趙高飛，孫小進，裴云天

（中國科學院 上海技術物理研究所，上海 200083）

0 引言

近幾十年來，伴隨著微電子技術和計算機技術的飛速發(fā)展，伺服系統(tǒng)得到了越來越廣泛的應用。如今它的應用已經(jīng)幾乎遍及了社會的各個領域。一般的伺服系統(tǒng)，都是由電子學系統(tǒng)和機械系統(tǒng)構成。電子學系統(tǒng)用于檢測、處理和放大信號，最后通過執(zhí)行機構如直流或交流電機帶動機械負載，實現(xiàn)給定的速度、位置和運動軌跡等的控制。在普通的應用場合，對電氣系統(tǒng)進行設計時，一般都將機械系統(tǒng)視為剛性系統(tǒng)，即認為機械系統(tǒng)的剛性無限大，可以精確實現(xiàn)電子學系統(tǒng)指定的任何運動。然而實際上任何機械系統(tǒng)，其剛度都是有限的。在一般對系統(tǒng)精度和響應速度要求不高的應用情況，對機械系統(tǒng)的這種近似處理是可行且合理的，對系統(tǒng)影響很小且可以大大簡化實際的工程問題。然而在一些高性能的應用場合如航天儀器掃描系統(tǒng)的運動控制，由于系統(tǒng)的控制精度以及快速響應等要求，機械系統(tǒng)的柔性不能忽略。為此，本文對簡化的電機-負載系統(tǒng)進行了研究，分析了機械系統(tǒng)柔性對伺服系統(tǒng)性能的影響。并針對實際問題，使用廣泛使用的多體分析軟件Adams對航天儀器掃描系統(tǒng)中的一根轉軸進行了剛柔混合分析，研究了其柔性所造成的影響。

1 抽象的簡化模型

為研究機械系統(tǒng)柔性的影響，考慮一個抽象的簡化模型，如圖1所示，電機通過一個扭簧帶動負載進行運動。電機的轉動慣量為JM，負載的轉動慣量為JL。扭簧的扭轉剛度為Ks，模擬了電機和負載之間機械系統(tǒng)的剛度，Ks越大，剛度越好；扭簧阻尼為Bs，用于模擬機械系統(tǒng)的阻尼，即電機和負載發(fā)生相對運動時所產(chǎn)生的正比于相對速度的粘滯力的作用。

圖1 抽象的簡化模型示意圖

使用控制領域廣泛應用的方框圖對該系統(tǒng)進行建模，得到其系統(tǒng)框圖如圖2所示[1]。

圖2 簡化模型的系統(tǒng)框圖

圖中AM，VM，PM分別代表電機的角加速度、角速度和角位移，AL，VL，PL分別代表負載的角加速度、角速度和角位移，TF為輸入力矩，TD為干擾力矩，S是頻域內(nèi)的復變量。

由此可計算出負載角位移輸出相對于電機輸入力矩的傳遞函數(shù)為[1,2]：

對于剛性系統(tǒng)，剛度Ks和阻尼Bs無限大，則(1)式的第二項為1，剩下的第一項即為剛性耦合項。由此，第二項為柔性耦合項，是因為機械系統(tǒng)具有有限的剛度和阻尼而引起的。

同樣，電機的角位移輸出相對于電機輸入力矩的傳遞函數(shù)為：

(2)式的第一項與(1)式的第一項相同，為剛性耦合項，第二項為柔性耦合項。

對式(1)、(2)兩式的第二項進行分析可以發(fā)現(xiàn)，當s--＞0即低頻狀態(tài)下，兩項均趨近于1，系統(tǒng)表現(xiàn)出剛性耦合的特點。因此對于響應性能要求不高即驅動頻率很低的應用場合，將機械系統(tǒng)簡化為剛性系統(tǒng)影響不大。

一般的二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)(輸出C比輸入R)的標準形式為[3]：

將(1)式按(3)式的格式改寫為：

同樣可以將(2)式按(3)式的格式改寫為：

在Adams中可以很容易地對這個系統(tǒng)進行仿真。如圖3所示建立這個簡化問題的多體動力學模型，其中右邊的小圓柱體代表電機，其轉動慣量取為10kg·mm2，左邊的大圓柱體代表負載，其轉動慣量取為100kg·mm2。電機通過一根扭簧驅動負載運動，扭簧的扭轉剛度為1000N·mm/rad，阻尼為1N·mm·sec/rad。根據(jù)(7)式，反共振頻率為100rad/s，即15.9Hz。共振頻率為331.7rad/s，即52.8Hz。

