謝秉敏，向中富，王小松，王少懷

(重慶交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，重慶400074)

車輛通過橋梁時(shí)將引起橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，而橋梁的振動(dòng)又反過來影響車輛的振動(dòng)，這種相互作用、相互影響的問題就是車輛與橋梁之間振動(dòng)耦合的問題［1］。自1825年誕生于英國(guó)的第一條鐵路起，人類對(duì)車輛與橋梁動(dòng)力相互作用的探索就一直沒有間斷過。19世紀(jì)中期Willis提交了第一份橋梁振動(dòng)響應(yīng)研究的報(bào)告，探討了由于車輛通過時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)而導(dǎo)致Chester橋倒塌的原因，由此而揭開了研究車橋耦合振動(dòng)內(nèi)在機(jī)理的序幕［2-3］。

目前研究車橋耦合振動(dòng)系統(tǒng)常用的分析方法有以下兩種:①用直接積分法求解耦合車橋系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，但僅限于簡(jiǎn)單橋梁;②將車橋耦合問題處理成兩組不同的運(yùn)動(dòng)方程，一組方程用于橋梁振動(dòng)分析，另一個(gè)用于車輛振動(dòng)分析，用輪與橋面豎向位移協(xié)調(diào)與相互作用力協(xié)調(diào)來使兩個(gè)系統(tǒng)耦合在一起，適合于復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系橋梁、多自由度車輛模型的車橋耦合振動(dòng)分析。國(guó)內(nèi)學(xué)者大多應(yīng)用有限元方法致力于后者的研究，但同時(shí)需編制復(fù)雜的專用程序計(jì)算［4］。

考慮到開發(fā)一套完善的有限元分析程序是一項(xiàng)浩繁的工作，不僅需要強(qiáng)大的技術(shù)支持，更需要大量的資金，越多越多的學(xué)者為了方便實(shí)用、避免編制復(fù)雜專用程序，開始應(yīng)用大型通用結(jié)構(gòu)分析軟件進(jìn)行研究。梁玉紅［5］借助FORTRAN語言編寫車輛動(dòng)力方程求解程序，并將其作為ANSYS外部命令調(diào)用，實(shí)現(xiàn)列車過橋整個(gè)過程的動(dòng)力響應(yīng)分析。楊建榮，等［6］基于ANSYS前后處理器的強(qiáng)大功能，建立了橋梁有限元模型，結(jié)合自主程序VBDIP，形成了一個(gè)通用工具用于車橋耦合振動(dòng)分析;施穎，等［7］利用ANSYS通過MATALAB進(jìn)行迭代求解，從而為公路復(fù)雜橋梁動(dòng)力性能評(píng)價(jià)提供了一種方便可靠的數(shù)值分析方法。

在以上的研究中，一般是通過外部軟件來實(shí)現(xiàn)車輛微分方程的求解，將生成的車輛系統(tǒng)的數(shù)據(jù)文件再輸入到ANSYS軟件中完成橋梁系統(tǒng)的求解。但這樣的數(shù)據(jù)交互十分麻煩，同時(shí)也是不必要的，因?yàn)榛贏NSYS中APDL強(qiáng)大的功能，完全可以實(shí)現(xiàn)兩子系統(tǒng)在ANSYS的迭代求解，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的無縫交互。筆者以ANSYS為平臺(tái)，利用其強(qiáng)大的前后處理功能，建立橋梁有限元模型，編寫了基于Newmark-β法的車輛動(dòng)力平衡方程的程序。在ANSYS環(huán)境下利用APDL語言實(shí)現(xiàn)了車輛上橋、車輛上橋輪對(duì)數(shù)、車輛出橋、車輛出橋輪對(duì)數(shù)及橋上輪對(duì)位置的判斷等，最終實(shí)現(xiàn)了車輛上橋再出橋的車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算。經(jīng)過算例驗(yàn)證，該方法是正確有效的。

1 車橋耦合振動(dòng)方程的建立

1.1 車輛振動(dòng)方程的建立［8］

以整車4自由度車輛過簡(jiǎn)支梁橋?yàn)槔?，運(yùn)用動(dòng)力學(xué)中的達(dá)朗貝爾原理，可確定車輛運(yùn)動(dòng)自由微分方程，如圖1。

圖1 4自由度車輛模型Fig.1 4 DOF vehicle model

車體豎向振動(dòng)方程:

車體點(diǎn)頭振動(dòng)方程:

前輪對(duì)豎向振動(dòng)方程:

后輪對(duì)豎向振動(dòng)方程:

式中:Zi，θi分別表示車體與轉(zhuǎn)向架動(dòng)力位移;Ki，Ci分別表示一系、二系彈簧剛度與阻尼;yi表示第i號(hào)車輪的豎向動(dòng)力位移;Mi分別表示車體與轉(zhuǎn)向架質(zhì)量與抗轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量矩;Jc為車體轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量矩。

