唐春曉

摘要： 本文作者從幾何光學(xué)的角度出發(fā)，利用駐波條件，分析了階躍折射率光纖中子午射線形成導(dǎo)模傳輸?shù)臈l件，對如何在教學(xué)中展開這一知識(shí)點(diǎn)，以及如何與波動(dòng)光學(xué)下的模式理論銜接提出了自己的看法。

關(guān)鍵詞： 光纖模式理論幾何光學(xué)駐波

1.引言

光纖在光通信和光傳感領(lǐng)域有著極為重要的作用，在高校教學(xué)中諸如光纖通信、光電子技術(shù)、光電檢測技術(shù)、光電子器件等課程都會(huì)對光纖的相關(guān)知識(shí)加以講解。其中，最為重要也是最難以講清楚的知識(shí)點(diǎn)就是光纖的模式理論。目前，對于模式理論的講解通常是從波動(dòng)光學(xué)的角度出發(fā)；而對于光纖的基本傳光原理和關(guān)鍵參數(shù)（如數(shù)值孔徑）卻是從幾何光學(xué)的角度來加以分析。因此，在教學(xué)過程中，這兩部分內(nèi)容之間的轉(zhuǎn)換比較生硬，知識(shí)之間存在斷層。針對這一問題，作者通過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，如果能將光纖的模式理論用幾何光學(xué)的方法加以分析，再根據(jù)幾何光學(xué)下模式理論的不足引出光纖模式的波動(dòng)光學(xué)分析方法，就能夠很好地解決這一問題。光纖教學(xué)中，通常以階躍折射率光纖為研究對象，通過子午光線來加以講解，本文所述光線均指子午光線，光纖為階躍折射率光纖。

2.利用幾何光學(xué)分析光纖的模式

模式，指的是事物的標(biāo)準(zhǔn)樣式，這個(gè)詞涉及的范圍十分廣泛，例如：商業(yè)模式、管理模式、思維模式，等等。在光纖理論中，光的模式可以簡單地理解為具有相同傳播狀態(tài)的光的集合，不同的集合具有不同的稱呼，如導(dǎo)模、一階模等。光纖中傳播的光主要分為兩類，一類是可以在光纖中持續(xù)傳播的光，叫做導(dǎo)模；另一類是在傳播過程中能量損耗，在光纖中傳播很短距離后全部散失掉的光，叫做輻射模。光纖是傳輸光的，我們真正關(guān)心的是滿足何種條件的光可以在光纖中傳輸，導(dǎo)模是這一類光共有的名字，故將其簡稱為導(dǎo)模條件。［１］

根據(jù)光纖中光傳播的基本原理，只有滿足以下兩個(gè)條件的光才能被稱為導(dǎo)模：a.在纖芯和包層界面上的全反射條件；b.波導(dǎo)的橫向諧振條件。全反射條件是光纖教學(xué)中的基本知識(shí)點(diǎn)，此處不再贅述。［２］

光在光纖中傳播時(shí)，光纖橫截面上的光強(qiáng)分布是由大量光線疊加而成，如圖1所示。光纖中的導(dǎo)模在光纖橫截面上的分量疊加會(huì)形成駐波，也只有橫向分量疊加形成駐波的光，才有可能稱為導(dǎo)模，這一條件叫做橫向諧振條件。全反射條件和橫向諧振條件結(jié)合在一起構(gòu)成了導(dǎo)模的充要條件。

根據(jù)駐波理論，多個(gè)同類波疊加形成駐波的條件可簡化為單一波在往返運(yùn)動(dòng)中的相位變化特性。因此，橫向諧振條件可表述為：光在光纖橫截面上的分量（以下簡稱橫向分量）在纖芯和包層界面之間往返一次，相位變化為2π的整數(shù)倍時(shí)，該光線滿足橫向諧振條件。

在橫向諧振條件中橫向分量的相位變化由兩部分組成：（1）橫向分量的往返運(yùn)動(dòng)所造成的相位變化；（2）在纖芯和包層界面上全反射造成的全反射相移。

1.1橫向分量的往返運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的相位變化的計(jì)算

設(shè)某一光線的表達(dá)式為=sin（ωt+φ）式中，代表光矢量的方向和振幅，ω=代表光的角頻率，φ代表初始相位，（ωt+φ）則代表相位。當(dāng)光在纖芯和包層的界面上的入射角為θ時(shí)，其橫向分量可以表述為′=cosθsin（ωt+φ），其中cosθ代表方向和振幅，而相位仍然是（ωt+φ）。因此，光的橫向分量與原光線具有相同的相位。

如圖2所示，光線1與光線2平行，屬于同一個(gè)模式。這一模式光的δ是指橫向分量從A點(diǎn)到B點(diǎn)再返回A點(diǎn)過程中由光程造成的相位差。光的橫向分量與原光線具有相同的相位，故其實(shí)質(zhì)是光線1在A點(diǎn)的相位和光線2在B點(diǎn)相位之間差值的兩倍。

