李 朕，王 晶，徐 玲

（揚州大學 數(shù)學科學學院，江蘇 揚州225002）

近年來，關于含有脈沖行為的神經網絡的研究已引起國內外學者的廣泛關注，而各種含有脈沖的神經網絡動力學行為如同步性、穩(wěn)定性等也是人們探討的熱門課題［1－3］．神經網絡在信號傳輸中一般會產生時滯并受到其他隨機波動而引起噪聲，所以真實的神經網絡應該是一個隨機的動力系統(tǒng)［4－5］．然而，目前大多數(shù)對脈沖神經系統(tǒng)聚類同步的研究都集中于確定性系統(tǒng)，而有關隨機脈沖網絡的聚類同步研究報道較少［6－8］．在本文中，筆者擬討論具有分布時滯及擾動的隨機脈沖神經網絡的指數(shù)聚類同步問題．文中Rn表示n 維歐式空間，Rn×m表示所有n×m 實矩陣構成的集合；對于實對稱矩陣X 和Y，X≥Y（X＞Y）表示X－Y 是半正定的（正定的）；In是所有n 階單位矩陣；｜·｜表示Rn中的歐式向量范數(shù)；E｛·｝表示數(shù)學期望算子；?為Kronecker積運算符；若A 是一個矩陣，則其中λmax（ATA）表示矩陣ATA 的譜半徑．用‖A‖表示它的算子范數(shù)，

1 問題的提出

考慮在脈沖發(fā)生情況下同時具有混合時滯的隨機神經網絡系統(tǒng)：

輸出：

其中xi＝（xi1（t），xi2（t），…，xin（t））T∈Rn是神經網絡的狀態(tài)向量；A＝－diag｛a1，…，an｝且ai＞0；B，C，D 分別表示連接權矩陣、時滯連接權矩陣、內連接矩陣；G＝（Gij）N×N是網絡的耦合矩陣；常數(shù)μk表示脈沖擾動強度；τ1（t）為時變的離散時滯，滿足0≤τ1（t）≤τ＊1；τ2＞0為分布時滯；υi（t）∈L2［0，＋∞］是輸入擾動；w（t）＝［w1（t），…，wn（t）］T是定義在完備概率空間（Ω，F(xiàn)，｛Ft｝t≥0，P）上具有自然濾波｛Ft｝t≥0的n維Brownian運動；f（xi（t））＝［f1（xi1（t）），…，fn（xin（t））］T和g（xi（t））＝［g1（xi1（t）），…，gn（xin（t））］T是單調遞增的函數(shù)；F 是輸入矩陣；U 為輸出矩陣．

注1序列｛t1，t2，t3，…｝是一列嚴格增的離散脈沖時刻，xi（t）是左連續(xù)，即x（tk）＝x（t－k）；這樣，系統(tǒng)（1）的解是一系列分段的左連續(xù)函數(shù)，其中不連續(xù)點為t＝tk，k∈N．初始函數(shù)為xi（s）＝φi（s），s∈［t0－τ1，t0］，i＝1，…，N，其中φi（·）＝［φi1（·），…，φiN（·）］T∈C（［t0－τ1，t0］，Rn）．

為了簡化研究，同時又不失一般性，現(xiàn)給出如下假設．

假設1?a，b∈R（a≠b），?ls＞0，ks＞0（s＝1，2，…，n），使得函數(shù)fs（x（t））和gs（x（t））滿足0≤（fs（a）－fs（b））／（a－b）≤ls，0≤（gs（a）－gs（b））／（a－b）≤ks．

假設2耦合矩陣其中Nij的所有行都相同，Nii∈Rmi×mi，Nij∈Rmi×mj，i，j＝1，2，…，k，如Nij＝（u，…，u）T，向量u＝（u1，…，umj）T．

假設3對于函數(shù)σ：R＋×Rn×Rn→Rn，存在常數(shù)ρ1＞0和ρ2＞0，滿足σT（t，x，y）σ（t，x，y）≤ρ1xTx＋ρ2yTy．

2 預備知識

定義1 當υi（t）＝0時，如果存在β＞0，T＞0，M0＞0，將網絡中的N 個節(jié)點分成k 個聚類，如｛（1，2，…，m1），（m1＋1，m1＋2，…，m1＋m2），…，（m1＋m2＋…＋mk－1＋1，…，m1＋m2＋…＋mk－1＋mk），m1＋m2＋…＋mk＝N｝，使得當t＞T 時都有E‖ξi（t；s）－ξj（t；s）‖≤M0e－βtsup－τ≤s≤0E‖ξi（s）－ξj（s）‖（其中ξi，ξj在同一聚類中），則系統(tǒng)（1）稱為全局指數(shù)聚類同步，β為系統(tǒng)的衰減率，M0為系統(tǒng)的衰減系數(shù)．

