方旭 達(dá)飛鵬 郭濤

(東南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210096)

攝像機(jī)標(biāo)定是計(jì)算機(jī)3D視覺測(cè)量領(lǐng)域的工作基礎(chǔ)，它的本質(zhì)是解決世界坐標(biāo)上點(diǎn)的位置和圖像坐標(biāo)上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的像素之間的映射關(guān)系［1-2］.

大多數(shù)標(biāo)定板是基于直角坐標(biāo)系設(shè)計(jì)，本文提出了基于極坐標(biāo)設(shè)計(jì)的標(biāo)定板，并解決了多攝像機(jī)標(biāo)定板的設(shè)計(jì)問題.有些圖像使用直角坐標(biāo)系表示十分復(fù)雜或者根本無法表示，如玫瑰線、阿基米德線等.對(duì)于這些難以用直角坐標(biāo)表示的圖像，基于直角坐標(biāo)尋找匹配點(diǎn)對(duì)的方法很難識(shí)別.但是這種曲線的特征往往十分明顯，有適合當(dāng)作特征點(diǎn)的點(diǎn)對(duì)來用于提取和匹配，因此引入極坐標(biāo)來表示世界坐標(biāo)中特征點(diǎn)的位置關(guān)系，通過極坐標(biāo)獲得特征點(diǎn)后再將其轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系.這樣，在基本不增加系統(tǒng)復(fù)雜度的情況下，還可以使用傳統(tǒng)的標(biāo)定方法［1-3］.

使用極坐標(biāo)的另一個(gè)優(yōu)勢(shì)是使用較少的點(diǎn)對(duì)完成系統(tǒng)的標(biāo)定，使用最少點(diǎn)對(duì)或較少點(diǎn)對(duì)完成系統(tǒng)的標(biāo)定并獲得準(zhǔn)確結(jié)果是最近研究的熱點(diǎn)［4］.本文使用的極坐標(biāo)圖像的特征點(diǎn)大概在10～20個(gè)，最終得到的標(biāo)定結(jié)果與文獻(xiàn)［1］較接近.

極坐標(biāo)圖像也適合于多攝像機(jī)標(biāo)定.多攝像機(jī)標(biāo)定板的制作一直是個(gè)難題.三維標(biāo)定物存在遮擋問題；二維標(biāo)定板由于要在多個(gè)位置的攝像機(jī)拍攝范圍內(nèi)，制作要求較復(fù)雜，所以楊劍等研究了二維柔性拼接標(biāo)定板［5-6］；王亮等［7-10］研究了基于一維的多攝像機(jī)標(biāo)定物來解決上面的問題，但是存在運(yùn)動(dòng)限制的問題；此外，也有通過經(jīng)緯儀精確獲得物體之間或者攝像機(jī)之間的相對(duì)位置關(guān)系［11］，但是需要額外的儀器和復(fù)雜的操作.由于極坐標(biāo)圖像位置的相對(duì)關(guān)系簡(jiǎn)單，可以很方便地用于制作成多攝像機(jī)的標(biāo)定板，也可以根據(jù)攝像機(jī)的擺放來布局極坐標(biāo)標(biāo)定板的設(shè)計(jì)，以此來降低標(biāo)定板的制作難度和簡(jiǎn)化標(biāo)定的復(fù)雜度.

1 攝像機(jī)模型

攝像機(jī)模型是光學(xué)成像幾何的簡(jiǎn)化，最常用的攝像機(jī)模型是針孔透視模型，如圖1所示.攝像機(jī)的位置在攝像機(jī)坐標(biāo)下，拍攝在世界坐標(biāo)系下的圖像，獲得在攝像機(jī)成像平面的圖像.該圖像在計(jì)算機(jī)上看是按照計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)系成像的圖像.最終根據(jù)世界坐標(biāo)系和計(jì)算機(jī)坐標(biāo)系下同一個(gè)物體上的對(duì)應(yīng)特征點(diǎn)對(duì)，求取攝像機(jī)的參數(shù).獲得2個(gè)或多個(gè)攝像機(jī)參數(shù)后，仿真人眼就可以恢復(fù)出物體的三維形貌.