上述微分方程組經(jīng)整理可寫成如下矩陣形式:

式中:［Mv］，［Cv］，［Kv］分別為車輛的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;}分別為車體、轉(zhuǎn)向架的豎向位移、速度、加速度列向量;［Fv］為車輛所受外力荷載向量。

1.2 橋梁振動(dòng)方程的建立［9］

運(yùn)用ANSYS強(qiáng)大的前后處理模塊，近200種單元類型可方便地建立橋梁的有限元模型。

橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程可寫為:

式中:［Mb］，［Cb］，［Kb］分別為橋梁的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;}分別為橋梁節(jié)點(diǎn)的豎向位移、速度、加速度列向量;［Fb］為橋梁所受外力荷載向量。

1.3 位移聯(lián)系方程及車橋相互作用力方程

假設(shè)車輪在運(yùn)行的過程中始終與橋面密貼不脫離，則可通過位移聯(lián)系方程及車橋相互作用力將車橋兩系統(tǒng)耦合起來。

輪對(duì)的位移可通過梁的相應(yīng)位移表示，有:

式中:zvi為第i個(gè)車輪的豎向位移;zbi為第i個(gè)車輪所處橋梁上的位移，可通過Hermite插值得到;zir為第i個(gè)車輪處橋梁的不平整度及橋梁預(yù)拱度值;ui為車輛各軸懸掛彈簧的相對(duì)位移。

車橋的相互作用可通過輪胎與橋面間的相互作用力聯(lián)系起來，有:

2 車橋耦合振動(dòng)分析流程及算例

2.1 分析流程

運(yùn)用ANSYS中的APDL工具，實(shí)現(xiàn)車橋耦合振動(dòng)流程如下:

1)利用ANSYS建立橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型;

2)輸入車輛參數(shù);

3)假設(shè)車輛上橋的初始狀態(tài)，如位移、速度、加速度等;

4)判斷上橋的車輛數(shù)及輪對(duì)數(shù)，提取t時(shí)刻橋梁振動(dòng)響應(yīng)，通過插值計(jì)算，得到輪對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)zi，，更新車輛運(yùn)動(dòng)方程荷載項(xiàng)若車輛出橋則進(jìn)行第8);

5)利用Newmark-β法求解t時(shí)刻車體響應(yīng);6)根據(jù)最新的車體響應(yīng)更新橋梁運(yùn)動(dòng)方程荷載項(xiàng)

7)求解t+Δt時(shí)刻橋梁振動(dòng)響應(yīng)。重復(fù)第4);

8)繪制橋梁節(jié)點(diǎn)時(shí)程曲線。

2.2 算例1——單元數(shù)量對(duì)求解結(jié)果的影響

由于車輛系統(tǒng)在梁上不斷運(yùn)動(dòng)，使車橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)響應(yīng)是一組時(shí)變性二元二階微分方程，求解十分復(fù)雜且數(shù)據(jù)量較大，為簡(jiǎn)化起見，以圖2中移動(dòng)車輪+簧上質(zhì)量過簡(jiǎn)支梁橋?yàn)槔?，通過振型疊加法選擇適當(dāng)?shù)碾A數(shù)對(duì)方程組進(jìn)行解耦求解，與利用ANSYS求解進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證文中方法的正確性。

圖2 車輪+簧上質(zhì)量模型Fig.2 Sprung mass model

圖2中，L為簡(jiǎn)支梁跨徑，取16 m;EI為簡(jiǎn)支梁抗彎慣性矩，取2.5×1010m2;簡(jiǎn)支梁線質(zhì)量 m取9 360 kg/m，泊松比 μ 取0.2;移動(dòng)質(zhì)量 M0=1.69×104kg，簧上質(zhì)量 M1=4.69 ×104kg，彈簧剛度 K0=4.87×106N/m;連接阻尼系數(shù) C0=3.14×105N·s/m;同時(shí)假定車輛以60 km/h勻速通過。

將簡(jiǎn)支梁橋采用Beam3單元模擬，劃分為不同單元數(shù)量，通過ANSYS求解與采用振型疊加法通過MATLAB進(jìn)行數(shù)值求解的結(jié)果對(duì)比如圖3～圖5及表1。

圖3 跨中位移時(shí)程曲線Fig.3 Displacement histories at the middle strip

圖4 節(jié)點(diǎn)速度時(shí)程曲線Fig.4 Velocity histories at the middle strip

圖5 跨中加速度時(shí)程曲線Fig.5 Acceleration histories at the middle strip

表1 計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison of results

從圖3～圖5及表1可以發(fā)現(xiàn)，利用ANSYS求解時(shí)，對(duì)給定的橋梁而言，時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)結(jié)果的影響十分顯著。當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)過大時(shí)，其求解結(jié)果與真實(shí)值偏差較大;隨著時(shí)間步長(zhǎng)不斷減小，結(jié)果是越精確的，但精度提高的不多，同時(shí)求解時(shí)間也大幅提高。針對(duì)算例中的16 m簡(jiǎn)支梁，求解的時(shí)間步長(zhǎng)取為0.02 s是較為合適的。

