□韓 睿,來(lái)曉東

( 1.山西職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030009;2.山西廣播電視大學(xué)，山西 太原 030027)

1.瞬時(shí)頻率

自回歸建模方法已廣泛用于語(yǔ)音處理和高分辨率的信號(hào)譜估計(jì)領(lǐng)域中?；诘腁R模型技術(shù)已被證明[1]可以用于區(qū)域級(jí)/ NAMPS信號(hào)的解調(diào)，我們的工作就是將該項(xiàng)技術(shù)擴(kuò)展到正被廣泛應(yīng)用在多種無(wú)線通訊系統(tǒng)中的GMSK信號(hào)上。分布參數(shù)或分布律具有時(shí)間依賴性的信號(hào)被稱為非平穩(wěn)信號(hào)。瞬時(shí)頻率在非平穩(wěn)信號(hào)分析中是一個(gè)非常重要的物理量，在許多信號(hào)處理的實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中瞬時(shí)頻率估計(jì)占有著非常重要的地位。所有靜止的信號(hào)都可以表示為特定頻率的正弦和余弦的總和。 然而，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，例如Chirp信號(hào)，這是不成立的，因?yàn)樾盘?hào)掃描頻率超過(guò)了波段頻率的觀察時(shí)間間隔。 通常處理這一問題的辦法是使觀察間隔盡可能小，信號(hào)可以被假定為一個(gè)正弦波(假設(shè)為單組分信號(hào))。如果數(shù)據(jù)記錄的可用IF估計(jì)將非常小，那么就引出了我們將在下面要討論的頻率分辨率的問題。信號(hào)可以用以下形式表示：

即瞬時(shí)頻率是相位對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)[2]。需要注意的是，如果頻率fi(t)為常數(shù)時(shí)，公式(1-1)可簡(jiǎn)化為：

s(t)=acos[2πft+θ] (1-3)

通常中頻通信信號(hào)是由一個(gè)頻率固定的分量(即載波)和一個(gè)隨時(shí)間變化的分量構(gòu)成的，該分量中包含了所要傳送的信息。如果振幅a或相位θ的調(diào)制方式分別為隨時(shí)間變化的振幅調(diào)制和相位調(diào)制時(shí)，信號(hào)可表示為：

瞬時(shí)頻率的公式為： f1(t)=fe+fm(t) (1-5)

其中，fc是頻率恒定的載波部分和fm是信息承載部分。

2.頻譜估計(jì)技術(shù)

自回歸移動(dòng)平均模型(ARMA模型)是最常用的有理轉(zhuǎn)移函數(shù)模型，并可以由下面的差分方程表示：

該輸出序列的功率譜密度(PSD)是：

需要注意的是，u[n]是一個(gè)在模型中包含的固定部分，不應(yīng)與觀測(cè)噪聲混淆。ARMA模型也被稱為零極點(diǎn)模型。如果我們使MA模型中除a[0]外的所有分母系數(shù)都等于零。我們的MA模型的差分方程(2-1)將簡(jiǎn)化為：

我們假定了a[0]=b[0]=1。如果數(shù)據(jù)是由純正弦波構(gòu)成的，那么AR模型通常是最好的選擇。這是因?yàn)闃O點(diǎn)AR模型能準(zhǔn)確表示頻率域中的離散信息。

3.模式選擇

信號(hào)譜估計(jì)模型的選擇過(guò)程有三個(gè)步驟，如圖1-1所示。第一步是選擇一個(gè)具有先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)資料的基本模型。 我們知道，信號(hào)是一個(gè)非穩(wěn)定的調(diào)頻信號(hào)，即信號(hào)的頻率是隨時(shí)間變化的，但在小型觀測(cè)窗口中，信號(hào)可以被認(rèn)為是穩(wěn)定的。所以信號(hào)基本上會(huì)包含一個(gè)較完整的噪聲正弦曲線。

