高英 張棟

摘要： 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中一種常用的思想方法，數(shù)與形二者相結(jié)合往往能使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化.本文主要介紹了數(shù)形結(jié)合思想在集合，解不等式，直線方程，以及求函數(shù)極限之中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)解題應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法，所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是在研究問題時把數(shù)和形結(jié)合起來考慮，或者是把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)、把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，數(shù)精確但比較抽象，形直觀但不夠精確，數(shù)與形二者相結(jié)合便能優(yōu)勢互補，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化.因此，數(shù)形結(jié)合的思想，就是將復(fù)雜或抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀形象的圖形在方法上相互滲透，并在一定條件下相互補充、轉(zhuǎn)化的思想.本文就教學(xué)中所出現(xiàn)的問題談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.

一、關(guān)于集合中求差集的運算

集合的運算包括交集、并集、補集和差集，在這幾類運算當(dāng)中，差集是學(xué)生比較難掌握的.我們在解有關(guān)差集的題目時可以用文氏圖來分析題目，從圖形上進行觀察，就可以很容易地解題.例如：設(shè)A={x|x+2=x}，B={x|=x}，求A-B，B-A.要解這樣的題，首先來回顧一下差集的定義：設(shè)A和B是兩個集合，把屬于A而不屬于B的所有元素組成的集合稱為A和B的差集，記為A-B，讀作“A減B”，即A-B={x|x∈A，x?埸B}，如圖（1）所示.也就是說我們要先分別求出兩個集合中所含的元素，并且在A集合中除去B集合中的元素，就可以得到A-B，在B集合中除去A集合中的元素，就可以得到B-A，由此可以得出A-B=A-（A∩B），B-A=B-（A∩B），因此我們先求出A={-1，2}，B={2}，再求出A∩B={2}，因此由圖（2）可以看出A-B=A-（A∩B）={-1}，B-A=B-（A∩B）=?覫.

二、用數(shù)軸解不等式組

解不等式組一直是學(xué)生比較頭疼的問題，其實在解不等式組的時候，利用數(shù)軸來分析，思路會更加明確，直觀清晰，而且充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性.例如：

解不等式組2x-1＞-xx＜3，我們首先要分別解出2x-1＞-x和x＜3的解集，然后求它們的交集，下面我們用數(shù)軸來分析一下.解不等式2x-1＞-x，得x|x＞.解不等式x＜3，得{x|x＜6}.在同一數(shù)軸上表示兩個不等式的解，如圖（3），可知所求不等式組的解集是{x|＜x＜6}.

三、根據(jù)直線方程的圖像研究直線方程的系數(shù)

在我們研究直線方程的過程當(dāng)中，有時會出現(xiàn)這樣的問題：已知直線方程的圖像，要求從方程的圖像上判斷出直線方程的系數(shù)，如圖（4）所示.從圖像上我們可以看出直線的方程穿過了第一，二，四象限且與x軸相交與A點，與y軸相交于B點，而A點位于x軸的負半軸，B點位于y軸的正半軸，由直線的一般方程ax+by+c=0（c≠0）可以得出A點的坐標(biāo)為-，0，B點的坐標(biāo)為0，-，因此可以得出-＜0-＞0，解得ab＜0，即a與b異號.

四、求函數(shù)的極限

在我們學(xué)習(xí)函數(shù)的極限時會把自變量x的變化趨勢分成兩種情況來研究，一種情況是當(dāng)x→∞時函數(shù)的極限，一種情況是x→x時函數(shù)的極限，為了讓學(xué)生更加深刻地理解函數(shù)極限的概念，通常會通過函數(shù)圖像來講解函數(shù)值隨自變量的變化情況.例如有這樣一個題目：考察當(dāng)x→∞時，函數(shù)y=的變化趨勢，其實就是求.要解決這樣的問題，在只理解函數(shù)極限的概念的情況下，我們只能從函數(shù)圖像上進行觀察，如圖（5）所示.圖上虛線分別表示自變量x的變化趨勢，函數(shù)圖像的變化趨勢，以及函數(shù)值y的變化趨勢.從圖像上可以清楚地看出當(dāng)x→+∞時，函數(shù)圖像成一個上升的趨勢，無限的向y=1這條直線靠近，函數(shù)值y也在無限地向1靠近，因此=1，同樣當(dāng)x→-∞時，函數(shù)圖像成一個下降的趨勢，無限地向y=1這條直線靠近，函數(shù)值y也在無限地向1靠近，因此=1，因此，根據(jù)函數(shù)極限的定義，我們可以得出=1.

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬世事休.”這句話深刻地說明了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用，因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要恰當(dāng)?shù)厥褂脭?shù)形結(jié)合的思想來啟發(fā)學(xué)生，使學(xué)生切身體會到數(shù)形結(jié)合思想帶來的便利，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.

參考文獻：

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