嚴(yán)萬全

摘要：在國內(nèi)銀行業(yè)中，排隊(duì)等待問題是影響銀行服務(wù)質(zhì)量和服務(wù)水平的重要因素。采取有效措施，妥善解決排隊(duì)等待問題已成為我國銀行業(yè)的當(dāng)務(wù)之急。文章以運(yùn)籌學(xué)作為理論基礎(chǔ)，建立數(shù)學(xué)模型，深入分析銀行服務(wù)系統(tǒng)排隊(duì)問題，為銀行合理優(yōu)化服務(wù)系統(tǒng)提供決策參考。

關(guān)鍵詞：排隊(duì)問題；運(yùn)籌學(xué)理論；數(shù)學(xué)模型；優(yōu)化服務(wù)

一、引言

銀行網(wǎng)點(diǎn)排隊(duì)問題已成為當(dāng)前社會關(guān)注商業(yè)銀行服務(wù)的焦點(diǎn)，更是貫穿與現(xiàn)代銀行經(jīng)營管理和市場營銷的始終，排隊(duì)問題反映出的是國內(nèi)銀行對服務(wù)意識和渠道營銷的重要性認(rèn)識不夠。隨著我國金融改革的不斷深入，以理財(cái)和個(gè)人信貸業(yè)務(wù)為核心的一系列業(yè)務(wù)逐漸成為各大商業(yè)銀行的重要利潤來源，銀行零售業(yè)務(wù)越來越在銀行競爭中發(fā)揮核心作用。在目前銀行業(yè)市場競爭激烈的大背景下，如果排隊(duì)現(xiàn)象得不到有效改善、客戶等待時(shí)間過長，便會引發(fā)銀行服務(wù)投訴的增多和部分存款的流失。因此，各商業(yè)銀行需要重新認(rèn)識和定位網(wǎng)點(diǎn)功能，重新布局規(guī)劃銀行服務(wù)渠道，以及對現(xiàn)有網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行改造和轉(zhuǎn)型，深入研究客戶排隊(duì)問題。一般地，銀行排隊(duì)主要由顧客數(shù)量、服務(wù)窗口和服務(wù)效率等因素決定，所以權(quán)衡客戶等待成本與銀行提高服務(wù)水平所增加的成本之間的得失，是真正解決銀行排隊(duì)難題的重點(diǎn)。

二、銀行排隊(duì)問題分析

1、服務(wù)系統(tǒng)的構(gòu)成

銀行網(wǎng)點(diǎn)排隊(duì)問題作為一個(gè)典型的排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)，其基本結(jié)構(gòu)包括顧客、服務(wù)時(shí)間、服務(wù)結(jié)構(gòu)和排隊(duì)規(guī)則。（1）顧客：隨機(jī)到達(dá)的顧客數(shù)量服從泊松分布，滿足平穩(wěn)性、無后效性、普遍性和有限性的假定，系統(tǒng)中顧客數(shù)目不影響客戶到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的速率。（2）服務(wù)時(shí)間：相鄰兩個(gè)顧客離開系統(tǒng)的時(shí)間間隔，在一般情況下，服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，其中μ為平均服務(wù)效率。（3）服務(wù)結(jié)構(gòu)：銀行服務(wù)系統(tǒng)屬于多通道的并聯(lián)系統(tǒng)。（4）排隊(duì)規(guī)則：銀行服務(wù)系統(tǒng)是介于損失制與等待制之間的混合制系統(tǒng)，是一種先到先服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則。銀行排隊(duì)系統(tǒng)如圖1所示。

2、服務(wù)系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)

為使用上方便，本文使用肯達(dá)（kenda）與A.M.里氏（lee）歸納的服務(wù)系統(tǒng)一致的指標(biāo)符號。銀行排隊(duì)系統(tǒng)有幾個(gè)性能指標(biāo)：系統(tǒng)中平均排隊(duì)長度Lq（系統(tǒng)中排隊(duì)等候的顧客數(shù)）；顧客在系統(tǒng)中的平均等待時(shí)間Wq；顧客在系統(tǒng)中平均逗留時(shí)間Ws；系統(tǒng)平均總顧客數(shù)Ls。常用的數(shù)量指標(biāo)：顧客平均到達(dá)率λ；顧客有效到達(dá)率λe；窗口平均服務(wù)率μ；系統(tǒng)中并聯(lián)服務(wù)窗口數(shù)S；服務(wù)強(qiáng)度，即每個(gè)服務(wù)窗口單位時(shí)間內(nèi)的平均負(fù)荷ρ；系統(tǒng)空閑概率P0；系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)有n個(gè)顧客的概率為Pn。

