郝 琳 朱亞紅 趙志輝

【摘要】針對(duì)高等數(shù)學(xué)基本概念、基本理論的教學(xué)，從揭示本原意義、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、歸納比較、借助軟件以及介紹數(shù)學(xué)史五個(gè)方面展開(kāi)探討.

【關(guān)鍵詞】基本概念;基本理論;問(wèn)題驅(qū)動(dòng);歸納比較;玀atlab;數(shù)學(xué)史

高等數(shù)學(xué)課程是一個(gè)復(fù)雜的演繹邏輯系統(tǒng)，演繹邏輯的出發(fā)點(diǎn)就是基本概念；以基本概念為基礎(chǔ)，運(yùn)用正確的邏輯演繹方法得到的一系列理論成果就是基本理論；在邏輯演繹發(fā)展的過(guò)程中產(chǎn)生了一些基本方法，主要有證明、運(yùn)算和應(yīng)用.加強(qiáng)基本概念、基本理論的教學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的永恒主題.筆者結(jié)合多年的高等數(shù)學(xué)教學(xué)體會(huì)，針對(duì)高等數(shù)學(xué)的概念理論教學(xué)展開(kāi)以下幾點(diǎn)探討.

1.揭示基本概念、基本理論的本原意義

我們看到的高等數(shù)學(xué)的概念和理論，往往具有高度的抽象性,呈現(xiàn)出冰冷美麗的一面.但是在每一種數(shù)學(xué)概念和理論的背后，都蘊(yùn)含著許多豐富多彩的數(shù)學(xué)科學(xué)的源泉，燃燒著數(shù)學(xué)家們火熱的思考.作為教師，一個(gè)重要的任務(wù)就是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱藏在“冰冷美麗”后面的“火熱思考”，努力揭示基本概念、基本理論的本原意義.

例如，微積分的創(chuàng)立是為了處理17世紀(jì)四種類(lèi)型的科學(xué)問(wèn)題：（1）物體在任意時(shí)刻的速度和加速度.（2）曲線(xiàn)的切線(xiàn)——光學(xué)在17世紀(jì)得到了飛速發(fā)展，設(shè)計(jì)透鏡時(shí)要研究光線(xiàn)通過(guò)透鏡的通道，必須知道光線(xiàn)射入透鏡的角度，而這與曲線(xiàn)的法線(xiàn)或者說(shuō)切線(xiàn)有著密切的關(guān)系.（3）函數(shù)的最值——隨著軍事的發(fā)展，研究炮彈能獲得最大射程的發(fā)射角成為迫切需要解決的問(wèn)題；同時(shí)天文學(xué)中行星離開(kāi)太陽(yáng)的最遠(yuǎn)和最近的距離也是17世紀(jì)很受關(guān)注的問(wèn)題.（4）曲線(xiàn)的長(zhǎng)度——行星在已知時(shí)期內(nèi)移動(dòng)的距離則需要計(jì)算曲線(xiàn)的長(zhǎng)度.有了這些本原意義，再學(xué)習(xí)微積分的相關(guān)概念會(huì)自然很多，也不會(huì)再有“帽子里蹦出的兔子”的感覺(jué)了.

2.以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的形式組織教學(xué)

著名的數(shù)學(xué)家康托曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，提出問(wèn)題的藝術(shù)比解答問(wèn)題的藝術(shù)更為重要.”把數(shù)學(xué)被發(fā)現(xiàn)時(shí)的本真問(wèn)題加以提煉、加工，呈現(xiàn)給學(xué)生，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的形式組織教學(xué).這樣可以吸引學(xué)生主動(dòng)思考，加深對(duì)概念的理解.例如講授“方向?qū)?shù)與梯度”時(shí)，以高山流水為背景，設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：

①如何刻畫(huà)函數(shù)沿任一方向的變化率？——引出方向?qū)?shù)的概念.

②偏導(dǎo)數(shù)存在可以得到哪些方向的方向?qū)?shù)存在？——理清方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

③在什么條件下任一方向的方向?qū)?shù)存在？——引出方向?qū)?shù)的計(jì)算公式.

