李瑞陽(yáng)

對(duì)于“等差?等比”型數(shù)列的求和，大家都熟悉的方法自然是錯(cuò)位相減法，此法也是要求學(xué)生熟練掌握的一種方法，除此之外，恐怕很少有學(xué)生會(huì)去考慮是否還有其他方法，對(duì)于教師，長(zhǎng)期以來(lái)也都是教學(xué)生如何正確地用錯(cuò)位相減法去解決此類數(shù)列求和問(wèn)題。

一個(gè)偶然的發(fā)現(xiàn)，在跟學(xué)生演示幾何分布的期望的推導(dǎo)過(guò)程中，研究并推廣了另一種方法，下面將研究過(guò)程陳述如下：

設(shè)隨機(jī)變量 服從幾何分布，其分布列為：

其中p代表試驗(yàn)成功的概率，q=1－p

則 的期望E =p+2qp+3q2p+…+nqn-1p+…

=p（1+2qp+3q2+…+nqn-1+…）①

括號(hào)內(nèi)是一個(gè)典型的“等差?等比”型數(shù)列的求和的極限，錯(cuò)位相減法的過(guò)程就不再?gòu)?fù)述，下面將導(dǎo)數(shù)法的全過(guò)程再現(xiàn)如下：

①式=p（q+q2+q3+…+qn+…）'

=p［］'

=p［］'=p=

從推導(dǎo)過(guò)程看得出，原本是錯(cuò)位相減法解決的類型，轉(zhuǎn)化成冪函數(shù)的和求導(dǎo)，問(wèn)題也能解決。

于是我們會(huì)猜想：是不是所有的“等差?等比”型數(shù)列的求和都可以實(shí)現(xiàn)這樣一個(gè)轉(zhuǎn)化呢，錯(cuò)位相減法是否并非解決此類問(wèn)題的唯一方法？

經(jīng)過(guò)研究回答是肯定的，并可以得出一個(gè)“等差?等比”型數(shù)列的求和公式，我將這種方法命名為“配導(dǎo)法”，下面詳細(xì)介紹如下：

首先準(zhǔn)備兩個(gè)“材料”：i）任何等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)都可用an=dn+b（d、b為常數(shù)）表示，其中公差為d；ii）任何等比數(shù)列{bn}的通項(xiàng)都可用bn=pqn-1（p、q為常數(shù)）表示，其中公比為q。

于是所有“等差?等比”型數(shù)列{cn}的通項(xiàng)都可用cn=（dn+b）pqn-1表示，為了研究它的求和公式，我們先研究一個(gè)比它略為簡(jiǎn)單的數(shù)列的求和。

設(shè)數(shù)列c'n=（n+c）qn-1，其前n項(xiàng)和設(shè)為Sn

則Sn=c'1+c'2+c'3…c'n

=（1+c）+（2+c）q+（3+c）q2+…+（n+c）qn-1

=（1+2q+3q2+…+nqn-1）+c（1+q+q2+…+qn-1）

=（q+q2+q3+…+qn）'+c

=［］'+

=－ （*）

我們只要把數(shù)列cn=（dn+b）pqn-1先處理一下就可以套用公式（*）

cn=（dn+b）pqn-1=dp（n+）qn-1

下面舉例對(duì)“配導(dǎo)法”進(jìn)行應(yīng)用：

例1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=（2n－1）?3n，求它的前n項(xiàng)和Sn

解： an=6（n－）?3n-1

設(shè)bn=（n－）?qn-1其前n項(xiàng)和記為Bn

則Bn=（1－）+（2－）q+（3－）q2+…+（n－）qn-1

=（1+2q+3q2+…+nqn-1）－（1+q+q2+…+qn-1）

=（q+q2+q3+…+qn）'－?

=［］'－?

=－?

將q=3代入上式得

Bn=－?

=?3n+

（或者將c=－，q=3直接代入公式（*）也可得上式結(jié)果）

∴Sn=6Bn=（n－1）3n+1+3

例2. 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）.

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；

（Ⅱ）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn．

解：（Ⅰ） ∵an+1=2Sn（n∈N*） ①

∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=2Sn-1②

①－②：an+1－an=2an即：an+1=3an（n≥2）

將n=1代入①式得a2=2S1=2a1=2

∴{an} 是從第二項(xiàng)開始且a2=2，公比為3的等比數(shù)列

∴ an=

（Ⅱ） Tn=1?a1+2?a2+3?a3+4?a4+…+nan ③

記 Kn=2?a2+3?a3+4?a4+…+nan

=2?2+3?2?3+4?2?32+…+n?2?3n-2

=2[2+3?3+4?32+…+n?3n-2+（n+1）?3n-1－（n+1）?3n-1]（補(bǔ)項(xiàng)）

將c=1，q=3 代入公式（*）得：

Kn=2[qn－－（n+1）?3n-1]

=2[3n－－（n+1）?3n-1]

=（n－）?3n-1－（n≥2）

∴ Tn=1?a1+Kn=1+Kn=（n－）?3n-1+

下面將等差?等比”型數(shù)列的求和公式整理敘述如下：

對(duì)于數(shù)列{an}，an=（n+c）qn-1，其前n項(xiàng)和為Sn，則：

Sn=－

（責(zé)任編輯 李 翔）