3、建立合理的數(shù)學(xué)模型

對于一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)來說，最重要的是了解系統(tǒng)在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)以后的各項(xiàng)運(yùn)行參數(shù)和指標(biāo)。在服務(wù)系統(tǒng)中，假定用系統(tǒng)中的顧客數(shù)表示系統(tǒng)的狀態(tài)，則系統(tǒng)狀態(tài)就是一個(gè)n=0,1,2，…的間斷過程。顧客的到達(dá)或離去都將引起系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)向另一個(gè)狀態(tài)的變化，即為一個(gè)生滅過程。銀行的排隊(duì)系統(tǒng)也滿足生滅過程的三個(gè)假設(shè)條件：（1）顧客到達(dá)服從參數(shù)為λ的泊松過程。（2）服務(wù)時(shí)間間隔服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布。（3）對于充分小的時(shí)間間隔△t,在區(qū)間[t，△t+t]內(nèi)最多到達(dá)一個(gè)客戶。所以，銀行服務(wù)系統(tǒng)的生滅過程狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖2所示，圖中數(shù)字表示系統(tǒng)可能的狀態(tài)，狀態(tài)間箭頭表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移方向。λi表示從狀態(tài)i轉(zhuǎn)變到狀態(tài)i+1時(shí)的顧客到達(dá)速率，μi表示從狀態(tài)i+1轉(zhuǎn)變到狀態(tài)i時(shí)的顧客離開系統(tǒng)的速率。

建立生滅過程的穩(wěn)態(tài)方程得到系統(tǒng)在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)以后的各項(xiàng)運(yùn)行參數(shù)和指標(biāo)。系統(tǒng)的任意狀態(tài)n（n=0，1，2，…）達(dá)到穩(wěn)態(tài)的平衡條件是產(chǎn)生該狀態(tài)的平均速率等于破壞該狀態(tài)的平均速率?，F(xiàn)根據(jù)這個(gè)平衡條件，建立生滅系統(tǒng)的狀態(tài)平衡方程。

對于系統(tǒng)狀態(tài)n=1的情況，產(chǎn)生和破壞n=1狀態(tài)的可能性有下面四種情況，如表一所示。

當(dāng)產(chǎn)生n=1狀態(tài)的概率與破壞n=1狀態(tài)的概率相等時(shí)，即當(dāng)

時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到n=1的穩(wěn)定狀態(tài)。

同理，依此類推，當(dāng)產(chǎn)生n=k狀態(tài)的概率與破壞n=k的概率相等時(shí),即

系統(tǒng)保持n=k的穩(wěn)態(tài)。

由此得到一組穩(wěn)態(tài)平衡方程：

將以上關(guān)系式經(jīng)n次迭代最后可得：

既有

（1）

表示系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)有n個(gè)顧客的概率。

設(shè)

又因

所以，銀行系統(tǒng)空閑的概率： （2）

系統(tǒng)中總顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望值：（3）

如果銀行系統(tǒng)中有S個(gè)服務(wù)窗口，那么當(dāng)?shù)赟+1個(gè)顧客到達(dá)銀行時(shí)開始出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，因此

銀行中排隊(duì)顧客的數(shù)學(xué)期望值：（4）

為計(jì)算顧客在系統(tǒng)中平均逗留時(shí)間Ws與等待時(shí)間Wq，引入李太勒（Little）公式。李太勒證明了對于任何的服務(wù)系統(tǒng)，無論顧客到達(dá)流和服務(wù)時(shí)間服從何種概率分布，也不論何種服務(wù)規(guī)則，顧客在系統(tǒng)中和隊(duì)列中的平均等待時(shí)間可以用公式