在光傳播過程中，某一時(shí)刻其振動(dòng)相位相同的點(diǎn)所構(gòu)成的面叫做波陣面，簡稱波面，波面與光的傳播方向相互垂直。［３］在圖2中，光線1和光線2為平行光，過B點(diǎn)做光線1的垂線，與光線1交于C點(diǎn)，則BC為波面，B點(diǎn)和C點(diǎn)的相位相同。C點(diǎn)和A點(diǎn)的相位差δ′可通過光程計(jì)算得到：

δ′=2π?=2π?=2π?（1）

因此，橫向分量的往返運(yùn)動(dòng)所造成的相位變化為：

δ=2δ′=4π?（2）

式中d為纖芯直徑，n為纖芯折射率，λ為入射光在纖芯中的波長，λ為入射光在真空中的波長。通常而言，表述光在真空中傳播方向的光矢量為，矢量的模k=稱為波數(shù)，則當(dāng)光在某一方向上傳播L的距離時(shí)，其相位變化可表述為kL，即將波數(shù)作為計(jì)算路程引起的相位變化的運(yùn)算系數(shù)。根據(jù)這一簡化算法，式（2）可表述為：

δ=2kdncosθ=2d?（kcosθ）（3）

式中k=kn=n=為入射光在纖芯中的波數(shù)。

此時(shí)，式（3）中的kcosθ可以看做是波數(shù)k在光纖橫截面上的分量，而2d可以看做是橫向分量往返運(yùn)動(dòng)的路程。則δ也可以簡單地理解為相位變化的運(yùn)算系數(shù)與路程的乘積。

將波數(shù)k在光纖軸向上的分量定義為傳播常數(shù)β=ksinθ=nsinθ，則式（3）可以表述為

δ=2dk=2d=2d（4）

1.2全反射相移

當(dāng)光在纖芯和包層的界面上發(fā)生全反射時(shí)，反射光相對于入射光會(huì)產(chǎn)生相位上的變化，稱為全反射相移。光是一種電磁波，其電場模和磁場模的全反射相移有所不同，電場模為?覬=-2arctan，磁場模為?覬′=-2arctan。利用傳播常數(shù)可以將其簡化為：

?覬=-2arctan=-2arctan（5）

?覬′=-2arctan=-2arctan（6）

為了便于后續(xù)分析，可將式（5）和（6）統(tǒng)一簡化為

?覬=f（k，n，n，β）（7）

結(jié)合式（7）和式（4）可以得到橫向諧振條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

δ=δ+?覬=2d+f（k，n，n，β）=2mπm=1，2…（8）

光纖中的全反射條件的數(shù)學(xué)表述為：sinθ＞（9）

在前文論述中，θ是光在纖芯和包層的界面上的入射角，而沿光纖軸線方向傳播的光不存在這樣的入射角，因此前面所述分析不包含沿光線軸線方向傳播的光。

若定義沿著光纖軸線方向傳播的光對應(yīng)θ=90°，則θ的取值范圍擴(kuò)展為（0°，90°］，將θ=90°代入式（3）、式（5）和式（6）可得δ=0、?覬=0、?覬′=0，即δ=0對應(yīng)m=0。因此，式（8）和式（9）可分別擴(kuò)展為：

δ=δ+?覬=2d+f（k，n，n，β）=2mπm=0，1，2…（10）

0＜＜sinθ≤1（11）

進(jìn)一步引入傳播常數(shù)，式（11）可轉(zhuǎn)化為：kn＜β≤kn（12）

結(jié)合式（10）和式（12）即可得到光纖中導(dǎo)模條件的完整數(shù)學(xué)表達(dá)式：

kn＜β≤kn2d+f（k，n，n，β）=2mπm=0，1，2，3…（13）

入射到光纖纖芯中的光，滿足式（13）的被稱為導(dǎo)模，可以在光纖中傳輸。其中，β和光纖中的導(dǎo)模一一對應(yīng)，被稱為模式的傳播常數(shù)；同一個(gè)m下求解出的導(dǎo)模統(tǒng)一劃分為一類，如在m=1時(shí)滿足導(dǎo)模條件的光被稱為1階模，在m=2時(shí)滿足導(dǎo)模條件的光被稱為2階模，以此類推，以便于將導(dǎo)模進(jìn)一步細(xì)化分類和研究。

3.幾何光學(xué)下導(dǎo)模條件的分析與應(yīng)用

在式（13）中含有以下變量：k、n、β、n、d、m。

這些變量可以依據(jù)其描述的物理對象的不同而分為三類：

（1）描述入射光，進(jìn)一步說是描述光源的變量：λ（由k表述）；

（2）描述光纖的變量：n、n、d；

（3）描述導(dǎo)模的變量：θ（由β表述）、m。

光源、光纖和模式涵蓋了光纖模式理論在工程應(yīng)用和科學(xué)研究中所涉及的全部要素。根據(jù)式（13），在已知光源和所要使用的光纖的情況下，可以分析出光纖中傳播的模式特性，將式（13）中的不等式代入等式中可得：