圖3 簡化問題的多體動力學模型

利用Adams的Vibration模塊進行仿真，在電機位置施加1～1000Hz的掃頻力矩激勵，并在電機和負載位置建立輸出通道，測量電機和負載的角位移的幅值和相位，得到傳遞函數(shù)曲線如圖4所示，在圖中可以測量出系統(tǒng)的反共振頻率為15.9Hz，共振頻率為52Hz，與理論計算值是非常一致的。

圖4 電機和負載的角位移相對于力矩輸入的傳遞函數(shù)

理論上如果機械系統(tǒng)是剛性的，則無論電機還是負載，其角位移輸出相對于力矩輸入的幅頻特性曲線都應該是一條以-40dB下降的曲線。但由于機械系統(tǒng)的柔性，由圖4的分析結果可以看到對于電機而言，在反共振頻率附近電機轉角開始明顯偏離-40dB直線，直到共振頻率之后才恢復正常。對負載而言在共振頻率附近負載轉角開始偏離-40dB直線，而在共振頻率點之后的很長一段頻率范圍，負載都與剛性連接的情形有較大的偏差，振動幅值下降并且存在一個相位延遲。

2 實際的機械系統(tǒng)

考慮一個更實際的模型，在某航天儀器中電機通過一根軸帶動掃描鏡進行轉動。由于儀器對掃描鏡的控制精度以及響應性能等要求很高，需要將轉軸的柔性考慮進去。為此，需要對軸進行柔性化處理。

在Adams中，復雜部件的柔性化一般是通過在其他有限元軟件(如Ansys，Nastran等)生成模態(tài)中性文件(MNF，Modal Neutral File)再導入到Adams軟件，通過模態(tài)疊加法來計算部件與其他部件作用時所產(chǎn)生的變形[4,5]。圖5是指向系統(tǒng)中的水平電機軸在Adams中的前幾階模態(tài)振形，由于在Natran中取了10階模態(tài)，而軸與其他部件作用的外節(jié)點有三個，因此在Adams中總共有34(6+10+3×6)階模態(tài)。

圖5 電機軸的模態(tài)圖

軸的柔性模型建立好之后，在Adams中加入電機和負載，并施加必要的約束，建立系統(tǒng)的剛柔混合動力學模型，如圖6所示。

圖6 實際軸傳動的多柔體動力學模型

圖中大的方塊代表負載，根據(jù)實際系統(tǒng)，其轉動慣量為1.48X106kg·mm2。負載通過固定鉸鏈固接到電機軸上；圓環(huán)代表電機轉子，其轉動慣量為140kg·mm2，也通過固定鉸鏈連接到電機軸上。整個電機軸在安裝軸承的位置通過一個轉動副連接到支架上。因此整個系統(tǒng)只有繞電機軸轉動的一個剛體自由度。在Adams中，利用Vibration模塊進行仿真，在電機位置施加10～20000Hz的掃頻驅動力矩。同時，在電機和負載位置，分別建立輸出通道，測量電機和負載位置的角位移幅值和相位，研究其隨驅動頻率的變化情況，得到傳遞函數(shù)的幅頻和相頻曲線如圖7所示。

圖7 10～20000Hz實際系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

仔細研究圖7中實際模型的幅頻和相頻曲線，可以發(fā)現(xiàn)在83Hz左右存在一個反共振頻率，電機的角位移傳遞函數(shù)明顯偏離-40dB直線，出現(xiàn)一個向下的尖峰；在5169.5Hz左右存在一個共振頻率，負載和電機的角位移傳遞函數(shù)幅值都出現(xiàn)一個向上的峰值。與圖4中簡化的抽象模型進行對比，可以發(fā)現(xiàn)圖7實際模型負載和電機的角位移傳遞函數(shù)曲線與抽象模型是非常類似的。這充分說明了抽象化的模型概括出了實際機械系統(tǒng)的本質。實際的機械系統(tǒng)，在控制環(huán)節(jié)上表現(xiàn)出來的就是一定的剛度和阻尼，從這個角度看它和一根具有一定剛度和阻尼的扭簧沒有本質上的區(qū)別。實際上，由于電機軸有很多模態(tài)，相當于其等效的“扭轉剛度”并非只有一個，如果繼續(xù)將掃頻的范圍擴大，我們可以發(fā)現(xiàn)，電機和負載的傳遞函數(shù)曲線上還將出現(xiàn)反共振和共振的峰值，如圖8所示。