2.3 算例2——車輛以不同車速通過橋梁

仍采用算例1中車輛及橋梁參數(shù)，橋梁仍用Beam3單元模擬，時(shí)間步長(zhǎng)取為0.02 s。車輛以60 km/h，180 km/h通過橋梁。結(jié)果對(duì)比如圖6～圖8。

圖6 跨中位移時(shí)程曲線Fig.6 Displacement histories at the middle strip

圖7 跨中速度時(shí)程曲線Fig.7 Velocity histories at the middle strip

圖8 跨中加速度時(shí)程曲線Fig.8 Acceleration histories at the middle strip

由圖6～圖8分析可發(fā)現(xiàn):基于筆者思路編制的ANSYS求解結(jié)果與采用振型疊加法的求解結(jié)果是相吻合的，其中位移與速度時(shí)程曲線幾乎重合，而ANSYS求解的加速度時(shí)程曲線與采用振型疊加法求解的時(shí)程曲線趨勢(shì)一致，數(shù)值在后者附近振蕩，同時(shí)在車速較高時(shí)，ANSYS計(jì)算的橋梁豎向加速度在極值點(diǎn)處數(shù)值較后者偏大。這是因?yàn)樵谇懊娴睦谜裥童B加法求解車橋振動(dòng)耦合的理論推導(dǎo)中，只考慮了橋梁的第一階振型，而忽略了后續(xù)各階振型的貢獻(xiàn)，從而在數(shù)值上有偏差。

從以上兩個(gè)算例中的分析，說明了文中方法的正確性，可以為工程界解決車橋耦合問題提供某種新的思路。

3 結(jié)語

ANSYS作為廣泛應(yīng)用的大型通用有限元程序，筆者在ANSYS平臺(tái)上，利用其豐富的單元類型可方便的建立各種橋梁結(jié)構(gòu)，進(jìn)行車橋動(dòng)力耦合分析，從而避開了編制復(fù)雜的專用程序。

從算例來看，筆者所提出的方法較為準(zhǔn)確。由于橋梁?jiǎn)卧獢?shù)量對(duì)結(jié)果影響較大，推薦橋梁結(jié)構(gòu)采取每10 cm一個(gè)單元的策略，這樣可以獲得較滿意的解。

在車速較高時(shí)，橋梁加速度極值點(diǎn)處有振蕩，比理論求解結(jié)果稍大。但從數(shù)值結(jié)果上看，精度還是令人滿意的，可以為工程界開展車橋動(dòng)力問題的分析提供某種簡(jiǎn)單易行的方法。

［1］李小珍，強(qiáng)士中.列車-橋梁耦合振動(dòng)研究的現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)［J］.鐵道學(xué)報(bào)，2002，24(5):112-120.Li Xiaozhen，Qiang Shizhong.State-of-the-art review and trend of studies on vehicle-bridge interaction［J］.Journal of the China Railway Society，2002，24(5):112-120.

［2］Biggs I M.Introduction to Structrual Dynamics［M］.NewYork:MC-Graw-Hill Book Co.，Inc.，1964.

［3］夏禾，張楠.車輛與結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用［M］.北京:科學(xué)出版社，2005.

［4］單德山，李喬.車橋耦合振動(dòng)分析的數(shù)值方法［J］.重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào)，1999，18(3):14-20.Shan Deshan，Li Qiao.The numerical method for studying the interaction vibration between bridge and vehicle［J］.Journal of Chongqing Jiaotong University，1999，18(3):14-20.

［5］梁玉紅.用ANSYS實(shí)現(xiàn)車橋耦合空間振動(dòng)分析［D］.石家莊:石家莊鐵道學(xué)院，2005.

［6］楊建榮，李建中，范立礎(chǔ).基于ANSYS的車橋耦合振動(dòng)分析［J］.計(jì)算機(jī)輔助工程，2007，16(4):23-26.Yang Jiangrong，Li Jianzhong，F(xiàn)an Lichu.Analysis on vehiclebridge coupling vibration based on ANSYS［J］.Computer Aided Engineering，2007，16(4):23-26.

［7］施穎，宋一凡，孫慧，等.基于ANSYS的公路復(fù)雜橋梁車橋耦合動(dòng)力分析方法［J］.天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，43(6):537-543.Shi Ying，Song Yifan，Sun Hui，Zhou Xinping，et al.Dynamic analysis method of vehicle-bridge coupling for complicated bridges based on ANSYS［J］.Journal of Tianjin University，2010，43(6):537-543.

［8］王福天.車輛動(dòng)力學(xué)［M］.北京:中國(guó)鐵道出版社，1994.

［9］王勖成.有限單元法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2003.