0≤2d+f（k，n，n，β）＜2dk（14）

其中，2d及f（k，n，n，β）都是β的遞減函數(shù)，也即

0≤2mπ＜2dkm=0，1，2，3…（15）

進(jìn)一步簡化為

0≤m＜m=0，1，2，3…（16）

式（16）的意義在于：有且只有滿足式（16）的取值才能使式（13）成立，即只有滿足式（16）的模式才是導(dǎo)模。令m=定義為模式的閾值，根據(jù)式（16），光纖中能夠存在的最高階模式一定是“小于”m的最大整數(shù)，當(dāng)然從這一整數(shù)向下直到0階模這些模式都是存在于纖芯中的。

從光纖特性來說，d＞0且n＞n，因此m＞0，代表m=0一定能滿足式（16），故在光纖中0階模一定存在，根據(jù)前面的分析0階模代表了那些傳播方向平行于光纖軸線的光，將其定義為基模。

另一方面，如果已知實(shí)際應(yīng)用中需要某一模式，同時(shí)光源已知的情況下，就可以分析出應(yīng)選擇什么參數(shù)的光纖，由式（16）可得

2d＞mλ≥0（17）

將市面上可以買到的光纖的參數(shù)代入式（17），所有使式（17）成立的光纖都可以滿足實(shí)際需求。

最后，由式（16）變形可得λ＜，根據(jù)這一式子，在已知光纖及實(shí)際需要光纖中傳播何種模式的情況下，可以分析出應(yīng)使用何種波長的光源。

總而言之，光源、光纖和導(dǎo)模這三個(gè)對象中，只要知道其中兩項(xiàng)，就可以通過導(dǎo)模條見分析出第三項(xiàng)的特性，這就是幾何光學(xué)下導(dǎo)模條件的實(shí)際意義。

4.幾何光學(xué)下導(dǎo)模條件的不足與波動(dòng)光學(xué)模式理論的引出

光纖按照其中傳播的模式的不同可以分為兩種：單模光纖和多模光纖。根據(jù)前文對式（16）的分析可知，單模光纖中只有基模傳輸，即只有m=0滿足式（16），因此可以推導(dǎo)出其充要條件：

≤1?圯d≤=（18）

式（18）表明了在幾何光學(xué)模式理論下光纖中形成單模傳輸?shù)臈l件。但是，目前市面上光纖的數(shù)值孔徑通常為0.18—0.35之間，根據(jù)式（18）可知光纖直徑的取值上限約在之間2.78λ∶1.43λ，即纖芯尺寸與入射光波長相近，這就與幾何光學(xué)適用范圍產(chǎn)生了矛盾。光學(xué)研究中，幾何光學(xué)通常用來研究尺寸遠(yuǎn)大于光波長的對象，而對于尺寸與光波長相似的對象而言，其光學(xué)特性應(yīng)當(dāng)從波動(dòng)光學(xué)的角度加以研究。因此，式（18）所得的結(jié)論是一個(gè)近似解，光纖模式的幾何光學(xué)分析結(jié)論更適用于多模光纖的分析。如果要研究光纖單模傳輸?shù)木_條件，應(yīng)從波動(dòng)光學(xué)理論出發(fā)，這樣就可順勢引出光纖模式的波動(dòng)光學(xué)分析的教學(xué)內(nèi)容。

實(shí)際上，在波動(dòng)光學(xué)的模式理論中，光纖中實(shí)現(xiàn)單模傳輸?shù)臈l件可以通過歸一化頻率來表述［４］：

V==＜2.4

?圯d＜2.4≈（19）

對比式（18）和式（19），＜，即凡是滿足式（18）的光纖系統(tǒng)都能夠滿足式（19），因此，幾何光學(xué)的單模條件雖然在學(xué)術(shù)上不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但是在實(shí)際應(yīng)用中仍然是成立的。

5.結(jié)語

本文主要闡述了利用幾何光學(xué)分析光纖模式理論的方法。在實(shí)際教學(xué)中，這一部分可以作為光纖基礎(chǔ)知識(shí)和波動(dòng)光學(xué)下光纖模式理論這兩部分知識(shí)點(diǎn)之間的過渡，使得學(xué)生學(xué)習(xí)光纖相關(guān)內(nèi)容時(shí)更加連貫。尤其是幾何光學(xué)下的單模傳輸條件，既用到了光纖的基本參數(shù)數(shù)值孔徑，本身又是幾何光學(xué)的模式理論的結(jié)果，更可以引導(dǎo)出光纖模式的波動(dòng)光學(xué)分析，從而用一條線將整個(gè)光纖知識(shí)串聯(lián)起來。希望本文的內(nèi)容對于涉及光纖知識(shí)的教師和學(xué)生有所幫助。

參考文獻(xiàn)：

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