（5）

求解得到。其中，λe為顧客有效到達(dá)率：

因?yàn)閷γ總€(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間為1/μ

所以，顧客在系統(tǒng)中和隊(duì)列中的等候時(shí)間滿足關(guān)系式：

（6）

下面就銀行常見的服務(wù)系統(tǒng)，利用生滅過程的一般公式和李太勒公式來分析銀行系統(tǒng)的優(yōu)化問題，進(jìn)而解決銀行排隊(duì)等待的難題。

三、銀行服務(wù)系統(tǒng)的優(yōu)化問題分析

任何一個(gè)銀行服務(wù)系統(tǒng)都有服務(wù)費(fèi)用和排隊(duì)損失兩個(gè)方面的問題。在正常情況下，服務(wù)費(fèi)用增加，服務(wù)水平就高，顧客等待的時(shí)間就短，排隊(duì)損失就少。反之，減少服務(wù)費(fèi)用，服務(wù)水平就降低，顧客等待時(shí)間延長，排隊(duì)損失隨之增大。因此，對于整個(gè)銀行服務(wù)系統(tǒng)來說，就有一個(gè)使這兩方面的損失和最小的優(yōu)化問題。但其難點(diǎn)在于如何將費(fèi)用來衡量排隊(duì)損失，以便能夠和服務(wù)費(fèi)用進(jìn)行比較，這就是排隊(duì)損失的價(jià)格化問題。對于開放式服務(wù)系統(tǒng)而言，影響排隊(duì)的因素很多，很難將排隊(duì)費(fèi)用量化。這里假設(shè)銀行服務(wù)系統(tǒng)為封閉型系統(tǒng)，則可以找到等待時(shí)間的價(jià)格化函數(shù)。所以，銀行服務(wù)系統(tǒng)優(yōu)化問題就是尋求系統(tǒng)總費(fèi)用最少服務(wù)水平最高的點(diǎn)。即minE（TC）=E（SC）+E（WC）

其中，E（TC）表示總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望值；E（SC）表示服務(wù)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望值；E（WC）表示等待費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望值。

下面就以此為理論依據(jù)，討論銀行服務(wù)系統(tǒng)的三種優(yōu)化情況。

1、服務(wù)系統(tǒng)中服務(wù)效率μ的優(yōu)化問題

在一般情況下，為提高服務(wù)效率就要增加服務(wù)費(fèi)用。假定μ值與服務(wù)費(fèi)用呈線性關(guān)系，即SC=Csμ，式中Cs代表μ值增加一個(gè)單位所需增加的費(fèi)用。假定已知等待費(fèi)用函數(shù)為：WC=CWLS，式中CW為每個(gè)顧客在系統(tǒng)中停留的單位時(shí)間損失的費(fèi)用。

所以，總費(fèi)用：TC=Csμ+CWLS

對于簡單的[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]系統(tǒng)

LS■

TC=Csμ+CW■

所以TC=Csμ+CW■

令■=0

可得，最優(yōu)的服務(wù)效率：μ*=λ+■

當(dāng)μ為離散變量時(shí)，且μ1＜μ2＜…＜μi＜μm，先把μ當(dāng)連續(xù)變量處理，由上式得到μ*。如果μ*值就是μi序列中的一個(gè)值，則μ*就是最優(yōu)解。如果μ*不是μi序列中的值，那么μ*應(yīng)滿足TC（μ*）=min[TC（μk），TC（μk+1）]，μk＜μ*＜μk+1

2、服務(wù)系統(tǒng)中最佳服務(wù)窗口數(shù)S的優(yōu)化問題

在[M/M/S]系統(tǒng)中，服務(wù)系統(tǒng)單位時(shí)間總費(fèi)用的期望值可表示為：

TC=C′SC+CWLS

式中，C′S表示一個(gè)服務(wù)窗口的單位時(shí)間成本；CW表示一個(gè)顧客在系統(tǒng)中停留單位時(shí)間的費(fèi)用。

因?yàn)長s也是服務(wù)窗口數(shù)S的函數(shù)，所以TC=f（S），且是一個(gè)不連續(xù)的函數(shù)（S=1，2，…）。故采用邊際分析法求解使函數(shù)f（S）最小的S*值。

