魏冀

摘要： 本文以最近5年高考理綜全國(guó)卷為背景，對(duì)電磁學(xué)綜合知識(shí)在計(jì)算題中的考核類(lèi)型進(jìn)行分析，提出了“電荷運(yùn)動(dòng)型”和“導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)型”兩種基本考核題型，并詳細(xì)分析了其題型標(biāo)志和解答特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞： 高考理綜試卷計(jì)算題電磁學(xué)電荷運(yùn)動(dòng)型導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)型

計(jì)算題型要求考生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和良好的解決問(wèn)題的思維習(xí)慣，能構(gòu)建理想化的物理模型。統(tǒng)計(jì)最近5年貴州省高考理綜試卷計(jì)算題的分值分布和考查知識(shí)點(diǎn)得到表1，由表可知，計(jì)算題作為壓軸其所占分值比重較大。電磁學(xué)作為一個(gè)重要的知識(shí)體系，以電磁學(xué)綜合知識(shí)的考核為主的計(jì)算題每年都會(huì)出現(xiàn)。對(duì)于大部分考生來(lái)說(shuō)，單純對(duì)于某個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的考核較輕松。但由于考生的解題思維習(xí)慣存在缺陷，對(duì)于綜合類(lèi)題型有畏難情緒，無(wú)法及時(shí)建立過(guò)程化物理模型，解題受阻，一直以來(lái)普遍的得分率并不高。據(jù)我分析，電磁學(xué)類(lèi)題目雖然紛繁復(fù)雜，但其實(shí)只有兩種基本類(lèi)型，各屆高考中這兩種類(lèi)型題目反復(fù)出現(xiàn)。只需掌握其基本特征，解答起來(lái)就會(huì)輕松快捷。通常題目描述及題目圖形中我們能找到明顯題型標(biāo)志，依據(jù)此迅速判斷出題目類(lèi)型，確定解答思路，可做出明確解答。

1.兩大題型

我按運(yùn)動(dòng)分析主體將電磁學(xué)類(lèi)計(jì)算題分為“電荷運(yùn)動(dòng)型”和“導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)型”；按照電磁場(chǎng)特征將電荷運(yùn)動(dòng)型分為“獨(dú)立場(chǎng)相加型”和“復(fù)合場(chǎng)型”；按照導(dǎo)軌特征將導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)型分為“平行導(dǎo)軌型”和“方型線(xiàn)框型”。表2統(tǒng)計(jì)了近5年貴州高考理綜卷中電磁學(xué)計(jì)算題的出現(xiàn)特點(diǎn)。

2.案例分析

下面分別選取四個(gè)典型，對(duì)前面所提及的類(lèi)型進(jìn)行詳細(xì)分析。

案例1：2011年全國(guó)卷25題：如圖1，與水平面成45°角的平面MN將空間分成Ⅰ和Ⅱ兩個(gè)區(qū)域。一質(zhì)量為m、電荷量為q（q>0）的粒子以速度從平面mn上的PO點(diǎn)水平右射入Ⅰ區(qū)。粒子在Ⅰ區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到大小不變、方向豎直向下的電場(chǎng)作用，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；在Ⅱ區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到勻強(qiáng)磁場(chǎng)的作用，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向里。求粒子首次從Ⅱ區(qū)離開(kāi)時(shí)到達(dá)出發(fā)點(diǎn)P的距離。粒子的重力可以忽略。

分析：首先依據(jù)題目中的“粒子”和圖1中的電磁場(chǎng)分界線(xiàn)“MN”即判定該題屬于典型的“電荷運(yùn)動(dòng)型”，電磁場(chǎng)類(lèi)型屬于“獨(dú)立場(chǎng)簡(jiǎn)單相加”型。解題思路：依據(jù)圖中v與E的方向互相垂直，就可確定粒子的“類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)”，磁場(chǎng)粒子問(wèn)題一般即是洛倫茲力對(duì)粒子的作用，當(dāng)然就是“圓周運(yùn)動(dòng)”，運(yùn)動(dòng)形式確定，作出軌跡示意圖，剩下的就是利用“幾何分析”將兩種運(yùn)動(dòng)形式連接起來(lái)?；静襟E：第一步，電場(chǎng)中的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，得水平方向勻速：x=vt,v=v，豎直方向勻加速：y=at=,v=at=，離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的合速度v=；第二步，粒子以前一過(guò)程的末速度進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；F=f=qBv=m；第三步，做出運(yùn)動(dòng)軌跡，分析幾何關(guān)系；第四步、聯(lián)立方程組。

