楊云顯

一、問題緣起

最近在引導學生應用數(shù)列性質解決問題的過程中涉及一道題的兩種不同解法，感覺非常有道理有依據(jù)的兩種思路方法在針對同一題目的解答中卻產生了截然不同的結果，究竟錯在哪里？錯因是什么？怎樣糾正？問題探究和解決的過程，看似曲折，卻始終讓人興趣盎然，使師生在應用和實踐中更加深了對數(shù)列知識的正確理解，促進了學生綜合分析能力和應用能力的提高.

這個數(shù)列問題敘述如下：

設{a璶}，{b璶}均為等差數(shù)列，S璶，T璶分別為{a璶}，{b璶}的前n項和，且S璶T璶=7n+2n+3，試求a7b7的值.

這是一道考查數(shù)列公式和性質的經(jīng)典題，大多數(shù)人習慣于使用以下第一種思路來解決.

先來看第一種方法思路的依據(jù)和證明：

等差數(shù)列性質1：m，n，p，q∈N*，若m+n=p+q，則a璵+a璶=a璸+a璹；

特別地，如果2m=p+q，則2a璵=a璸+a璹.（證明略）

等差數(shù)列性質2：若{a璶}，{b璶}均為等差數(shù)列，S璶，T璶分別為{a璶}，{b璶}的前n項和，則

a璶b璶=S2n-1T2n-1（n∈N*）.

性質2證明：?。┤鬾=1，則a1b1=S1T1，顯然成立；

ⅱ）當n≥2，n∈N*時，由性質1，2a璶=a1+a2n-1，2b璶=b1+b2n-1，所以

a璶b璶=2a璶2b璶=a1+a2n-1b1+b2n-1=2n-12a1+a2n-12n-12（b1+b2n-1）①， 因為等差數(shù)列前n項和公式為S璶=n（a1+a璶）2，所以

①式變?yōu)椋篴璶b璶=2n-12a1+a2n-12n-12b1+b2n-1=S2n-1T2n-1.

性質2的結論，當n為奇數(shù)時的證明，也可以采用將“S璶=na中” 這一等差數(shù)列和的性質逆向應用到上面比例式而得到結論的方法.

直接應用性質2就是解決上面例題的第一種方法思路：

因為S璶，T璶分別為等差數(shù)列{a璶}，{b璶}的前n項和，又S璶T璶=7n+2n+3，

所以a7b7=S13T13=7×13+213+3=9316.

再來看第二種方法思路的依據(jù)：

數(shù)列的基本性質：若S璶為數(shù)列{a璶}的前n項和，則a璶=S1，（n=1），S璶-S璶-1，（n≥2，n∈N*）.

根據(jù)上面數(shù)列的基本性質，可得到解決例題的方法思路2：

由基本性質a7=S7-S6，b7=T7-T6，

因為S璶T璶=7n+2n+3，設S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k為非零常數(shù)），

則a7b7=S7-S6T7-T6=51k-44k10k-9k=7.

使用第一種思路方法得到a7b7=9316，使用第二種思路方法得到a7b7=7.

使用兩種不同的方法解答卻產生了不同的結果，問題究竟出在哪里？兩種方法使用的依據(jù)都是正確的，按理兩種思路方法都能夠順利進行下去并產生正確的結果.分析起來，肯定還是有一種思路方法的運用過程中出現(xiàn)了不易發(fā)覺的錯誤！

二、找出“美麗”錯誤，增進問題理解

首先，性質1和性質2是等差數(shù)列和的重要性質，是經(jīng)過嚴格證明成立和認可的.第一種方法是使用性質2代入n=7直接得到結果，即a7b7=S13T13=7×13+213+3=9316，中間沒有其他推理和變形，因此我們可以斷定這種解答的結果是正確的.那就初步斷定第二種思路方法得到的結果肯定是錯誤的！ 弄清錯在何處和錯誤原因是我們希望研究清楚的問題.我們需要對使用第二種思路方法解答的每一步驟進行細致的分析！

對所有數(shù)列來說，若S璶為數(shù)列a璶的前n項和，則a璶=S1，（n=1），S璶-S璶-1，（n≥2，n∈N*），這個性質也是恒成立的，因此a7=S7-S6，b7=T7-T6的使用不存在任何問題.

