楊 清

（揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002）

在復(fù)分析中，有關(guān)解析函數(shù)的性質(zhì)和微分從屬的研究已經(jīng)取得了許多重要結(jié)果．例如：劉金林［1］，施冬芳［2］等分別對(duì)含有某些積分算子和Noor積分算子的解析函數(shù)進(jìn)行了深刻闡述；ALI［3］，MILLER［4］等得到了微分從屬的一些性質(zhì)和定理．近年來(lái)，越來(lái)越多的學(xué)者致力于研究微分從屬的對(duì)偶問(wèn)題，由此得出某些特定的解析函數(shù)具有保持微分從屬和微分超屬的性質(zhì)，從而得到sandwich－type定理．例如：BULBOACǎ［5－6］給出了微分超屬的若干結(jié)論；ALI［7］，AOUF［8］等分別論證了含有乘數(shù)變換的解析函數(shù)和含有某些高階線性算子的p 葉函數(shù)具有保持微分從屬和微分超屬的性質(zhì)；SHANMUGAM 等［9］提出了含有Dziok－Srivastava算子的解析函數(shù)也具有此性質(zhì)，從而得到Dziok－Srivastava算子的sandwich－type定理．本文在前人工作的基礎(chǔ)上，筆者擬重新定義一類積分算子，記為I，通過(guò)研究I具有保持某一類解析函數(shù)從屬和超屬的性質(zhì)，得到I的sandwich－type定理．

1 預(yù)備知識(shí)和相關(guān)引理

本文中H 表示定義在單位圓U＝｛z∈C：｜z｜＜1｝內(nèi)的全體解析函數(shù)．對(duì)于任意a∈C，H［a，n］為H 的子類，為H［a，p］的子類，Ap＝｛f∈H：f（z）＝zp＋ap＋1zp＋1＋…｝．對(duì)于任意f∈Ap，定義一類積分算子，記為I，

定義1［8］629上單葉解析｝，這里且滿足

定義2［10］919設(shè)φ：C2→C 和h 是單葉函數(shù)．如果p 是解析函數(shù)并且滿足微分從屬φ（p（z），zp′（z））?h（z），那么p 稱為該微分從屬的一個(gè)解．

定義3［10］919設(shè)φ：C2→C和h是解析函數(shù)．如果p 和φ（p（z），zp′（z））是單葉函數(shù)并且滿足微分超屬h（z）?φ（p（z），zp′（z）），那么p 稱為該微分超屬的一個(gè)解．

定義4L（z，t）是定義在U×［0，∞）上的函數(shù)，如果對(duì)所有的t∈［0，∞），L（·，t）在U 上單葉解析，對(duì)所有的z∈U，L（z，·）在［0，∞）上連續(xù)可微且L（z，s）?L（z，t）（0≤s＜t），那么L（z，t）稱為定義在U×［0，∞）上的從屬鏈．

引理1［11］431假設(shè)函數(shù)h：C2→C滿足條件Re｛h（i s，t）｝≤0，其中s∈R，t≤－n（1＋s2）／2，n是正整數(shù)．若函數(shù)p（z）＝1＋pnzn＋…在U 內(nèi)解析，并且滿足Re｛h（p（z），zp′（z））｝＞0（z∈U），則有Re｛p（z）｝＞0．

引理2［11］431設(shè)β，γ∈C且β≠0；h∈H，h（0）＝c．若Re｛βh（z）＋γ｝＞0（z∈U），則q（z）＋zq′（z）／［βq（z）＋γ］＝h（z）的解q（q（0）＝c）解析并且滿足Re｛βq（z）＋γ｝＞0（z∈U）．

引理3［11］432L（z，t）＝a1（t）z＋…，a1（t）≠0（limt→∞｜a1（t）｜＝∞）是 從 屬 鏈 當(dāng) 且 僅 當(dāng)

引理4［11］432q∈H［a，1］，設(shè)φ：C2→C，且有φ（q（z），zq′（z））＝h（z）．若L（z，t）＝φ（q（z），tzq′（z））是一個(gè)從屬鏈且p∈H［a，1］∩Q，則h（z）?φ（p（z），zp′（z））表明q（z）?p（z）．

在試驗(yàn)示范的跟蹤過(guò)程中，云天化產(chǎn)品示范田的桃長(zhǎng)勢(shì)旺盛，中期表現(xiàn)出掛果多，果實(shí)品相好，桃樹枝干健壯；采收期桃色澤好，果形均勻，畸形果少，口感佳。示范田施用肥料總量75kg、對(duì)照田肥料總量115kg。示范田少用40kg肥料投入的成本按照市場(chǎng)價(jià)格結(jié)算，示范田500元、對(duì)照田600元，化肥投入成本同比下降100元。,示范田畝增產(chǎn) 240kg，畝增收415.6元，給農(nóng)戶帶來(lái)的一定的經(jīng)濟(jì)效益。通過(guò)試驗(yàn)示范，云天化四全水溶系列、鎂立硼系列肥料得到了種植戶的認(rèn)可。

引理5［10］921設(shè)p∈Q，p（0）＝a，q（z）＝a＋anzn＋…在U 內(nèi)解析并且q（z）≠a，n≥1．若q不從屬于p，則存在這里使得

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)f，g∈Ap．假設(shè)

對(duì)G（z）取對(duì)數(shù)后求導(dǎo)，得

由（4），（5）式得

由（2）式可得Re｛h（z）＋βp＋γ－1｝＞0（z∈U）．利用引理2，可知微分方程（6）有一個(gè)解q∈H，q（0）＝h（0）＝1．設(shè)

然后證明Re｛H（i s，t）｝≤0，s∈R，t≤－（1＋s2）／2．由（7）式有

因?yàn)镋ρ（s）中s2的系數(shù)大于等于0，而且可以驗(yàn)證Eρ（s）是關(guān)于s的完全平方，因此Re｛H（i s，t）｝≤0利用引理1，有Re｛q（z）｝＞0，即G（z）是凸單葉的．

最后證明F（z）?G（z）．不失一般性，可以假設(shè)G 在ˉU 上是單葉解析函數(shù)，并且

利用引理5，可知L（z，t）是從屬鏈．由從屬鏈的定義可知現(xiàn)假設(shè)F 不從屬于G，利用引理5，存在點(diǎn)滿足因此，此結(jié)論與矛盾．定理1得證．

定理2設(shè)f，g∈Ap．假設(shè)

結(jié)合定理1和定理2可以得到以下sandwich－type定理．

定理3設(shè)f，gk∈Ap（k＝1，2）．假設(shè)滿足

［1］ LIU Jinlin，OWA S．Properties of certain integral operator［J］．Int J Math Math Sci，2004，3（1）：351－359．

［2］ 施冬芳，魯大前，王敏．由Noor積分算子定義的解析函數(shù)的性質(zhì)［J］．揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，11（1）：1－4．

［3］ ALI R M，NAGPAL S，RAVICHANDRAN V．Second－order differential subordination for analytic functions with fixed initial coefficient［J］．Bull Malays Math Sci Soc，2011，34（3）：611－629．

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