結(jié)論：可見(jiàn)，對(duì)于“電荷運(yùn)動(dòng)型”中的“獨(dú)立場(chǎng)簡(jiǎn)單相加”型題目，只需分別計(jì)算帶電粒子在均勻電場(chǎng)中的類(lèi)平拋運(yùn)和在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，然后在利用幾何關(guān)系將兩組方程聯(lián)立即可。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是兩運(yùn)動(dòng)加一幾何圖形，我稱(chēng)之為“2+1”解題模式。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，只需熟記兩種運(yùn)動(dòng)形式的方程組及基本幾何分析技巧，此類(lèi)型題目是非常容易解答的。

案例2：2010年全國(guó)卷Ⅱ26題：圖2中左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板相距為d,電壓為v；兩版之間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊為金屬板垂直）在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行金屬板面、垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力。求：(1)已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場(chǎng)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量。(2)已知離子中的離子乙從EG邊上I點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）穿出磁場(chǎng)，且GI長(zhǎng)為a,求離子乙的質(zhì)量。(3)若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問(wèn)磁場(chǎng)邊界上區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)。

分析：依據(jù)題目中的“正離子”和圖2左側(cè)，即判定該題屬于典型的“電荷運(yùn)動(dòng)型”并且電磁場(chǎng)類(lèi)型屬于“復(fù)合場(chǎng)”型。解題思路：離子在復(fù)合場(chǎng)中走直線(xiàn)到H。且不計(jì)重力，可知在平行金屬板內(nèi)部區(qū)域必定是電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力組成一對(duì)衡力。而進(jìn)入三角形的純磁場(chǎng)區(qū)域后，運(yùn)動(dòng)就變?yōu)閯蛩賵A周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。剩下的問(wèn)題就是幾何分析了?；静襟E：第一步，復(fù)合場(chǎng)區(qū)域電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力平衡qE=qBv?圯q=qBv；第二步，進(jìn)入三角形磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)可得：F=f=qBv=m；第三步，做出軌跡示意圖，根據(jù)幾何關(guān)系分析粒子甲和離子乙的半徑特點(diǎn)，帶入到上面式子中；第四步，聯(lián)立方程組。

結(jié)論：可見(jiàn)，對(duì)于“電荷運(yùn)動(dòng)型”中的“復(fù)合場(chǎng)”型題目，雖然題目描述量比較大，但分析起來(lái)簡(jiǎn)單，問(wèn)題簡(jiǎn)化為對(duì)平衡力的分析。而后面部分則是前面提及的“獨(dú)立場(chǎng)“型的問(wèn)題了。對(duì)于復(fù)合場(chǎng)類(lèi)型的題目解題關(guān)鍵即力的平衡問(wèn)題，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是一平衡力兩運(yùn)動(dòng)加一幾何圖像模式，我稱(chēng)之為“1+1+1”解題模式。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，力的平衡分析之后就是按照各類(lèi)場(chǎng)的典型運(yùn)動(dòng)方程組再加上基本幾何分析技巧，此類(lèi)題目同樣迎刃而解。

案例3：2011年全國(guó)卷24題：如圖3，兩根足夠長(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌ab、cd豎直放置，導(dǎo)軌間距離為L(zhǎng)，電阻不計(jì)。在導(dǎo)軌上端并接兩個(gè)額定功率均為P、電阻均為R的小燈泡。這個(gè)系統(tǒng)置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向與導(dǎo)軌所在平面垂直?，F(xiàn)在將一個(gè)質(zhì)量為m、電阻可以忽略不計(jì)的金屬棒MN從圖示位置由靜止開(kāi)始釋放。金屬棒下落過(guò)程保持水平，且與導(dǎo)軌接觸良好。已知某時(shí)刻后兩燈泡正常發(fā)光。重力加速度為g。求：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大?。唬?）燈泡正常發(fā)光時(shí)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)速率。

分析：題目圖像中的“平行軌道”作為最典型的標(biāo)志，即迅速判定該題屬于“導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)型”，解題基本思路：先對(duì)導(dǎo)軌受力分析，導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)及感應(yīng)電流，再對(duì)導(dǎo)軌所組成的電路進(jìn)行關(guān)于電壓電流的分析?；静襟E：第一步，先對(duì)導(dǎo)軌受力分析，按照牛頓第二定律列式：F=mg-F=mg-BIl=ma；第二步，對(duì)電路進(jìn)行分析：電路中運(yùn)動(dòng)導(dǎo)軌視為忽略?xún)?nèi)阻的電源，電動(dòng)勢(shì)為ε=BLv,兩個(gè)燈泡為并聯(lián)，兩端電壓U=U=ε,正常發(fā)光時(shí)功率為P=P=P=，P=P=IR=P=IR,I=I+I=2I；第三步，找臨界點(diǎn)，可知“某時(shí)刻后兩燈泡正常發(fā)光”意指此時(shí)導(dǎo)軌受力平衡，F(xiàn)=mg-F=0，a=0，速度達(dá)到最大值也即燈泡正常發(fā)光時(shí)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)速率；第四步，聯(lián)立方程組得出：B=,v=。

