徐小平，毋緒道，王杰瑛，董琪翔＊

（1．揚州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚州225002；2．南通職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，江蘇 南通226007；3．焦作師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系，河南 焦作454001）

分?jǐn)?shù)階微積分是經(jīng)典整數(shù)階微積分的推廣．由于分?jǐn)?shù)階微積分非常適用于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過程，因此分?jǐn)?shù)階微分方程越來越多地被用來描述光學(xué)、熱學(xué)系統(tǒng)，流變學(xué)、材料和力學(xué)系統(tǒng)，信號處理和系統(tǒng)辨識，控制和機器人及其他應(yīng)用領(lǐng)域中的問題［1－3］．有關(guān)時滯型微分方程的研究始于20世紀(jì)70年代，由于這類方程能更真實地反映客觀變化過程，故近年來受到諸多學(xué)者的關(guān)注，而且有了較豐富的研究成果［4－8］．

設(shè)X 為一個Banach空間，考慮分?jǐn)?shù)階無窮時滯微分方程

其中Dα為Riemann－Liouville 導(dǎo)數(shù)，0＜α＜1，f：［0，T］×B→X 為已知函數(shù)，B 為相空間，yt：（－∞，0］→X 定義為yt（θ）＝y(tǒng)（t＋θ），θ∈（－∞，0］．BENCHOHRA 等［9］在實數(shù)域R 中討論了方程（1）～（2），研究了當(dāng)f 連續(xù)且滿足次線性增長等條件時方程解的存在性．在本文中，筆者擬在Banach空間X 中利用非緊測度理論、Darbo不動點定理等討論方程（1）～（2）解的存在性，以改進(jìn)和推廣已有的相關(guān)結(jié)論．

1 預(yù)備知識

設(shè)X 為一個Banach空間，并賦予其通常意義下的范數(shù)‖·‖，C（［a，b］；X）表示定義在區(qū)間［a，b］，取值于X 的連續(xù)函數(shù)全體按范數(shù)‖x‖＝sup｛｜x（s）｜：s∈［a，b］｝構(gòu)成的Banach空間．

定義1［10］由（－∞，0］到X 的一些函數(shù)構(gòu)成的集合B 賦予半范數(shù)‖·‖B，稱為一個相空間，并滿足下列公理：

A1：若y：（－∞，T］→X，T＞0，使得y0∈B，y｜［0，T］連續(xù)，則?t∈［0，T］，有（i）yt∈B；（ii）‖yt‖B≤K（t）sup｛｜y（s）｜：0≤s≤t｝＋M（t）‖y0‖B；（iii）｜y（t）｜≤H‖yt‖B，其中H≥0為常數(shù)，K，M：［0，＋∞）→［0，＋∞），K 連續(xù)，M 局部有界，H，K，M 均獨立于y（·）；

A2：對A1中的函數(shù)y（·），映射t∈［0，T］→yt連續(xù)；

A3：空間B完備．

定義2［3］13設(shè)定義算子為稱為函數(shù)h的α階（分?jǐn)?shù)階）積分，也稱Iαa為分?jǐn)?shù)階積分算子，其中Γ（·）為gamma函數(shù)，即

關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義有多種形式，采用較多的是下面的Caputo定義和Riemann－Liouville定義．

定義3［3］27，501）（Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)）設(shè)h：［a，b］→R，α＞0，n＝［α］＋1，n－1＜α＜n，定義稱上式為h在t點的α階Caputo（分?jǐn)?shù)階）導(dǎo)數(shù)，也稱CDαa＋h（t）為Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子．

2）（Riemann－Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)）設(shè)h：［a，b］→R，α＞0，n＝［α］＋1，n－1＜α＜n，定義稱上式為h在t點的α階Riemann－Liouville（分?jǐn)?shù)階）導(dǎo)數(shù)，也稱RDαa＋h（t）為Riemann－Liouville分?jǐn)?shù)階微分算子．

當(dāng)α為正整數(shù)時，CDαa＋h（t）和RDαa＋h（t）即為整數(shù)階導(dǎo)數(shù)h（α）（t），顯然Riemann－Liouville微分算子對常數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)不一定為0，而Caputo 微分算子對常數(shù)的導(dǎo)數(shù)都為0，但是Riemann－Liouville導(dǎo)數(shù)與Caputo導(dǎo)數(shù)在起始點a處的情形是不一樣的，因此在具體問題中應(yīng)根據(jù)實際情況來選擇．為方便起見，以下用Dα表示Riemann－Liouville微分算子RDα0．

定義4［11］6設(shè)Y 是實Banach空間，B 是Y 中的有界子集，令χY（B）＝inf｛ε＞0；B 在Y 中被有限個半徑不小于ε的球所覆蓋｝，稱χY（B）為B 在Y 中的Hausdorff非緊性測度．

定義5［11］15設(shè)Y 是一實Banach空間，映射Q：W ?Y →Y 連續(xù)有界．若存在正常數(shù)k＜1，使得對任意有界集C ?W，都滿足χY（QC）≤kχY（C），則稱Q 是W 上的嚴(yán)格集壓縮映射．