根據(jù)f（S*）是最小值，下列不等式成立：

f（S*）≤f（S*-1）f（S*）≤f（S*+1）

最后，可得最優(yōu)的服務(wù)窗口數(shù)S*滿足：

LsS*-Ls（S*+1）≤■≤Ls（S*-1）-LsS*

依次求出S=1,2，…時(shí)的Ls與■值，得到最優(yōu)的S*值。

下圖體現(xiàn)了[M/M/S]模型的經(jīng)濟(jì)分析中成本曲線的大致形狀，服務(wù)成本隨著服務(wù)窗口數(shù)的增加而提高，但更多的服務(wù)窗口可帶來更好的服務(wù)。其結(jié)果是，等候時(shí)間及其成本隨著服務(wù)窗口數(shù)的增加而減少。銀行為提高服務(wù)水平、降低成本，可以通過對幾個(gè)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行評估求得最優(yōu)的窗口數(shù)S*，從而得到較好的總成本接近最低水平的設(shè)計(jì)。

3、1個(gè)[M/M/2]系統(tǒng)和2個(gè)[M/M/1]系統(tǒng)的比較與優(yōu)化問題

涉及服務(wù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案的決策往往建立在對系統(tǒng)運(yùn)行參數(shù)進(jìn)行客觀評價(jià)的基礎(chǔ)上。例如某商業(yè)銀行為解決排隊(duì)問題，向客戶提供更加便捷的服務(wù)，準(zhǔn)備增加業(yè)務(wù)窗口，現(xiàn)有兩個(gè)方案：一個(gè)是在該銀行營業(yè)網(wǎng)點(diǎn)附近再增設(shè)同樣規(guī)模的網(wǎng)點(diǎn)；另一個(gè)是在原網(wǎng)點(diǎn)增加一個(gè)服務(wù)窗口。就兩種方案從服務(wù)效率和費(fèi)用成本兩方面出發(fā)作出評估分析。

假設(shè)顧客平均到達(dá)率λ=0.6人/分，銀行的服務(wù)效率μ=0.4人/分。

方案一：相當(dāng)于兩個(gè)[M/M/1]系統(tǒng)，認(rèn)為顧客到達(dá)每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)的人數(shù)是相等的，則顧客到達(dá)的速率λ1=0.3人/分。又因兩網(wǎng)點(diǎn)服務(wù)效率也相同，故兩個(gè)同樣規(guī)模的銀行網(wǎng)點(diǎn)的運(yùn)行參數(shù)與原來一個(gè)網(wǎng)點(diǎn)的運(yùn)行參數(shù)完全一樣。

方案二：相當(dāng)于一個(gè)[M/M/2]系統(tǒng)，λ=0.6人/分，μ=0.4人/分，S=2，則系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度ρ=λ/Sμ=0.75＜1。

兩種方案運(yùn)用生滅過程的一般公式和李太勒公式，得到各方案的系統(tǒng)運(yùn)行參數(shù)對比，如表2所示。

對比以上參數(shù)可以看出，一個(gè)[M/M/2]系統(tǒng)要比兩個(gè)[M/M/1]系統(tǒng)的服務(wù)水平更好，以此類推。這也說明，一個(gè)系統(tǒng)中的排隊(duì)隊(duì)列共享的服務(wù)窗口數(shù)越多，服務(wù)效率就越高。這一點(diǎn)應(yīng)該是所有商業(yè)銀行在設(shè)計(jì)服務(wù)系統(tǒng)時(shí)考慮的一個(gè)重要特點(diǎn)。

四、銀行服務(wù)系統(tǒng)的優(yōu)化方案

通過建立銀行排隊(duì)問題的數(shù)學(xué)模型以及對該模型的求解，分析了銀行排隊(duì)問題的解決思路。造成銀行排隊(duì)問題的原因是多方面的，因此必須多管齊下，針對性的解決問題?？梢酝ㄟ^合理調(diào)配對外服務(wù)窗口數(shù)量，實(shí)行彈性工作制、配齊大堂經(jīng)理等措施降低客戶的等待時(shí)間，增加電子自助的投入、合理規(guī)劃網(wǎng)點(diǎn)、進(jìn)行網(wǎng)點(diǎn)業(yè)務(wù)流程再造等是銀行應(yīng)當(dāng)采取的重要應(yīng)對策略。

