魏春強(qiáng) 侯娟

摘要： 文章以均值不等式為背景，通過(guò)對(duì)一個(gè)不等式的結(jié)論進(jìn)行類比，猜想得出此不等式的延伸與推廣形式，并進(jìn)行嚴(yán)格的證明.

關(guān)鍵詞： 平均值不等式算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)

命題1：2（-）≤3（-）（a，b，c＞0）

證明：作差3（-）-2（-）

=c+2-3

令x=，y=

則c+2-3

=x+2y-3xy

=（x-y）（x+2y）≥0

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立.

如果把算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的差改為商把積改為冪，就可以猜想出以下結(jié)果.

命題2：≤（a，b，c＞0）

證明：作商=·

令x=，y=

則原式=·=

因?yàn)?x+y=x+x+y≥3即（2x+y）≥27xy

所以=≥1

即≤

當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，等號(hào)成立.

命題1可以推廣.

命題3：

（n-1）-≤n-（a，a，…，a＞0）

證明：

作差n（-）-（n-1）-

=a+（n-1）·-n·

令=x，=y

則a+（n-1）·-n·

=x+（n-1）y-（n-1）xy-xy

=（x-y）［x+xy+…+xy-（n-1）y］

=（x-y）［x+2xy+3xy+…+（n-2）xy+（n-1）y］

≥0

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立.

所以，

（n-1）-

≤n-

當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，等號(hào)成立.

同理，命題2的結(jié)論也可以推廣為：

命題4：≤

當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，等號(hào)成立.

命題4的證明和命題3的證明方法相同.

參考文獻(xiàn)：

［1］陳傳理，張同余.競(jìng)賽數(shù)學(xué)教程.高等教育出版社.