④可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件，是否必要條件？——理清可微與方向?qū)?shù)存在的關(guān)系.

⑤如何尋找方向?qū)?shù)最大的方向？——引出梯度的概念.

通過(guò)以上設(shè)計(jì)，層層設(shè)問(wèn)，將活潑的數(shù)學(xué)思想從形式的海洋中提煉出來(lái)，從而激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，加深對(duì)概念的理解.

3.作好相似、相近或相關(guān)概念的歸納比較

歸納比較可以啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同對(duì)象的相似性質(zhì)，明確區(qū)別與聯(lián)系，更好地掌握和運(yùn)用知識(shí).在教學(xué)中注意展示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和相互區(qū)別.

例如，微積分以函數(shù)作為研究對(duì)象，而研究的主要方法是分析增量Δ玿和Δ珁的關(guān)系，可以說(shuō)，增量分析是微積分的核心內(nèi)容.以增量分析為線(xiàn)索，可以串聯(lián)微積分中的諸多基本概念和定理.連續(xù)是自變量增量趨于0時(shí)因變量增量的極限；導(dǎo)數(shù)是因變量增量與自變量增量之比的極限；微分中值定理給出了自變量增量和因變量增量之間的關(guān)系；┡！萊公式則利用函數(shù)增量給出了積分的計(jì)算表達(dá)式.再例如，多元函數(shù)和一元函數(shù)相關(guān)概念的比較，等等.

做好歸納比較可以讓學(xué)生從比較中學(xué)習(xí)，從比較中加深理解，從而從整體上把握所學(xué)到的諸多概念.

4.利用玀atlab軟件，展示數(shù)學(xué)的基本概念和基本理論

利用玀atlab軟件，展示數(shù)學(xué)的基本概念和基本理論，使抽象的知識(shí)變得簡(jiǎn)單易懂、直觀生動(dòng).例如重要極限┆﹍im玿→0玸in玿[]x=1，首先利用玀atlab軟件作出函數(shù)y=玸in玿[]x的圖像（如圖1所示），可以看出當(dāng)自變量x趨于0時(shí)，函數(shù)與1無(wú)限接近，進(jìn)而猜測(cè)﹍im玿→0玸in玿[]x=1，為嚴(yán)格的證明提供了方向.

5.在教學(xué)中適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史

在教學(xué)中可以介紹有關(guān)數(shù)學(xué)概念和符號(hào)發(fā)展歷程的數(shù)學(xué)史知識(shí).例如積分符號(hào)，符號(hào)大師萊布尼茨于1675年以“omn”表示積分，而omn為omnia（意即所有、全部）之縮寫(xiě)，但是這個(gè)符號(hào)不夠精練，其后他又改寫(xiě)為拉長(zhǎng)的字母“s”——∫，是sum（和）的首位字母，這個(gè)符號(hào)一直沿用至今.通過(guò)這樣的講解，不僅可以加深學(xué)生對(duì)積分概念的理解，而且對(duì)積分的感覺(jué)也親切了很多.

教學(xué)中同時(shí)還可以介紹數(shù)學(xué)家的名言、珍聞?shì)W事.數(shù)學(xué)定理大都以數(shù)學(xué)家來(lái)命名，講授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，介紹數(shù)學(xué)家的名言、珍聞?shì)W事，可以拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離，以比較放松的心態(tài)對(duì)待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，同時(shí)學(xué)到一些課本上學(xué)不到的知識(shí).例如，自學(xué)成才的英國(guó)數(shù)學(xué)家格林的故事，以及在艱苦的環(huán)境下仍然堅(jiān)持科學(xué)研究的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾的故事都對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的心理素質(zhì)和堅(jiān)強(qiáng)的意志力很有幫助.

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，如何激發(fā)他們學(xué)習(xí)的積極性與潛能，是一個(gè)老師的主要任務(wù).如果能使學(xué)生被數(shù)學(xué)所吸引，那么他（她）一定是一位出色的數(shù)學(xué)老師.這應(yīng)該是所有數(shù)學(xué)老師所努力達(dá)到的目標(biāo).

【參考文獻(xiàn)】オ

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