圖1 針孔投影模型圖

1.1 極坐標(biāo)及多攝像機(jī)標(biāo)定

標(biāo)定的簡(jiǎn)要流程圖如圖2所示.

1.2 攝像機(jī)內(nèi)外參

世界坐標(biāo)和計(jì)算機(jī)坐標(biāo)下的映射關(guān)系H可以表示為列向量形式:

圖2 流程圖

因?yàn)閞1和r2是旋轉(zhuǎn)矩陣R的旋轉(zhuǎn)向量，存在r2=0和‖r2‖=‖r1‖，根據(jù)這2個(gè)等式有

根據(jù)方程組(2)可知，每幅圖像存在2個(gè)方程，而內(nèi)參K有5個(gè)未知數(shù)，所以需要不少于3幅圖像就可以解出內(nèi)參.若超過3幅求得的是一個(gè)最優(yōu)解，少于3幅需要1個(gè)或3個(gè)附加約束條件.得到內(nèi)參K后，根據(jù)式(1)可以獲得外參.通常，獲得的解不滿足旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)，具體優(yōu)化可以參考文獻(xiàn)［1，12］.

這樣獲得的內(nèi)外參只是個(gè)粗糙解，沒有考慮到鏡頭畸變.根據(jù) Tsai［2］的分析，考慮徑向畸變 k1和k2可以滿足普通攝像機(jī)的情況.k1和k2的求取可參考文獻(xiàn)［13］.在加入畸變后的非線性優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

式中，^m(K，Ri，Ti，Mj，k1，k2) 是第 i幅圖像上第 j個(gè)點(diǎn)計(jì)算出來的投影點(diǎn)，mij代表實(shí)際所在的位置，上標(biāo)n代表圖像的個(gè)數(shù)，m代表點(diǎn)的個(gè)數(shù).

1.3 多攝像機(jī)標(biāo)定

由于極坐標(biāo)存在簡(jiǎn)單的變換關(guān)系，所以可以很方便地用于多攝像機(jī)標(biāo)定.比如，標(biāo)定板可以設(shè)計(jì)為如圖3所示的通過圖像各自中心的關(guān)系(rij，θij)，很容易確定極坐標(biāo)圖像上各個(gè)點(diǎn)的絕對(duì)位置信息.

多攝像機(jī)標(biāo)定時(shí)不再要求有共同區(qū)域:比如攝像機(jī)1以圖3中極坐標(biāo)中心1為“世界坐標(biāo)中心”，攝像機(jī)2以極坐標(biāo)2為“世界坐標(biāo)中心”，攝像機(jī)3以極坐標(biāo)3為“世界坐標(biāo)中心”.2和3所指的世界中心，是指攝像機(jī)拍攝時(shí)的圖像中心大概所在位置，這樣的布置可以隨著攝像機(jī)所在的位置對(duì)標(biāo)定板做改變，即(ri，θi)的位置不是事先固定，而是在拍攝時(shí)或拍攝完以后才確定.這樣解決了基于平面或者立體標(biāo)定板的多攝像機(jī)標(biāo)定的旋轉(zhuǎn)平移轉(zhuǎn)換帶來的誤差.如圖3所示，極坐標(biāo)中心1的世界坐標(biāo)是(0，0)，極坐標(biāo)中心2的世界坐標(biāo)為(24，18)，極坐標(biāo)中心3的世界坐標(biāo)為(48，－36)，即世界坐標(biāo)實(shí)際是同一個(gè)世界坐標(biāo).傳統(tǒng)的多攝像機(jī)標(biāo)定需要攝像機(jī)兩兩之間存在公共可視區(qū)域［10，14］，而本文提出的方法可以不存在公共可視區(qū)域.這是因?yàn)闆]有把攝像機(jī)非完全會(huì)聚配置而導(dǎo)致的數(shù)據(jù)缺失問題考慮進(jìn)去.不考慮的原因是標(biāo)定板標(biāo)定的距離比重建時(shí)物體所在的距離要近，不存在或很少存在數(shù)據(jù)缺失問題.這樣雖然降低了準(zhǔn)確度，但是在拍攝的靈活性上有了很大的提高.