圖1-1基于模型的譜估計(jì)步驟

即在同信道干擾中將存在有一個(gè)以上的正弦分量。因此，選擇的應(yīng)該是能夠準(zhǔn)確代表正弦分量并同時(shí)具備一個(gè)較高的頻率分辨率的模型。 由上述規(guī)定的要求可以很明顯得出結(jié)論，AR模型將是最適當(dāng)?shù)倪x擇。經(jīng)典技術(shù)無(wú)法為客戶提供高頻率分辨率和窄帶程序模型[5]。在模型的選擇中，MA模型或ARMA的優(yōu)先級(jí)順序比AR模型要低。AR模型已被廣泛應(yīng)用在許多信號(hào)處理的領(lǐng)域。它已被證明AR模型可以用來(lái)精確地表示AMPS / NAMPS信號(hào)，并能夠提供比傳統(tǒng)正交解調(diào)器的更好的性能增益。另一個(gè)選擇AR模型的原因是，我們可以利用它來(lái)進(jìn)行更有效率的計(jì)算，這種方法與傳統(tǒng)的非相干解調(diào)技術(shù)有緊密的相似性。然后，我們選擇數(shù)據(jù)模型的下一個(gè)步驟就是確定模型參數(shù)，一個(gè)模型的最佳階數(shù)為L(zhǎng)=3N/4，這也就是我們?cè)谀M中最常用的參數(shù)。在確定模型參數(shù)之后，即可將這些參數(shù)代入模型以獲取AR譜估計(jì)。由(2-6)和(2-7)給出的AR模型，可以用圖 1-2中顯示的IIR濾波器來(lái)表示。在這里，模型可以由驅(qū)動(dòng)噪聲序列u [n]和參數(shù)a1,a2,……ap來(lái)完全定義。

圖1-2 AR模型信號(hào)流程圖

在確定AR模型的線性預(yù)測(cè)系數(shù)參數(shù)時(shí)，線性預(yù)測(cè)方程可寫為

其中，{a1,a2,……ap}是預(yù)測(cè)系數(shù)，而預(yù)測(cè)誤差則為：

濾波器的輸出可以表示為：

z[n]=ejφ[n+1]ejφ[n]=ejφ[n+1]-φ[n](3-4)

對(duì)于一個(gè)一階濾波器的線性預(yù)測(cè)方程可表示為：

x[n-1]a[1=-x[n] (3-5)

這就是所謂的偽譜，因?yàn)樗惶峁┝擞嘘P(guān)信息的位置復(fù)指數(shù)，而不是他們的權(quán)。該方法可以消去音頻信號(hào)的最主要的相關(guān)性限制矩陣。偽譜可定義為：

其中噪聲E是指噪聲特征向量矩陣：

Enoise= [eM+1eM+2… eN] (3-9)

假設(shè)復(fù)雜的指數(shù)函數(shù)M的數(shù)量是已知的。因此，特征向量數(shù)目是大于復(fù)指數(shù)的數(shù)量。該特征值對(duì)應(yīng)的最小特征值和噪音是由特征向量定義的，它是正交的信號(hào)載體。

ESPRIT是一個(gè)比較新的子空間技術(shù)，提供了大幅提高頻率分辨率的解決方案。原來(lái)的ESPRIT算法，提出了在該方案框架下的相關(guān)數(shù)據(jù)矩陣，但存在有嚴(yán)重的數(shù)值問題。最小二乘法(LS)和總體最小二乘法(TLS)是用來(lái)解決這些問題首選方法。 ESPRIT算法的子空間方法與其他方法不同，它進(jìn)行頻率估計(jì)時(shí)使用的是離散信號(hào)子空間，而不是噪音子空間。這種方法的關(guān)鍵是要分成兩個(gè)信號(hào)交錯(cuò)子的空間。讓我們定義一個(gè)信號(hào)矩陣S為：

然后兩個(gè)矩陣 S1、S2是分別消除第一行和最后一行的剩余部分。

這兩個(gè)矩陣是相關(guān)的: S2=S1Φ (3-10)那么

顯然，矩陣 包含的頻率信息。如果S1和S2為已知，則 很容易使用最小二乘法。

4.模擬結(jié)果

在測(cè)試中，我們使用LTE-YD-02B1移動(dòng)通信系統(tǒng)綜合實(shí)驗(yàn)箱系統(tǒng)中的基帶成形模塊，產(chǎn)生PN31偽隨機(jī)序列作為信源；將基帶信號(hào)進(jìn)行串并轉(zhuǎn)換；按QPSK、OQPSK、MSK、GMSK調(diào)制要求進(jìn)行基帶成形，形成測(cè)試信號(hào)。并采用 Matlab 編程,生成最終的測(cè)試結(jié)果。

在比較時(shí)選擇的信號(hào)是高斯濾波的帶寬為3dB ，BT= 0.5 的MSK(GMSK調(diào)制)信號(hào)。我們使用復(fù)雜基帶模型進(jìn)行了模擬，采樣頻率fs=20。對(duì)于在AWGN信道下的基于模型的解調(diào)器的執(zhí)行情況使用主成分分析法(PCM)的結(jié)果如圖2-1 - 2-3所示(規(guī)定信噪比為30dB)。