這樣，可供反思的環(huán)節(jié)就落在根據(jù)S璶T璶=7n+2n+3，設S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k為非零常數(shù)）這個看似順理成章的步驟上了.在解決有關比例問題的題目中，我們經(jīng)常把比例式設為上述形式，例如“已知ab=35，求2a-b3a+2b的值”的問題中，我們就是設a=3k，y=5k（k≠0），代入目標式也就可以馬上得到正確結果了.

因此， 由題意條件S璶T璶=7n+2n+3，設S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k為非零常數(shù)）看起來順理成章，剩下后面計算也沒有錯，這個解答似乎也沒有什么問題！但是，在確信方法1正確的基礎上，肯定是第二種的解答出現(xiàn)了問題，但究竟錯在哪一步驟呢？找錯似乎也不是一件簡單的事，其實，本題第二種思路的解答過程中確實犯了一個隱蔽的“美麗”錯誤！

要找出其中的錯誤，我們有必要從等差數(shù)列的前n項和的特點說起：

若S璶為等差數(shù)列a璶的前n項和，a1為首項，d為公差，則S璶=n（a1+a璶）2=na1+n（n-1）2d.

由S璶=na1+n（n-1）2d，可得S璶=d2n2+a1-d2n，可以看出：S璶是關于變量n的不含常數(shù)項的二次函數(shù).當然，也可以證明，S璶是關于變量n的含常數(shù)項的二次函數(shù)時，a璶不成等差數(shù)列（證明略）.

回歸例題，已知S璶，T璶分別為等差數(shù)列{a璶}，{b璶}的前n項和，而S璶T璶=7n+2n+3，形式卻是兩個關于變量n的一次函數(shù)的比值，因此我們已經(jīng)可以看出問題了，在第二種方法思路解答過程中，我們根據(jù)S璶T璶=7n+2n+3，設S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k為非零常數(shù)），得到的兩等差數(shù)列的前n項和S璶 ，T璶還是一次函數(shù)的形式，根本就不符合等差數(shù)列的前n項和的特點，結果出錯也就在所難免了！

三、糾錯使好方法變得完美，讓研究者能力提升

單單找到了方法2致錯的原因，還很不夠，如果把這樣的錯誤再直接歸結為題目給出的信息不直接的話，則就更大錯特錯了，這就會失去很好的鍛煉創(chuàng)新思維的機會，我們還應該找出正確的解決辦法.

若S璶，T璶分別為等差數(shù)列{a璶}，{b璶}的前n項和，在S璶T璶=7n+2n+3形式下，能否有滿足題意的S璶和T璶的二次形式存在？答案是肯定的！可以逆向將一次變?yōu)槎?，使形式符合要求?/p>

在已知S璶T璶的比例中，S璶=na1+n-12d1，T璶=nb1+n-12d2，可以看出，得到S璶T璶=7n+2n+3，比例是由n的二次之比變?yōu)橐淮沃?，首先約去了變量n，又常數(shù)a1，d1以及b1，d2也可能出現(xiàn)相同的常數(shù)公約數(shù)，因此我們可以認為：分子分母約去了一個關于n的正比例系數(shù)kn（k為非零常數(shù)），這樣可以設S璶=（7n+2）kn，T璶=（n+3）kn（k為非零常數(shù)），仍然使用上面的思路方法2來解決上面的例題.

a7=S7-S6=（7×7+2）·7k-（7×6+2）·6k=93k，

b7=T7-T6=（7+3）·7k-（6+3）·6k=16k，

所以a7b7=S7-S6T7-T6=93k16k=9316.

這樣就得到和依據(jù)思路方法1相同的結果了. 因此，開始得到不同結果，既不是思路方法的問題，也不是題目自身的問題，還是解題過程我們不顧條件盲目套用公式導致矛盾的問題.