圖3 已知各自關(guān)系的標(biāo)定版

2 實(shí)驗(yàn)

2.1 仿真實(shí)驗(yàn)

在下列仿真實(shí)驗(yàn)中，以阿基米德曲線作為標(biāo)定物.ρ=θ(θ=0～6π).在 θ為45°整數(shù)倍且大于等于225°情況，總共取12個(gè)點(diǎn)作為特征點(diǎn).

內(nèi)參矩陣為

3幅圖的外參分別為

第 1 幅圖:α1=16.9°，β1=－ 11.6°，γ1=－27.3°，T1=［3，3，10］；

第 2 幅圖:α1=26.8°，β1=－ 8.6°，γ1=－38.5°，T1=［2，2，10］；

第 3 幅圖:α1=28.3°，β1=－ 19.9°，γ1=40.1°，T1=［1，2，10］.

根據(jù)上述參數(shù)產(chǎn)生3幅圖像，圖像分辨率是2048×2048.在投影圖像中，加入均值為0，標(biāo)準(zhǔn)偏差是步進(jìn)為0.1像素從0到1變化的高斯噪聲.在每個(gè)噪聲水平下計(jì)算200次，得到的最終內(nèi)參均值結(jié)果如表1所示.

表1 不同噪聲水平下內(nèi)參的變化

從表1可以看出，內(nèi)參的偏差在1以內(nèi).總體來說噪聲對(duì)結(jié)果的影響都比較小，所以算法穩(wěn)定，表1保存的結(jié)果是200次運(yùn)算的均值結(jié)果，因?yàn)榫底饔貌糠窒嗽肼晫?duì)結(jié)果的影響.本文利用均值方法來降低噪聲對(duì)結(jié)果的影響，對(duì)仿真和實(shí)物實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了比較總結(jié).因?yàn)槠邢?，沒有給出單次噪聲的所有結(jié)果，fx和α在噪聲為1像素時(shí)分別為607.4033 和17.3919.沒有均值的結(jié)果比均值的差了1%左右，雖然這只是一個(gè)偶然的結(jié)果，但是說明了均值后的魯棒性更強(qiáng).

2.2 實(shí)物實(shí)驗(yàn)

所用攝像機(jī)為UNIQ UP-1800，分辨率為1380×1030像素.歸一化后本文的重投影偏差是0.74587像素.拍攝的實(shí)物圖如圖4所示.

極坐標(biāo)圖像之間的相互關(guān)系簡(jiǎn)單，可以很方便地用于多攝像機(jī)標(biāo)定，即可以預(yù)先做好標(biāo)定板，如圖3已經(jīng)知道各自之間的相互關(guān)系，也可以在拍攝完圖像之后再確定彼此的關(guān)系，這樣就可以根據(jù)攝像機(jī)所在位置來決定極坐標(biāo)圖像的擺放位置.根據(jù)圖4獲得的攝像機(jī)參數(shù)，然后反求平面板的空間交匯效果圖，如圖5所示.

圖4 實(shí)物圖:極坐標(biāo)標(biāo)定板

圖5 極坐標(biāo)標(biāo)定得到的平面空間交匯圖

本文方法水平和豎直方向的平均距離差為2.648 cm，文獻(xiàn)［1］對(duì)應(yīng)的距離差為 2.553 cm，采用本文方法所得平面恢復(fù)的情況和采用文獻(xiàn)［1］的方法所得結(jié)果基本一致.

圖5是雙目攝像機(jī)恢復(fù)的平面空間交匯圖.

3 結(jié)語

本文提出了采用極坐標(biāo)表示的圖像完成了攝像機(jī)的標(biāo)定，在多攝像機(jī)標(biāo)定上的優(yōu)勢(shì)可以根據(jù)攝像機(jī)位置來布置極坐標(biāo)圖像，這樣可以很方便地完成標(biāo)定而不帶來矩陣轉(zhuǎn)移的累計(jì)誤差.本文提出基于極坐標(biāo)的平面圖像來識(shí)別特征點(diǎn)，最后采用平面模板法完成標(biāo)定；多攝像機(jī)標(biāo)定采用統(tǒng)一世界坐標(biāo)法，得到了較為準(zhǔn)確的標(biāo)定結(jié)果，并用簡(jiǎn)易的交匯驗(yàn)證了準(zhǔn)確性.

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