☉浙江省寧波大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系 趙玉春 陳 旻

一類走走停停行程問題的解答

☉浙江省寧波大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系 趙玉春 陳 旻

本文講述了走走停停行程問題中，每行進(jìn)固定的距離兩人就休息相同的時(shí)間而產(chǎn)生的追及問題的解法，并把它推廣為兩人休息時(shí)間點(diǎn)不同的一類題的解法.

行程問題 走走停停問題帶余除法

一、引言

行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體的速度、時(shí)間、行程三者之間的關(guān)系.行程問題是反映物體勻速運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用題.行程問題涉及的變化較多，有的涉及一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，有的涉及兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，有的涉及三個(gè)物體的運(yùn)動(dòng).涉及兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的，又有“相向運(yùn)動(dòng)”（相遇問題）、“同向運(yùn)動(dòng)”（追及問題）和“相背運(yùn)動(dòng)”（相離問題）三種情況.但歸納起來，不管是“一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)”還是“兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)”，不管是“相向運(yùn)動(dòng)”、“同向運(yùn)動(dòng)”，還是“相背運(yùn)動(dòng)”，它們的特點(diǎn)是一樣的，具體地說，就是它們反映出來的數(shù)量關(guān)系是相同的，都可以歸納為三個(gè)基本公式：速度×?xí)r間＝路程；路程÷時(shí)間＝速度；路程÷速度＝時(shí)間.而走走停停是一類行程問題的總括，這類行程問題一般是兩人在繞著某一環(huán)形跑道（包括三角形、四邊形等）運(yùn)動(dòng)，每人走一定的時(shí)間就休息一定的時(shí)間或者在環(huán)形跑道上的固定點(diǎn)休息（耽擱）一定的時(shí)間，而由此產(chǎn)生的追及問題.追及的地點(diǎn)可以相同，也可以不同，但方向一般是相同的.由于速度不同，所以就發(fā)生了快的追上慢的問題.對(duì)于行程問題，已有不少人進(jìn)行了研究，但專一研究走走停停問題的人卻不是很多.因此我們對(duì)兩人在某一環(huán)形跑道上的固定點(diǎn)休息一定的時(shí)間的這類走走停停行程問題進(jìn)行了研究，并以公式的形式詳細(xì)給了出來.

二、例題

關(guān)于兩人在某一環(huán)形跑道上的固定點(diǎn)休息一定的時(shí)間的走走停停行程問題，我們把它分成了兩類：休息時(shí)間相同；休息時(shí)間不同.對(duì)于每一種情況，我們先給出公式的形式，再以具體的例子加以詳細(xì)介紹.

1.休息時(shí)間相同

設(shè)甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)同向出發(fā)，A、B兩地相距n0S0，甲、乙兩人的速度分別為V甲、V乙（V甲＞V乙），且每行S0就停下來休息t0時(shí)間.求甲第一次追上乙需要多久.

分析：這里分三種情況討論，討論順序如下：

①在乙休息結(jié)束的時(shí)候追上，此時(shí)甲比乙多休息時(shí)間為（n0－1）t0.

②在乙休息過程中且沒有結(jié)束時(shí)追上，此時(shí)甲比乙多休息時(shí)間在（n0－1）t0～n0t0.

③在行進(jìn)過程中追上，此時(shí)甲比乙多休息時(shí)間為n0t0.

下面來看r與t0之間的關(guān)系：

例1 環(huán)形跑道周長是800米，甲、乙二人按順時(shí)針方向沿環(huán)形跑道同時(shí)同地起跑，甲每分鐘跑100米，乙每分鐘跑80米，甲、乙兩人每跑200米均要停下來休息一分鐘，那么甲首次追上乙需要多少分鐘？

解：這就相當(dāng)于乙在甲前方800處，兩人同時(shí)向前跑.于是就有S0=200米，n0=4，t0=1分鐘，V甲=100米/分，V乙=80米/分.

2.休息時(shí)間不同

解：首先，考慮是不是在乙休息結(jié)束的時(shí)候追上，

下面來看r與t乙之間的關(guān)系.

若0＜r＜t乙，則說明是在乙休息過程中且沒有休息結(jié)束時(shí)追上的.

若r=0，則說明是在乙剛好要休息時(shí)追上的.

若r＞t乙，則說明是在行進(jìn)中追上的.設(shè)此時(shí)乙所行走的路程為S，

例2 甲、乙兩只蝸牛沿著一個(gè)邊長為12厘米的正方形ABCD爬行，甲蝸牛每秒行3厘米，每次轉(zhuǎn)彎的時(shí)候要停2秒，乙蝸牛每秒行2厘米，而每次轉(zhuǎn)彎要停1秒，現(xiàn)在甲位于A點(diǎn)，乙位于D點(diǎn)，同時(shí)順時(shí)針方向爬行.請(qǐng)問甲蝸牛第一次追上乙蝸牛所用的時(shí)間.（A、B、C、D逆時(shí)針排列）

解：這里S0=12厘米，n0=1，V甲=3厘米/秒，t甲=2秒，V乙=2厘米/秒，t乙=1秒.

三、小結(jié)

這類問題一直是困擾學(xué)生的難題.對(duì)于這一類型的題目，我們?cè)撊绾蜗率帜?？我們先以公式化的形式給出了具體的模型，然后再以具體的例題給以詳細(xì)的講解和說明，相信讀者已經(jīng)明白，解題關(guān)鍵是抓住題目中所蘊(yùn)涵的等量關(guān)系，再根據(jù)最基本的關(guān)系式（路程=速度×?xí)r間；路程÷時(shí)間=速度；路程÷速度=時(shí)間）以及時(shí)間差的等量關(guān)系，從而使問題簡單化.

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