☉江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán) 吳智勇

探索函數(shù)與四邊形的存在性

☉江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán) 吳智勇

置幾何中的四邊形于直角坐標(biāo)系中，借助函數(shù)的知識(shí)，數(shù)形結(jié)合，研究具有某種特殊性質(zhì)四邊形的存在性，是2012年中考中出現(xiàn)頻率較高的一類綜合題.本文從2012年中考題中選取數(shù)例，說明這類綜合題解題思路的分析方法.

圖1

例1 （2012年福建省泉州市）如圖1，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l繞著點(diǎn)A（0,2）旋轉(zhuǎn)，與經(jīng)過點(diǎn)C（0,1）的二次函數(shù)y=x2+h交于不同的兩點(diǎn)P、Q.

（1）求h的值.

（2）通過操作、觀察算出△POQ面積的最小值.

（3）過點(diǎn)P、C作直線，與x軸交于點(diǎn)B，試問：在直線l的旋轉(zhuǎn)過程中四邊形AOBQ是否為梯形？若是，請(qǐng)說明理由；若不是，請(qǐng)指明其形狀.試題解析：（1）將點(diǎn)C（0,1）代入二次函數(shù)y=x2+h中，得h=1.

（2）操作、觀察可知當(dāng)直線l∥x軸時(shí)，其面積最小.將y=2代入二次函數(shù)y=x2+1中，得x=±2.

（3）由特殊到一般.

①當(dāng)直線l∥x軸時(shí)，P（－2,2），Q（2,2），直線PC：y=－x+1交x軸于B（2,0）.又A（0,2），所以四邊形AOBQ為正方形.

②如圖2，當(dāng)直線l不平行于x軸時(shí)，四邊形AOBQ為梯形.

圖2

所以點(diǎn)Q、B的橫坐標(biāo)相同，即AC∥BQ，且AQ不平行OB，故四邊形AOBQ為梯形

方法點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.”因此操作實(shí)踐型中考題將會(huì)從簡單的剪剪拼拼向通過操作或?qū)嶒?yàn)來探究、發(fā)現(xiàn)、猜想等過渡，同時(shí)也可能利用操作探究得出的結(jié)論來解決新問題，這個(gè)動(dòng)向要引起注意和重視.本題就是一個(gè)典型的動(dòng)手操作實(shí)踐題，通過動(dòng)手操作試驗(yàn)，仔細(xì)觀察，冷靜思考，多畫幾個(gè)圖形，讀幾遍題目就會(huì)找到解決問題的突破口，另外考慮一定要全面，千萬不能多解.

例2（2012年貴州省安順市）如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊長OA、OC分別為12cm、6cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B，且18a+c=0．

（1）求拋物線的解析式.

（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)．

①移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，設(shè)△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍.

②當(dāng)S取得最大值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

圖3

②當(dāng)t=3時(shí)，S取得最大值9，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（3,－12），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，－6）.

若以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，有如下三種情況：

（i）當(dāng)點(diǎn)R在BQ的左邊，且在PB下方時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（3，-18），將（3，-18）代入拋物線的解析式中，滿足解析式，所以存在，點(diǎn)R的坐標(biāo)就是（3，-18）.

（ii）當(dāng)點(diǎn)R在BQ的左邊，且在PB上方時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（3，-6），將（3，-6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點(diǎn)R不滿足條件.

（iii）當(dāng)點(diǎn)R在BQ的右邊，且在PB上方時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（9，-6），將（9，-6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點(diǎn)R不滿足條件.

綜上所述，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（3，-18）.

方法點(diǎn)評(píng)：本題在已知三點(diǎn)位置時(shí)，探索拋物線上的一點(diǎn)與已知的三點(diǎn)組成平行四邊形，解決的方案是先弱化條件，探索平面上的一點(diǎn)與已知的三點(diǎn)組成平行四邊形，再驗(yàn)證這一點(diǎn)是否在拋物線上，在則留下，不在則舍去，這種解題思想值得同學(xué)們細(xì)細(xì)品味.另外，說拋物線上的點(diǎn)R與P、B、Q三點(diǎn)組成平行四邊形，由于沒有指明頂點(diǎn)的順序，所以要分情況一一說明.

例3（2012年山東省煙臺(tái)市）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（1，0），C（3，0），D（3，4）.以A為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)C.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位.運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E.

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式.

（2）過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，△ACG的面積最大？最大值為多少？

（3）在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫出t的值.

試題解析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由頂點(diǎn)A的坐標(biāo)設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)式為y=a（x－1）2+4，然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，即可求得系數(shù)a的值.

A（1，4）.由題意可設(shè)拋物線解析式為y=a（x－1）2+4.

由拋物線過點(diǎn)C（3，0），得0=a（3－1）2+4，解得a=－1.

所以拋物線的解析式為y=－（x－1）2+4，即y=－x2+2x+3.

（2）由于A（1，4），C（3，0），可求得直線AC的解析式為y=－2x+6.

圖4

例4 （2012年福州市）如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD∥BC，交AB于點(diǎn)D，連接PQ.點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）.

圖5

圖6

（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB=______，PD=______.

（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.并探究如何改變點(diǎn)Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度.

（3）如圖6，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長.

（2）由△APD∽△ACB，即可求得AD與BD的長.由BQ∥DP，可得當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時(shí)DP與BD的長.由DP≠BD，可判定?PDBQ不能為菱形.然后設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長度，要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案.不存在.

由BQ∥DP，得當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，

（3）是命題人設(shè)計(jì)本題的亮點(diǎn)，也是學(xué)生答題的難點(diǎn).平時(shí)我們可利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示功能，不難看出線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑是一條線段，在考場(chǎng)上學(xué)生必須借助平時(shí)積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，靈機(jī)一動(dòng)，大膽猜想結(jié)論，小心驗(yàn)證結(jié)論.

如圖7，以C為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

依題意，可知0≤t≤4，當(dāng)t=0時(shí)，起點(diǎn)M1（即點(diǎn)E）的坐標(biāo)為（3，0）；

當(dāng)t=4時(shí)，終點(diǎn)M2（即點(diǎn)F）的坐標(biāo)為（1，4）.

設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b.

直線EF的解析式為y=－2x+6.

圖7

圖8

另解：如圖8，設(shè)E是AC的中點(diǎn)，連接ME.

當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，運(yùn)動(dòng)停止.

設(shè)此時(shí)PQ的中點(diǎn)為F，連接EF.

過點(diǎn)M作MN⊥AC，垂足為N，則MN∥BC.

tan∠MEN的值不變，則點(diǎn)M在直線EF上.

過F作FH⊥AC，垂足為H，則EH=2，F(xiàn)H=4.

當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)E重合；當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)F重合.

方法點(diǎn)評(píng)：試題通過點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，帶來四邊形的運(yùn)動(dòng)，把觀察、操作、探究、計(jì)算融合在一起，將勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用等初中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)融為一體，作為壓軸題.本題的設(shè)計(jì)新穎，不落俗套，自然流暢，梯度合理，入口寬，出口窄，需要綜合運(yùn)用核心知識(shí)靈活地解決問題.在探究圖形變化過程中，考查了函數(shù)思想、方程思想等重要的數(shù)學(xué)思想方法以及基本軌跡的識(shí)別與應(yīng)用.