結(jié)論：“導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)型”題目的典型標(biāo)識(shí)就是圖形中的平行導(dǎo)軌，題目分為受力分析和電路分析兩部分，由“運(yùn)動(dòng)臨界點(diǎn)”將二者聯(lián)系起來(lái)。我稱(chēng)之為“1+0+1”模式。解題思路即是分別對(duì)導(dǎo)軌受力分析按照牛頓定律列式和對(duì)把導(dǎo)軌視為電源對(duì)電路進(jìn)行串并聯(lián)、電壓、電流、功率等分析列式，在利用“臨界點(diǎn)”條件找到兩組方程的共同點(diǎn)，通常即是導(dǎo)軌受力平衡那一點(diǎn)，得到電路中電流與力學(xué)量的關(guān)系，最后解方程組。

案例4：2009年全國(guó)卷Ⅱ卷24題：如圖4，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直于紙面向里，大小隨時(shí)間的變化率=k，k為負(fù)的常量。用電阻率為ρ、橫截面積為S的硬導(dǎo)線(xiàn)做成一邊長(zhǎng)為l的方框。將方框固定于紙面內(nèi)，其右半部位于磁場(chǎng)區(qū)域中。求：（1）導(dǎo)線(xiàn)中感應(yīng)電流大?。唬?）磁場(chǎng)對(duì)方框作用力的大小隨時(shí)間的變化率。

分析：“導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)型”題目線(xiàn)框運(yùn)動(dòng)的典型標(biāo)識(shí)就是圖形中的閉合線(xiàn)框和磁場(chǎng)方向符號(hào)，此類(lèi)題型的主要考查楞次定律，首先根據(jù)題意中的磁場(chǎng)變化或者線(xiàn)框運(yùn)動(dòng)分析感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再來(lái)確定電流。有了電流第二步就是討論線(xiàn)框受力問(wèn)題了。題目先分析電路再分析受力，由安培力將二者聯(lián)系起來(lái)。

基本步驟：第一步，根據(jù)楞次定律，可知磁場(chǎng)變化產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε==KS=kl，線(xiàn)框電阻R=ρ，可直接得到第一問(wèn)答案I==；第二步，由題意磁場(chǎng)對(duì)方框作用力的大小隨時(shí)間的變化率為；第三步，把F=BIl和前面方程聯(lián)立得出第二問(wèn)答案：==kIl=。

結(jié)論：“線(xiàn)框運(yùn)動(dòng)型”題目的典型標(biāo)識(shí)即圖中閉合線(xiàn)框，題目仍然分為受力分析和電路分析兩部分，由“安培力”將二者聯(lián)系起來(lái)。我稱(chēng)之為“1+力+1”模式。解題思路即是分別利用楞次定律對(duì)線(xiàn)框電壓電流分析列式，在對(duì)線(xiàn)框某邊進(jìn)行受力分析，再利用“安培力”找到兩組方程的聯(lián)系點(diǎn)，通常聯(lián)系點(diǎn)即線(xiàn)框電流，最后解方程組。

3.結(jié)語(yǔ)

可見(jiàn)，對(duì)于“電荷運(yùn)動(dòng)型”題目來(lái)說(shuō)，在判斷清楚的前提下，考生的思路可以快速轉(zhuǎn)移到磁場(chǎng)力和電場(chǎng)力的判斷、圓周運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)，和平衡力等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用。不同運(yùn)動(dòng)之間的依靠運(yùn)動(dòng)軌跡幾何圖像聯(lián)系。對(duì)于“導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)型”題目來(lái)說(shuō)，其考核基本知識(shí)點(diǎn)就是楞次定理，左右手定則，受力分析和電路的電源電動(dòng)勢(shì)和電源內(nèi)阻等。在受力分析和電路分析之間依靠“臨界點(diǎn)”或“安培力”聯(lián)系。只要掌握了基本思路和方法，該類(lèi)型將由易失分點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)榈梅贮c(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

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