當(dāng)存在同信道干擾的情況下，基于模型的設(shè)計(jì)(MBD)的性能如圖2-1所示。同時(shí)，限幅鑒別頻器(LD)的表現(xiàn)也顯示出來(lái)以供參考?？梢钥闯?，在具有獨(dú)立的過(guò)濾器的長(zhǎng)度L或數(shù)據(jù)樣本數(shù)N的情況下，MBD和LD具有相同的誤碼率性能。但是，MBD與LD在不同的相位差下的表現(xiàn)則不具備相關(guān)性。接下來(lái)，我們對(duì)MBD測(cè)試實(shí)例進(jìn)行評(píng)估。我們采用LMS算法來(lái)跟蹤濾波器的系數(shù)，而不是為每一個(gè)系數(shù)進(jìn)行單獨(dú)的計(jì)算。我們將步長(zhǎng)設(shè)置為0.005，結(jié)果發(fā)現(xiàn)迭代次數(shù)為10時(shí)，LMS算法足以減少預(yù)測(cè)誤差。而再進(jìn)一步的迭代則無(wú)法繼續(xù)提高誤碼率性能。從結(jié)果中可以看出，如果濾波器的階數(shù)大于3，在性能上就會(huì)有明顯的降低。

圖2-1 LD和基于模型的解調(diào)器在各種濾波器長(zhǎng)度下的性能表現(xiàn)

如果有一個(gè)單列的正弦分量信號(hào)，那么第一個(gè)角度的系數(shù)就可以用于頻率估計(jì)。事實(shí)上，如果信號(hào)具有足夠的過(guò)采樣，且所有過(guò)濾系數(shù)都具有相似的值和正弦分量，那么我們就可以通過(guò)角度來(lái)確定任何一個(gè)相關(guān)系數(shù)。所有上述測(cè)試方案的性能比較如圖2-2所示。最后我們?cè)谌鹄ヂ洵h(huán)境中對(duì)MBD的性能進(jìn)行評(píng)估?？梢钥闯觯琈BD與LD的表現(xiàn)相似，衰落是緩慢的并且是與頻率不相關(guān)的。我們?cè)O(shè)置了兩個(gè)極端的情況：一是兩種信號(hào)經(jīng)歷了完全不相關(guān)的衰落。二是兩種信號(hào)經(jīng)歷了相同的衰落?？梢钥闯?，在不相關(guān)衰落的情況下，其性能更差。在第二種信號(hào)經(jīng)歷了相同的衰落情況下，性能主要由兩個(gè)信號(hào)的相對(duì)強(qiáng)度來(lái)決定。在實(shí)際運(yùn)行環(huán)境中，兩個(gè)信號(hào)所經(jīng)歷的衰落與性能表現(xiàn)將會(huì)介于兩個(gè)極端情況之間。

圖2-2 以各種模型為基礎(chǔ)的解調(diào)方案的性能比較

5.結(jié)語(yǔ)

我們?cè)谧曰貧w模型的基礎(chǔ)上，針對(duì)中頻信號(hào)的特性提出了高頻率分辨率的要求。然后討論了AR模型參數(shù)的確定問題，我們采用了最小二乘法來(lái)確定AR參數(shù)，這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于它是直接應(yīng)用于數(shù)據(jù)而無(wú)需對(duì)自相關(guān)函數(shù)求解。同時(shí)，我們選用LMS算法來(lái)跟蹤濾波器的系數(shù)，以免于對(duì)每一個(gè)系數(shù)進(jìn)行單獨(dú)的計(jì)算。而AR模型的譜估計(jì)可以通過(guò)將參數(shù)代入到模型中來(lái)獲得。模擬結(jié)果顯示，基于模型的設(shè)計(jì)(MBD)與常規(guī)的限幅器/鑒頻器在各類環(huán)境中進(jìn)行比較后，總體上并無(wú)十分明顯的優(yōu)勢(shì)，只有當(dāng)載波頻率之差為1/2T時(shí)，MBD才會(huì)提供較好的性能提升。

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[1]Boualem Boashash, Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequencyof a Signal - Part 1: Fundamentals[J].Proceedings of the IEEE , 1992, 80(4) :2136-2138.

[2]Boualem Boashash, Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal - Part 2: Algorithms and Applications[J].Proceedings of the IEEE, 1992, 80(4):566-569.

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