定義2當υ（t）＝0時，系統(tǒng)（1）全局指數(shù)聚類同步，并在系統(tǒng)（1）的初始函數(shù)恒為0時，有

則稱系統(tǒng)（1）為帶有衰減水平γ的指數(shù)聚類同步，其中?T＞0，υi（t）為非零輸入擾動．

注2本文中的定義1與定義2是對文獻［7］3中定義3與定義4在隨機系統(tǒng)中的推廣．

引理1［9］336在假設2成立的前提下，N－k階方陣~H 滿足~MG＝~H~M，其中

注3矩陣Mi和Ji的含義見文獻［9］336和文獻［10］．

引理2［11］設向量函數(shù)ω：［0，r］→Rm，對于任意的對稱矩陣W∈Rm×m和標量r＞0，有

3 主要結論及其證明

利用Kronecker積的性質，定義＾M＝~M?In，可以將系統(tǒng)（1）重寫為

為了證明主要結論，須要定義A1＝IN－k?A，B1＝IN－k?B，C1＝IN－k?C，D1＝IN－k?D，F(xiàn)1＝

定理1稱滿足假設1～3的系統(tǒng)（3）是帶有衰減水平γ的指數(shù)聚類同步的．如果存在3個正定矩陣，Pi＞0，Pi∈R（N－k）n×（N－k）n（i＝1，2，3），2 個 正 定 對 角 矩 陣Λ ＝diag｛Λ1，…，Λ（N－k）n｝∈R（N－k）n×（N－k）n和Γ＝diag｛Γ1，…，Γ（N－k）n｝∈R（N－k）n×（N－k）n，使得－2≤μk≤0，β＞0，并有下列LMIs成立：

其中Θ＝βP1＋P1A1＋A1TP1＋P1＾H＋＾HTP1＋（1－e－βτ2）β－1P3＋＾LΛ＾L＋＾KΓ＾K＋U1TU1＋［ρ1＋ρ2（1－τ0）－1］λ＊I，λ＊＞λmax（P1），U1＝IN－k?U，τ1（t）為滿足系統(tǒng)（1）的時變離散時滯，0≤τ1（t）≤τ＊1，由引理1定義．

證明 首先，證明在υ（t）＝0情況下隨機的脈沖神經網絡系統(tǒng)（3）是指數(shù)聚類同步的．由（5）式可知Δ＜0，所以有

當t≠tk（k∈N）時，根據(jù)廣義It?公式可得

由假設1、假設3和引理3經過簡單計算不難得到LV（t）＋βV（t）≤ηTˉΔη，因此

進一步地，當－2≤μk≤0，β＞0時，由不等式方程（9）有

另一方面，由于xi（t＋k）－xi（t－k）＝μkxi（tk），通過計算可得V（t＋k）≤V（t－k），所以

設0＝t0＜t1＜…＜tk＜…（k∈N）表示在區(qū)間（0，t）內的脈沖發(fā)生時刻，則由不等式方程（10）與（11）式可知

令M0＝εδ－1，由定義1可知，當υ（t）＝0時，系統(tǒng)（3）全局指數(shù)聚類同步．

其次，考慮在包含擾動υ 的情況下系統(tǒng)（3）是帶有衰減水平的指數(shù)聚類同步的．令顯然ψ（x）＜0，即Eψ（x）＜0，故，于是可得

根據(jù)定義1和定義2，可以得到系統(tǒng)（3）是帶有衰減水平的指數(shù)聚類同步的．

4 數(shù)值例子

現(xiàn)通過一個簡單的例子來說明上述結果．考慮在兩個細胞的神經網絡（1）中，參數(shù)選取如下：

D＝I2，τ0＝τ2＝0．2，ρ1＝0．4，ρ2＝4，γ＝4，β＝0．6，f（x）＝g（x）＝0．1｜sin x｜，顯然可得li＝ki＝0．1，故利用Matlab軟件中的LMI得到可行解．

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