江蘇省淮陰中學 朱翠英

最值問題是初中數學中一類綜合性很強的問題，是初中數學教學中的一個重要組成部分，在整個初中數學的學習中都存在最值問題，這類試題也是近幾年中考的熱點問題之一，它主要考查學生對平時所學的內容綜合運用，突出了對學生數學素質的考查.通過這類試題的教學，可以培養(yǎng)學生的探究能力和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學生運用所學數學知識解決實際問題的能力，對學生思維能力的提高有較大的幫助.

解這類題目要盡可能簡便地建立坐標系，再寫出各點坐標，設出動點坐標，或是運用數形結合思想，把代數式轉化為幾何圖形，或是結合動點運動屬性，分析圖形特征，根據題目的條件寫出關系式，最后求解.本文試從以下幾個方面對這類問題作一些簡單的探討.

一、出現一個動點的解題方法

這類試題的解決方法主要是通過軸對稱，將動點所在直線同側的兩個定點中的其中一個，映射到直線的另一側，當動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時，由“兩點之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點線段的長.

例1 如圖1，已知L是一條鄉(xiāng)村公路，A、B為公路一側的兩個村莊，為方便學生上學，準備在公路邊上新建一所小學，如果是請你設計新學校的校址，你準備選在哪里可使學校兩村莊到學校的距離和最?。?/p>

解析：作B關于L的對稱點B′，有MB=MB，于是MA+MB=MA+MB′≥AB（當且僅當從運動到AB′和L的交點M′時等號成立），建在M′點符合條件.

圖1

二、出現兩個動點的解題方法

兩動點，其中一個隨另一個動（一個主動，一個從動），并且兩動點間的距離保持不變.用平移方法，可把兩動點變成一個動點，轉化為“兩個定點和一個動點”類型來解.

例2 如圖2，河岸兩側有A、B兩個村莊，為了村民出行方便，計劃在河上修一座橋，橋修在何處才能使兩村村民來往路程最短？

圖2

解析：設橋端兩動點為M、N，那么N點隨M點而動，MN等于河寬，且MN垂直于河岸.將B向上平移河寬長到B′，線段AB′與河北岸線的交點即為橋端M點位置.四邊形BB′MN為平行四邊形，B′M=BN，此時AM+BN=AM+B′M=AB′值最小.那么A、B兩村來往最短路程為：AM+MN+NB=AB′+MN.

三、出現三個動點的解題方法

當題中出現三個動點時，在求解時應注意兩點，（1）作定點關于動點所在直線的對稱點.（2）同時要考慮點點、點線、線線之間的最短問題.

例3 如圖3，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E，F，P分別為AB，BC，AC上動點，求PE+PF最小值.

解析：作E關于AC所直線的對稱點E′，于是有PE+PF=PF+PE′≥E′F，又因為E在AB上運動，故當E′F和AD，BC垂直時，E0F最短，易求E0F=x+y=4.

圖3

四、動點最值在求代數最值問題中的應用

在數學教學中，注重對學生數形結合思想的引導和啟發(fā)，有助于學生在解決問題時從不同角度去思考和探索，從多角度去解決問題，對培養(yǎng)學生的轉化能力也有很大的幫助.

解析：可以讓學生思考直角三角形中直角邊和斜邊的邊長關系，就能想到是以x、1為直角邊的直角三角形斜邊的長是以y、2為直角邊的直角三角形斜邊的長，那么這個問題就可轉化成求兩條線段和的最值問題.這種解決問題的思維方法只有在長期的訓練中逐漸養(yǎng)成，是一個漸進的過程，不可操之過急.

圖4

如圖4，AB=4，P為AB上一動點. 設PA=x，PB=y.CA⊥AB，DB⊥AB，A、B為垂足，且CA=1，BD=2，則PC+PD=可知當點P，C，D在同一條直線上時，PC+PD最小.作CE垂直DB的延長線交點為E，所以，EC=4，ED=2+1=3，即：PC+PD=DC=，故最小值為5.

五、動點最值在圓中的運用

對于圓上有動點的幾何最值問題，常需根據動點運動屬性，分析圖形特征，運用直徑是圓中最大的弦或不等量公理求解.

例5 如圖5，已知AB是半圓的直徑，如果這個半圓是一塊鐵皮，四邊形ABDC是內接半圓的梯形，試問：怎樣剪這個梯形，才能使梯形ABDC的周長最大？

圖5

解析：本例是求半圓AB的內接梯形的最大周長，可設半圓半徑為R.由于AB∥CD，必有AC=BD.

若設CD=2y，AC=x，那么只需求梯形ABDC的半周長u=x+y+R的最大值即可.

總之，解決這一類動點最值問題，關鍵在于善于作定點關于動點所在直線的對稱點，或動點關于動點所在直線的對稱點，運用數形結合思想，這對于解決動點最值問題有著事半功倍的作用.