1、改進(jìn)服務(wù)流程，提高服務(wù)效率

圍繞提供給客戶服務(wù)的整個(gè)流程，進(jìn)行重新整理和分析．消除其中的無效率工作，增加流程的效率性、方便性，減少客戶等待時(shí)間。充分發(fā)揮大堂經(jīng)理的職責(zé)：第一，對本網(wǎng)點(diǎn)的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行管理和監(jiān)督，及時(shí)糾正違反規(guī)范化服務(wù)標(biāo)準(zhǔn)的現(xiàn)象；第二，識別高、低端客戶，實(shí)行差別化服務(wù)；第三，根據(jù)客戶的需求，向客戶推介和營銷金融理財(cái)產(chǎn)品。同時(shí)，加大對柜員的培訓(xùn)力度，增強(qiáng)對柜員的考核激勵(lì)，通過定期檢測、客戶滿意度調(diào)查，及時(shí)掌握服務(wù)質(zhì)量狀況。進(jìn)一步完善服務(wù)投訴處理機(jī)制，高效解決問題，切實(shí)改進(jìn)金融服務(wù)，提升服務(wù)質(zhì)量。

2、綜合布局營業(yè)網(wǎng)點(diǎn)，合理調(diào)配窗口設(shè)置

加大在業(yè)務(wù)量較大的地區(qū)，特別是經(jīng)濟(jì)發(fā)展熱點(diǎn)地區(qū)、繁華商業(yè)區(qū)、大型居民社區(qū)、大型批發(fā)市場周邊以及新建的、配套設(shè)施不完善的地區(qū)的網(wǎng)點(diǎn)建設(shè)，適當(dāng)減小每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)的服務(wù)半徑，以較好的滿足金融服務(wù)需求。另外，根據(jù)客戶允許等待時(shí)間最少的優(yōu)化原則，調(diào)整窗口數(shù)量，在不同的工作段、不同的工作日設(shè)置不同數(shù)量的窗口數(shù)量，彈性調(diào)整服務(wù)時(shí)間。增加系統(tǒng)中的排隊(duì)隊(duì)列共享的服務(wù)窗口數(shù)，推進(jìn)對公對私一體化的綜合窗口制度，合理利用窗口資源。

3、加大推廣自助化服務(wù)的渠道和手段

商業(yè)銀行要加大對電子銀行產(chǎn)品的宣傳引導(dǎo)，針對不同層次客戶群的服務(wù)需求，提供適宜的電子銀行產(chǎn)品，通過不斷提升電子銀行普及率，充分發(fā)揮電子銀行產(chǎn)品對傳統(tǒng)銀行柜臺業(yè)務(wù)的輔助作用。加強(qiáng)自助產(chǎn)品功能的開發(fā)，引導(dǎo)客戶通過網(wǎng)上銀行、電話銀行和ATM自動(dòng)存取款機(jī)等方式辦理業(yè)務(wù)，最大限度的緩解柜面壓力。另外，各銀行應(yīng)該適當(dāng)減免一些電子銀行的交易費(fèi)用，通過級差制定價(jià)，以能提高自助設(shè)備的利用率和交易量。最重要的是提高電子銀行的安全系數(shù)，打擊一些釣魚網(wǎng)站和詐騙行為，為客戶提供安全的服務(wù)環(huán)境。

五、總結(jié)

本文運(yùn)用經(jīng)典的排隊(duì)論知識解決排隊(duì)問題，優(yōu)化服務(wù)策略，減少客戶排隊(duì)時(shí)間，提高顧客滿意度，提升銀行同業(yè)間競爭力，為現(xiàn)代商業(yè)銀行經(jīng)營管理提供決策參考。從存款、轉(zhuǎn)賬到繳納各種費(fèi)用，銀行的每一項(xiàng)業(yè)務(wù)都關(guān)系著民生。增強(qiáng)服務(wù)意識，努力改善服務(wù)質(zhì)量，讓老百姓享受到應(yīng)有的優(yōu)質(zhì)高效服務(wù)永遠(yuǎn)是銀行最大的社會責(zé)任?？傊y行排隊(duì)問題有其深刻的經(jīng)濟(jì)根源，具有長期性的特點(diǎn)，只有認(rèn)清問題產(chǎn)生的根源，采取針對性措施才能從根本上有效地緩解銀行排隊(duì)問題。

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