曾英俊，楊敏，孫 慶

（1.同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092；3.中國(guó)建筑第三工程局有限公司技術(shù)中心，湖北 武漢430064）

圓孔擴(kuò)張理論經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展已經(jīng)成為解決巖土工程領(lǐng)域問(wèn)題的一種有效方法，并且已經(jīng)成功應(yīng)用到土體原位測(cè)試和打樁工程中.另一方面孔卸載方法已經(jīng)被用來(lái)預(yù)測(cè)隧道周圍土體和巖體的性質(zhì)，圓柱孔卸載方法已經(jīng)用于隧道支護(hù)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中[1].

粘土中的隧道施工速度較快，周圍土體性質(zhì)可認(rèn)為是不排水的.過(guò)去不排水條件下的隧道開(kāi)挖是基于線彈性－完全塑性的Tresca模型的總應(yīng)力分析方法[2]，但是該方法不能考慮土體的應(yīng)力歷史、土體的剛度變化以及應(yīng)變軟化和硬化的影響.對(duì)于不排水問(wèn)題可以基于臨界狀態(tài)土力學(xué)模型利用有效應(yīng)力分析方法進(jìn)行更加準(zhǔn)確的計(jì)算，Randolph等[3]利用這種方法預(yù)測(cè)了打入樁周圍土體的性質(zhì)，但是研究中必須要利用有限元方法.Collins等[4]利用臨界狀態(tài)土力學(xué)理論發(fā)展了孔擴(kuò)張的解析解法，并已成功應(yīng)用于正常固結(jié)土和超固結(jié)土中擠土樁周圍土體性質(zhì)的分析中.Yu等[5]基于臨界狀態(tài)土力學(xué)模型給出了柱孔收縮的彈塑性解，并進(jìn)行了參數(shù)分析，但是所得結(jié)果不是解析解，需要借助于數(shù)值計(jì)算，不便于工程應(yīng)用.

綜上所述，用柱孔收縮理論分析隧道開(kāi)挖的研究相對(duì)較少，即便得到的一些有益結(jié)論也需要借助有限元或者數(shù)值計(jì)算，不便于工程應(yīng)用.本文的主要目的是基于Yu[5]的柱孔收縮的推導(dǎo)方法，引入“破壞區(qū)”的概念，用大應(yīng)變理論得到土體柱孔卸載的彈塑性解析解，并結(jié)合土體瞬時(shí)沉降的理論得到隧道支護(hù)壓力和地表最大沉降量之間的關(guān)系.

1 問(wèn)題的定義

根據(jù) Mair和Taylor的建議[6]，隧道開(kāi)挖問(wèn)題的分析可簡(jiǎn)化成如圖1所示，圖中D為隧道直徑.假設(shè)隧道的推進(jìn)如圖1a所示，隧道開(kāi)挖面之后可以有襯砌；隧道開(kāi)挖施工可以由球孔卸載（圖1b）或者柱孔卸載（圖1c）模擬.本文采用圓柱孔卸載模擬隧道開(kāi)挖過(guò)程.

圖1 隧道推進(jìn)簡(jiǎn)化圖Fig.1 Idealization of a tunnel heading

初始狀態(tài)時(shí)將原位應(yīng)力施加于孔壁，隧道開(kāi)挖的模擬通過(guò)逐漸減小孔壓來(lái)實(shí)現(xiàn)，孔壓從原位應(yīng)力逐漸減小到作用于襯砌上的壓力（有襯砌隧道）或減小到0（無(wú)襯砌隧道）.

為了分析問(wèn)題方便，假設(shè)土體初始應(yīng)力狀態(tài)是各向同性的，并且將圓孔周圍土體分為三個(gè)區(qū)域：彈性區(qū)、塑性區(qū)及破壞區(qū)（圖2）.圖2中，a0為圓孔的初始半徑；rp為塑性區(qū)的半徑，rl為破壞區(qū)半徑，在rl＜r＜rp范圍內(nèi)為塑性區(qū)，rl以內(nèi)的范圍為破壞區(qū)，rp以外的土體仍處于彈性狀態(tài)；p0為作用在無(wú)限遠(yuǎn)處的靜止土壓力，p為孔內(nèi)壓力；σr、σθ分別軸向和徑向應(yīng)力.