引理1［11］9－14設(shè)Y，Z 是Banach空間，B，C 是Y 中的有界集，λ是一實數(shù)，則

1）χY（B）＝0?B 是相對緊集；

2）χY（B）＝χY（ˉB）＝χY（conv B），ˉB 和conv B 分別為B 的閉包和凸包；

3）B ?C?χY（B）≤χY（C）；

4）χY（B＋C）≤χY（B）＋χY（C），其中B＋C ＝｛x＋y：x ∈B，y ∈C｝；

5）χY（B∪C）≤max｛χY（B），χY（C）｝；

6）χY（λB）＝｜λ｜χY（B），其中λ∈R，λB ＝｛x ＝λz：z∈B｝；

7）若映射Q：D（Q）?Y →Z 是Lipschitz連續(xù)的，且Lipschitz常數(shù)為k，則對任意有界集B ?D（Q），有χZ（QB）≤kχY（B）．

引理2［11］60，69若W ?C（［a，b］；X）有界，則對任意的t∈［a，b］，有χ（W（t））≤χC（W），其中W（t）＝｛y（t）：y ∈W｝?X；進(jìn)一步地，若W 還等度連續(xù)，則χ（W（t））在［a，b］上連續(xù)，χC（W）＝sup｛χ（W（t））：t∈［a，b］｝，且

定理1［11］17（Darbo不動點定理） 設(shè)Y 為Banach空間，映射Γ：Y →Y 連續(xù)．若Γ是嚴(yán)格集壓縮映射，且存在有界閉凸集W ?Y，使得ΓW ?W，則Γ 在W 上有不動點．

2 主要結(jié)果

定義6 設(shè)函數(shù)u：（－∞，T］→X，如果u｜（－∞，0］＝φ，u｜［0，T］連續(xù)，且對t∈［0，T］，u（·）滿足積分方程則稱u為方程（1）～（2）的一個mild解．

以下設(shè)1＜p＜1／（1－α），1／p＋1／q＝1，記KT＝sup｛K（t）：t∈［0，T］｝，MT＝sup｛M（t）：t∈［0，T］｝，a＝［（α－1）p＋1］／p，b＝［（α－1）p＋1］1／p，并假設(shè)以下條件成立．

H1：f：［0，T］×B→X 滿足Caratheodory條件，即對任意的y∈B，f（·，y）：［0，T］→X 可測且f（·，y）∈Lq（［0，T］；X），對幾乎所有的t∈［0，T］，f（t，·）：B→X 連續(xù)；

H2：存在函數(shù)h∈Lq（［0，T］；R＋），連續(xù)非減函數(shù)Ω：［0，＋∞）→［0，＋∞），使得‖f（t，v）‖ ≤h（t）Ω（‖v‖B），t∈［0，T］，v∈B；H3：存 在 函 數(shù)η ∈Lq（［0，T］；R＋），使 得 對 任 何 有 界 集D ?B，χ（f（t，D））≤η（t）·sup－∞＜θ≤0χ（D（θ）），其中D（θ）＝｛u（θ）：u∈D｝；

定理2若條件H1～H4滿足，則對任意φ∈B，φ（0）＝0，方程（1）～（2）至少有一個mild解．

容易證明若P 有不動點u，令y（t）＝x（t）＋u（t），t∈（－∞，T］，則y即為方程（1）～（2）的一個適度解．下面分4步進(jìn)行證明．

第1步：證明P 在C0上是連續(xù)的．設(shè)｛un｝?C0，u∈C0，使得在C0中un→u（n→∞），則對任意t∈［0，T］，有

由公理A1可知，對任意s∈［0，t］?［0，T］，有

因此，由條件H1知，對a．e．s∈［0，T］，有‖f（s，xs＋uns）－f（s，xs＋us）‖ →0，n→∞；從而由控制收斂定理知，?t∈［0，T］，有再對t取上確界，即得Pun→Pu（n→∞）；因此，P 在C0上是連續(xù)的．

第2步：證明?r＞0，使得PBr?Br．由條件H4知因此存在r＞0，使得作則對任意u∈Br，s∈［0，T］，有

所以，由條件H2，H?lder不等式以及（3）式可得

再對t∈［0，T］取上確界，即得Pu ∈Br，因此PBr?Br．

第3步：證明對有界集B ?C0，PB 為等度連續(xù)集．由于B 有界，故存在r＞0，使得?u∈B，‖u‖C0≤r．任取t1，t2∈［0，T］，可設(shè)t1＜t2，由H2，H?lder不等式及（3）式可得

當(dāng)t2－t1→0時，‖（Pu）（t2）－（Pu）（t1）‖ →0．由此可知PB 等度連續(xù)．

第4步：證明P 在PBr上嚴(yán)格集壓縮．?B ?PBr，B 等度連續(xù)，由H3可得

由此可知，據(jù)Darbo不動點定理（定理1），P 在C0上有不動點，記此不動點為u，則y＝x＋u即為方程（1）～（2）的適度解．由H4知

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