圖8 10～200000Hz頻率范圍內(nèi)實際系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

3 反共振頻率的本質

由上面的分析我們可以看出，由于相對于負載的轉動慣量，電機自身的轉動慣量一般都很小，因此由(5)式和(7)式我們可以看出共振頻率一般都很高，遠遠高于反共振頻率，在低頻段，限制系統(tǒng)帶寬的主要是反共振頻率。

反共振頻率的產(chǎn)生實際上可以從系統(tǒng)內(nèi)部的能量交換的角度來理解。當我們保持驅動力矩的大小不變，只是改變驅動力矩的頻率時，我們發(fā)現(xiàn)在低頻段，即力矩方向非常緩慢時，電機還能非常精確而穩(wěn)定地通過傳動軸帶動負載進行運動。當頻率慢慢升高，電機的相位將慢慢滯后，振動的幅度也慢慢下降。到了反共振頻率段，電機角位移的相位從-180°變成了0°，幾乎與原來的相位完全相反了，振動幅度也達到最小。此時，驅動力矩的頻率處于這樣一個狀態(tài)，即雖然它實際是作用在電機上，但由于其頻率與機械系統(tǒng)的反共振頻率一致，它的能量轉換成電機動能的部分很少，大部分能量被柔性的傳動軸吸收并傳遞給了負載。

圖9 角位移激勵時負載和電機處的傳遞函數(shù)

反共振頻率的產(chǎn)生實際上也跟控制的輸入有關。如果控制的輸入量是電機處的力矩，則在反共振頻率點，會出現(xiàn)上述電機不動而負載運動的情況。如果控制的輸入量是電機的角位移，即控制電機的轉角按給定頻率做簡諧振動，則系統(tǒng)呈現(xiàn)的規(guī)律將截然不同。在Adams中將輸入激勵換成1～1000Hz的角位移激勵，同樣地測量負載處的角位移傳遞函數(shù)，如圖9所示。

由圖9的傳遞函數(shù)曲線可以看出，在低頻段負載還能與電機做同步運動。而到了在圖7的反共振頻率點(83Hz)，負載的角位移出現(xiàn)了一個峰值，產(chǎn)生了激振。負載轉角相對于電機的轉角放大了幾十倍，具體的放大倍數(shù)與電機軸的阻尼有關，阻尼越小，轉角放大得越厲害。由此可見，反共振頻率就是開環(huán)控制時的共振頻率。對于開環(huán)系統(tǒng)，在沒有使用傳感器測量負載的角度進而通過負載角度對電機進行負反饋控制時，共振的情況是有可能發(fā)生的，這是設計系統(tǒng)時需要注意和考慮的。

4 結論

本文先分析了一個簡化的抽象模型，通過建立框圖進行理論分析并在多體分析軟件Adams中進行建模，研究了機械系統(tǒng)存在柔性時傳遞函數(shù)的特性，得到了力矩激勵時共振和反共振頻率的表達式。然后通過在Adams中對實際航天儀器中的一根傳動軸進行多柔體動力學分析，研究了實際機械系統(tǒng)的柔性對輸入輸出的影響，得到了其共振和反共振頻率，證明理論分析的正確性。通過改變輸入的激勵方式，分析指出了力矩輸入時的反共振頻率就是開環(huán)控制系統(tǒng)的共振頻率。對于開環(huán)系統(tǒng)，在該共振頻率點，負載將產(chǎn)生激振，失去控制。在實際的伺服系統(tǒng)設計時，需要充分考慮機械系統(tǒng)的柔性所帶來的影響。

[1] George Ellis, Robert D.Lorenz.Resonant Load Control Methods for Industrial Servo Drives[J].IEEE Industry Applications Society Annual Meeting.2000.10.

[2] 吳恒.基于SOPC的高精度掃描控制技術研究[D].中科院上海技術物理研究所.2009: 46-50

[3] 竺長安, 張屹.控制理論與機械系統(tǒng)控制[M].高等教育出版社.2003: 36-40

[4] 李增剛.Adams入門詳解與實例[M].國防工業(yè)出版社.2006: 125-154

[5] Adams-Online Help & Adams-Release Notes