圖2 縮孔問(wèn)題分析示意圖Fig.2 Contraction of cylinder cavity

2 Yu彈塑性解的推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)介

首先，簡(jiǎn)要介紹一下Yu彈塑性解的推導(dǎo)過(guò)程，并基于此對(duì)其中部分參數(shù)重新定義，對(duì)其結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)化，進(jìn)而得到柱孔收縮的彈塑性解析解.限于篇幅，僅對(duì)其中主要的步驟進(jìn)行介紹，詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[5].

2.1 孔卸載的運(yùn)動(dòng)方程

由Yu的孔卸載運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)可知：

對(duì)于初始半徑為r0的土體單元，剪應(yīng)變?yōu)?/p>

式中：r、r0分別為土體單元的當(dāng)前半徑和初始半徑，a、a0分別為圓孔的當(dāng)前半徑和初始半徑.

當(dāng)孔徑為a時(shí)剪應(yīng)變的分布與半徑r的關(guān)系為

由方程（1）—（2）可知，半徑和剪應(yīng)變?cè)隽恐g的關(guān)系為

2.2 彈性卸載階段

Yu將p’，p，q分別定義為，，本文根據(jù)臨界狀態(tài)土力學(xué)的傳統(tǒng)定義，將p’，p，q分別定義為平均有效應(yīng)力、平均總應(yīng)力和偏應(yīng)力，具體定義如下：

為了簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)推導(dǎo)，以下推導(dǎo)過(guò)程中的應(yīng)力都除以等效固結(jié)壓力e進(jìn)行歸一化.對(duì)于任一比容ve定義如下：

式中：λ為正常固結(jié)線的斜率；N為在lnp’—v空間正常固結(jié)線上當(dāng)p’＝1.0時(shí)的比容.

歸一化之后的有效徑向、環(huán)向應(yīng)力分別為

當(dāng)孔徑為a時(shí)，由式（2）可得塑性區(qū)半徑rp為

式中，γ0為初始剪應(yīng)變.或表示為與剪應(yīng)變和半徑的關(guān)系：

2.3 彈塑性卸載階段

（1）有效應(yīng)力分布

屈服條件和塑性流動(dòng)準(zhǔn)則可表示如下：

式中：γe為彈性剪應(yīng)變.

由彈塑性邊界開(kāi)始到塑性區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)對(duì)式（11）進(jìn)行積分，可得剪應(yīng)變?chǔ)门c歸一化的平均有效應(yīng)力p－′之間的關(guān)系為

其中：

①對(duì)于正常固結(jié)土

屈服準(zhǔn)則和流動(dòng)法則分別為

式（15）—（16）中：Λ＝1－κ／λ，κ為回彈曲線的斜率；M是p’—q平面上臨界狀態(tài)線的斜率.模型中的彈性模量為其中：和分別為歸一化的體積彈性模量和剪切模量；μ為泊松比；χ為代換系數(shù).

式中，A1＝Mκ／（2Λχv）；A2＝2Λκ／（Mv）.

②對(duì)于超固結(jié)土屈服準(zhǔn)則

式中：h為 Hvorslev屈服面在p－′－q－空間投影直線的斜率.仍取式（16）作為流動(dòng)準(zhǔn)則.彈性模量取值如下：

（2）總應(yīng)力的準(zhǔn)靜態(tài)徑向平衡方程：

2.4 塑性區(qū)總應(yīng)力

總應(yīng)力可通過(guò)對(duì)式（22）積分得到：

對(duì)于正常固結(jié)土，由式（3），（12），（13），（15），（16），得到總應(yīng)力為

可以看出，式（24）得不到解析解，需要借助于數(shù)值計(jì)算.對(duì)于超固結(jié)土，結(jié)果更為復(fù)雜，也得不到解析解，在此不詳細(xì)列出.

3 公式改進(jìn)及彈塑性解析解的推導(dǎo)

為了能夠得到近似的解析解，這里假設(shè)對(duì)于大應(yīng)變情況，孔壁周圍的部分土體已經(jīng)達(dá)到破壞，這個(gè)區(qū)域定義為破壞區(qū)，并令rl為破壞區(qū)與屈服區(qū)交界面的半徑，qu為極限偏應(yīng)力，對(duì)于破壞區(qū)內(nèi)的土體有q＝qu，rl可由式（1）和（13）確定：

當(dāng)r＝a時(shí)，可得孔壁處的徑向應(yīng)力為

因此，由式（7），（27）和（28）可得孔壓為

則孔壓和隧道內(nèi)徑之間的關(guān)系可表示為式（29），或者表示為

其中，對(duì)于隧道開(kāi)挖工程，a為支護(hù)結(jié)構(gòu)的外徑，即土體收縮之后的最終半徑；a0為土體初始半徑.

