劉家松

在高三第一輪導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)中，遇到一道高考題（2008年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ文科第21題），感覺學(xué)生做起來很是吃力，教師講起來很費勁，為了更好地解決此題，作如下探究：

題目 設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=ax3-3x2.(Ⅰ)若x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點,求a的值；(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)+ゝ′(x),x∈［0,2］,在x=0處取得最大值,求a的取值范圍.

本題主要考查函數(shù)的極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、函數(shù)最直接的求法以及分析問題和解決問題的推理能力.標準答案如下:

解 （Ⅰ）f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).

∵x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點，

∴f′(2)=0，即6(2a-2)=0，因此a=1.

經(jīng)驗證，當a=1時，x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點.

(Ⅱ)由題設(shè)，g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2(x+3)-3x(x+2).

當g(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值為g(0)時，g(0)≥ゞ(2)，即0≥20a-24.故得a≤6[]5.

反之，當a≤6[]5時，對任意x∈［0,2］，

g(x)≤6[]5x2(x+3)-3x(x+2)=3x[]5(2x2+x-10)=3x[]5(2x+5)(x-2)≤0，

而g(0)=0，故g(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值為g(0).

綜上，a的取值范圍為-∞,6[]5.

第(Ⅰ)小題，題目簡單明了，易于得分，屬送分題，但要注意檢驗.在此類題中，有一道廣泛流傳于各類資料的錯題.

題目 設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-(ax)2-ax-a在x=1處取得極大值-2，求a的值.

對于本題，多數(shù)學(xué)生易得出答案a=1，而忽略檢驗.實際上，a=1時，在x=1處取得極小值，所以，a不存在.

第(Ⅱ)小題題目簡短明了,短小精悍，它源于教材,而高于教材,標準答案分析巧妙,解法獨特,從正反兩個方面進行了分析解答,但與老師和學(xué)生的思維相距甚遠,而我們仔細讀題，不難觀察到：g(0)=0.由此，就第(Ⅱ)小題,現(xiàn)解答如下:

解 g(x)=ax3+3(a-1)x2-6x，∵g(0)=0，

∴問題可以轉(zhuǎn)化為：當x∈［0,2］時，g(x)≤0恒成立.

又 g(x)=a(x3+3x2)-(3x2+6x),

當x=0時，a∈R；

當0

a≤3t[]t2-t-2=3[]t-2[]t-1,對t∈(2,4］恒成立,

∴a≤3[]4-1[]2-1=6[]5.

綜上所述，a的取值范圍為-∞,6[]5.

點評 第(Ⅰ)問體現(xiàn)了對極值點的“檢驗”的重要性；第(Ⅱ)問巧妙挖掘了一個隱含條件g(0)=0，把目標鏈接起來，盤活了全局.

在上面的解題過程中，我們不難看出對隱含條件的挖掘的重要性：它的挖掘能為我們提供解題思路，成為解決有關(guān)問題的有力手段.諸如此類的例子還有很多,再看下面一道題目：

題目 二次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2x+b,且f(0)=c.若函數(shù)F(x)=f(x)+2-c的定義域為［-1,1］,且F(x)的最小值為2,當方程f(x)=0在區(qū)間［-1,1］上有實數(shù)根時,求實數(shù)c的取值范圍.

分析 本題考查的是含參二次函數(shù)在區(qū)間上求最值的問題，通法當然是運用分類討論思想求b，然而，我們不妨仔細觀察，不難挖掘一個隱含條件F(0)=2，得出如下解法：

解 由題易得f(x)=x2+bx+c,

∴F(x)=x2+bx+2的對稱軸方程是x=-b[]2，且x∈［-1,1］.

又 ∵F（0）=2，F(xiàn)（x)┆玬in=2，

∴-b[]2=0,故b=0.

∴f(x)=x2+c，由f(x)=x2+c=0,得c=-x2.ァ選∈［-1,1］，∴-x2∈［-1,0］.

∵f(x)=x2+c=0在區(qū)間［-1,1］上有解，∴c的取值范圍為［-1,0］.

點評 此法巧妙挖掘了一個隱含條件F(0)=2,避免了繁雜的分類討論，使得問題的解決得以簡化.

有興趣的讀者不妨做下面這道題：

題目 已知定義在R上的函數(shù)f(x)=x2(2ax-3)，其中a為常數(shù).

（1）若a≥0，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是增函數(shù)；

（2）若函數(shù)g(x)=f(x)+f′(x),x∈［0,1］，在x=0處取得最大值，求正數(shù)a的取值范圍.