OC|

即x+y+（x-3）+y=25（圖1）

∴M點(diǎn)的軌跡方程為x+y-3x-8=0.圖1

2.巧用“切割線長(zhǎng)定理”

例2：已知直線y=mx（m∈R）與圓C：x+y-6x+5=0相交于兩點(diǎn)P、Q，則?=.

分析：將直線方程代入到圓方程（x-3）+y=4中，進(jìn)行消元，利用韋達(dá)定理解題，運(yùn)算較繁.注意到向量與方向相同，用“切割線長(zhǎng)定理”來解題，可得以下兩種簡(jiǎn)解.

解法一：過原點(diǎn)O作圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為M、N，

則由“切割線長(zhǎng)定理”知，|OP|?|OQ|=|OM|=|OC|-4=5

∵向量與方向相同，∴?=|OP|?|OQ|=5.

解法二：圓C與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（1，0）、B（5，0）

∵向量與方向相同，

∴由“切割線長(zhǎng)定理”知，?=|OP|?|OQ|=|OA|?|OB|=5.

3.巧用“相交弦定理”

例3：已知f（x）=（x+2002）（x-2003）圖像與x軸交于兩點(diǎn)A、B，與y軸交于一點(diǎn)C，過A、B、C三點(diǎn)作一圓，則該圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

分析：若寫出圓的方程再求點(diǎn)D的坐標(biāo)，將會(huì)導(dǎo)致繁復(fù)的運(yùn)算.注意到A、B兩點(diǎn)的指標(biāo)分別為（-2002，0）、（2003，0），而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2002?2003），根據(jù)“相交弦定理”可得：|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，所以|OD|=1，從而D（0，1）.

例4：過原點(diǎn)O且方向向量為（m，1）的直線L與圓C：（x-1）+y=4相交于兩點(diǎn)P、Q，則?=?搖?搖?搖?搖 ?搖?搖?搖?搖.

分析：圓C與x軸交于兩點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）.利用“相交弦定理”得|OA|?|OB|=|OP|?|OQ|，因而|OP|?|OQ|=3.注意到向量與方向相反，則?=-|OP|?|OQ|=-3.

4.巧用圓心角、圓周角等的性質(zhì)

例5：設(shè)直線L：3x+4y+m=0與圓C：x+y+x-2y=0相交于P、Q兩點(diǎn)，則當(dāng)m為何值時(shí)，OP⊥OQ？

解：如圖2，因圓C：x+y+x-2y=0過原點(diǎn)O，則∠POQ是圓C的圓周角，且為直角.根據(jù)“圓中90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”可知PQ為圓C的直徑，即直線3x+4y+m=0過圓心C（-，1），代入直線L方程得：3×（-）+4×1+m=0，∴m=-.（圖2）

圖2

例6：橢圓+=1的焦點(diǎn)為F、F，點(diǎn)P在橢圓上，當(dāng)∠FPF為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是.

圖3

解：以FF為直徑作圓x+y=5，與橢圓+=1聯(lián)立，解得兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-和.由“圓中同一條弦所對(duì)的圓周角小于它所對(duì)的圓內(nèi)角”這一性質(zhì)可知，點(diǎn)P在橢圓的AB或CD弧線（如圖3，在輔助圓內(nèi)）上時(shí)，∠FPF為鈍角，故點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是-＜x＜.

例7：如圖4，平面直角坐標(biāo)系中，給定y軸正半軸上兩點(diǎn)A（0，a），B（0，b）（a＞b＞0），試在x軸正半軸上求一點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值.

解：設(shè)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，在△ABC中，由正弦定理，有sin∠ACB=，其中R是△ABC的外接圓的半徑.

可見，當(dāng)R取最小值時(shí)，∠ACB取得最大值.

在過A、B兩定點(diǎn)且與x軸正向有交點(diǎn)C的諸圓中，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C是與x軸的切點(diǎn)時(shí)，半徑最小.故切點(diǎn)C即為所求.

由切割線定理，得OC=OA?OB=ab，

∴OC=x=，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）時(shí)，∠ACB取得最大值.

由以上幾例可以看出，在解決與圓有關(guān)的問題時(shí)，充分挖掘圓的幾何性質(zhì)，再將幾何條件代數(shù)化，既可以迅速獲得解題途徑，又可以減少解析幾何的運(yùn)算量.