參照Mair等[7]等提出的地表及地表以下不同深度處最大瞬時(shí)沉降值Smax統(tǒng)一的計(jì)算表達(dá)式：

式中：D為隧道直徑；Z為計(jì)算土層深度；Z0為隧道軸線埋深；VL為地層損失率，定義為

將式（30），（32）代入式（31）并取Z＝0，可得孔壁支護(hù)壓力與地表最大沉降Smax和地層損失率VL的關(guān)系式分別為

對(duì)于正常固結(jié)土，對(duì)式（18）進(jìn)行積分可得：

對(duì)于超固結(jié)土，對(duì)式（21）積分可得：

以下算例未做特殊說(shuō)明時(shí)按式（35）正常固結(jié)土情況進(jìn)行取值計(jì)算.

4 算例分析

4.1 Grant和Taylor的離心機(jī)試驗(yàn)[8]

Grant和Taylor曾利用離心機(jī)試驗(yàn)對(duì)隧道開(kāi)挖過(guò)程中孔壁支護(hù)壓力和土體變形之間的關(guān)系進(jìn)行了研究.試驗(yàn)選擇高嶺土進(jìn)行模型試驗(yàn)，用逐漸減小孔內(nèi)氣壓的方式模擬隧道的開(kāi)挖過(guò)程.試驗(yàn)?zāi)Ｐ统叽缭斠?jiàn)圖3（圖中尺寸為原型尺寸），主要土體參數(shù)詳見(jiàn)表1，表中，Γ為lnp′—v平面臨界狀態(tài)線上當(dāng)p′＝1.0時(shí)的比容；Su為不排水抗剪強(qiáng)度；G0為初始剪切模量.

圖3 離心機(jī)模型試驗(yàn)示意圖（單位：m）Fig.3 configuration of centrifuge model test（unit：m）

表1 高嶺土主要物理參數(shù)Tab.1 Parameters of kaolinite clay

選用表1中的參數(shù)，用彈塑性解析解對(duì)Grant的離心機(jī)試驗(yàn)的地表沉降值進(jìn)行計(jì)算.將地表沉降計(jì)算值與試驗(yàn)實(shí)測(cè)值均繪成曲線，如圖4所示.

由圖4可以看出，本文方法與試驗(yàn)結(jié)果所表現(xiàn)的變形規(guī)律相一致，即：隨著孔壓的減小地表最大沉降值Smax逐漸增大，且增大的速率越來(lái)越快.當(dāng)支護(hù)壓力大于100kPa時(shí)，計(jì)算值與試驗(yàn)值吻合得較好，相對(duì)差值均小于15 mm；當(dāng)支護(hù)壓力小于100 k Pa時(shí)計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的差值相差相對(duì)較大，且差值隨壓力的減小逐漸增大，但是相對(duì)誤差幾乎不變（｜S計(jì)算值－S試驗(yàn)值｜／S計(jì)算值約為22%）.

總體來(lái)說(shuō)，計(jì)算結(jié)果與離心機(jī)試驗(yàn)結(jié)果在數(shù)值上相吻合，所表現(xiàn)的規(guī)律相一致，證明用本文方法計(jì)算隧道開(kāi)挖引起的土體變形是合理的.

圖4 計(jì)算結(jié)果與離心機(jī)試驗(yàn)值對(duì)比Fig.4 Comparison of centrifuge tests and thecomputation results

4.2 實(shí)際工程實(shí)例驗(yàn)證

（1）上海隧道工程實(shí)例

上海1964年對(duì)直徑4.2 m的隧道進(jìn)行了深層試驗(yàn)[8]，地質(zhì)條件為飽和含水淤泥質(zhì)粘土，氣壓法施工（氣壓值90 k Pa），隧道軸線埋深15 m.土體參數(shù)見(jiàn)表2.

