胡 宏，朱 彥

（1．徐州工程學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 徐州221008；2．安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥230039）

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分學(xué)理論及其應(yīng)用發(fā)展迅猛［1－4］，而分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)也吸引了諸多學(xué)者的關(guān)注［3－10］．實(shí)際控制系統(tǒng)中普遍存在時(shí)滯現(xiàn)象，而時(shí)滯往往會(huì)導(dǎo)致控制系統(tǒng)性能的完全改變，因此時(shí)滯系統(tǒng)的控制一直是研究的熱點(diǎn)問(wèn)題［3－5］．BALACHANDRAN［4］曾研究了一類帶分布型時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的能控性；最近，GUO［3］又討論了脈沖分?jǐn)?shù)階時(shí)變系統(tǒng)的能控性．本文在上述研究的基礎(chǔ)上，擬探討帶分布型時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階脈沖控制系統(tǒng)的能控性問(wèn)題．考慮下列帶分布型時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階脈沖控制系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為

其中0＜α＜1，CDα是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Caputo型微分（具體定義將在下文中給出），狀態(tài)x∈Rn，第2項(xiàng)積分是關(guān)于τ的Lebesgue－Stieltjes積分．給定h＞0，對(duì)于函數(shù)u：［－h(huán)，T］→Rm及t∈J，用ut表示［－h(huán)，0］上的一個(gè)函數(shù)，且定義為ut（s）＝u（t＋s），s∈［－h(huán)，0）．A 為n×n矩陣，B（t，τ）是n×m 維矩陣且滿足以下3個(gè)條件：①對(duì)于固定的τ，其每一項(xiàng)關(guān)于t是連續(xù)的；②對(duì)于每一個(gè)t∈J，它在［－h(huán)，0］上關(guān)于τ是有界變差的；③它在（－h(huán)，0）上關(guān)于τ是左連續(xù)的．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1］79函數(shù)f：［0，＋∞）→R 的γ ＞0 階Riemann－Liouville分?jǐn)?shù)階積分為Iγ0＋f（t）＝其中Γ（·）為gamma函數(shù)，右邊是在［0，∞）上逐點(diǎn)定義的．

定義2［1］80函數(shù)f：［0，＋∞）→R 的γ＞0階Riemann－Liouville分?jǐn)?shù)階微分為

定義3［1］91函數(shù)f：［0，＋∞）→R 的γ＞0階Caputo分?jǐn)?shù)階微分為

注11）若f（t）∈Cn［0，∞），則C

2）常數(shù)的Caputo導(dǎo)數(shù)恒為0．

定義4［1］42含兩參數(shù)的Mittag－Leffler函數(shù)定義為其中α＞0，β＞0，C表示復(fù)數(shù)域．

注21）當(dāng)β＝1時(shí)，

2）當(dāng)β ＝1 時(shí)，上 述 提 及 的Mittag－Leffler 函 數(shù) 的 矩 陣 拓 展 形 式 可 表 示 為Eα（Atα）＝

根據(jù)文獻(xiàn)［2－4］，可以得到方程（1）的解為

2 主要結(jié)論

定義5稱系統(tǒng)（1）在［0，tf］（tf∈（0，T］）上為狀態(tài)能控，是指給定任意兩個(gè)狀態(tài)x0，xtf∈Rn，存在一個(gè)控制u（t）：［0，tf］→Rm，使得（1）的解滿足x（tf）＝xtf．

為方便起見，現(xiàn)引入如下記號(hào)：

定理1系統(tǒng)（1）在［0，tf］上能控的充分必要條件是：存在時(shí)刻tf＞0，使如下定義的格拉姆矩陣為非奇異．

證明 先證充分性．已知Wc［0，tf］非奇異，須證系統(tǒng)能控．采用構(gòu)造性方法，由Wc［0，tf］非奇異，可知存在對(duì)狀態(tài)空間中的任一非零狀態(tài)x0，可構(gòu)造相應(yīng)控制輸入為

使得u（t）作用下狀態(tài)x（t）在時(shí)刻tf的結(jié)果為

因此，當(dāng)tf∈［0，t1］時(shí)，系統(tǒng)（1）在［0，tf］上能控．

使得u（t）作用下狀態(tài)x（t）在時(shí)刻tf的結(jié)果為

因此，當(dāng)tf∈（t1，t2］時(shí)，系統(tǒng)（1）在［0，tf］上能控．更一般地，使得u（t）作用下狀態(tài)x（t）在時(shí)刻tf的結(jié)果為

這表明系統(tǒng)（1）在［0，tf］上能控．

再證必要性．已知系統(tǒng)（1）能控，須證Wc［0，tf］非奇異．采用反證法，反設(shè)Wc［0，tf］奇異，不失一般性，?tf∈（ti，ti＋1］，存在一個(gè)非零狀態(tài)y，使得yTWc［0，tf］y ＝0，即s）yds＝0，于是yTG（tf，s）＝0，s∈［0，tf］．取

3 舉例

考慮下面的分布型時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階脈沖線性控制系統(tǒng)：

從而有

其中

通過(guò)簡(jiǎn)單的矩陣計(jì)算，對(duì)tf＞0，有

是非奇異的；因此，由定理1知，系統(tǒng)（2）在［0，tf］上可控．

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