表2 粘土主要物理參數(shù)Tab.2 Parameters of clay

該隧道地表最大沉降Smax完工后2年的觀測(cè)為30 mm（觀測(cè)2年的土層損失率為3.2%）.已知孔壓為90 k Pa，用本文方法計(jì)算的地表最大沉降Smax為25 mm土層損失率為3%，和實(shí)測(cè)結(jié)果有一定的誤差（｜S計(jì)算值－S試驗(yàn)值｜／S計(jì)算值約為20%）.因?yàn)槭剑?1）為土體變形的短期值，而上述實(shí)例中為工后2年的觀測(cè)結(jié)果，且本文方法并未考慮土體工后的固結(jié)以及次固結(jié)問(wèn)題，因此計(jì)算結(jié)果比實(shí)測(cè)結(jié)果偏小是合理的.

上海地鐵試驗(yàn)隧道曹溪公園北部段[9]，地層參數(shù)與上述工程實(shí)例相同，隧道直徑為6.41 m，軸線埋深11 m.施工觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)較短，約為半年，觀測(cè)地表最大沉降量為75 mm，（土層損失率為2.2%），而Smax計(jì)算值為73 mm，Smax計(jì)算值略小于實(shí)測(cè)值（誤差約3%）.

（2）英國(guó)地鐵實(shí)例

英國(guó)O’Reilly等對(duì)Grimsby地區(qū)某下水道隧道開(kāi)挖引起的地表沉降進(jìn)行了短期沉降和長(zhǎng)期沉降的觀測(cè)[10].隧道直徑3 m，共在三個(gè)地方進(jìn)行了沉降監(jiān)測(cè)（包括短期沉降和為期11年的長(zhǎng)期沉降），分別標(biāo)記為A、B、C，埋深分別為8，5.3和6.5 m.本文取氣壓法施工的B處作為對(duì)比實(shí)例（氣壓值41 k Pa）.隧道所處的土層為非常軟的海底淤泥，計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表3.

表3 淤泥土主要物理參數(shù)Tab.3 Parameters of muddy soil

由于該隧道的沉降觀測(cè)時(shí)間較長(zhǎng)，隨時(shí)間的增長(zhǎng)地表最大沉降在不斷增大，B監(jiān)測(cè)點(diǎn)地表最大沉降隨時(shí)間的變化（Smax—t）如圖5所示.

圖5 B監(jiān)測(cè)點(diǎn)Smax—t圖Fig.5 Smax—t of site B

取“氣壓關(guān)閉”（即隧道完工時(shí)t＝100 d）的沉降值為短期沉降值，則由圖5可以看出實(shí)測(cè)短期最大沉降為50 mm.而計(jì)算結(jié)果為51 mm，二者相差很?。ㄕ`差為2%）.因此，用本文的圓柱孔收縮彈塑性解計(jì)算隧道開(kāi)挖引起的變形問(wèn)題是合理的.但是隨時(shí)間的增長(zhǎng)土體固結(jié)逐漸完成，橫斷面的最大沉降值不斷增大.本文方法不適于計(jì)算隧道開(kāi)挖引起土體變形的長(zhǎng)期影響.

5 結(jié)論

本文基于傳統(tǒng)的臨界狀態(tài)土力學(xué)理論，借鑒Yu圓柱孔收縮彈塑性解的推導(dǎo)過(guò)程，給出了圓柱孔收縮問(wèn)題孔壓與孔徑變化之間的關(guān)系.并把隧道開(kāi)挖問(wèn)題簡(jiǎn)化為圓柱孔收縮問(wèn)題，得到了隧道支護(hù)壓力和隧道開(kāi)挖引起的土體變形之間的關(guān)系.

將本文方法的計(jì)算結(jié)果與Grant的離心機(jī)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果吻合得很好.但是由上海的兩個(gè)工程實(shí)例以及英國(guó)的地鐵實(shí)例可以看出，由于本方法并未考慮軟土的固結(jié)以及次固結(jié)問(wèn)題，因此計(jì)算長(zhǎng)期的土體變形存在較大誤差.通過(guò)與國(guó)內(nèi)外工程實(shí)例的對(duì)比分析可知，本文的計(jì)算方法準(zhǔn)確合理，可為隧道開(kāi)挖引起的短期土體變形分析提供借鑒.

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