陳富堅(jiān)，郭忠印，陳富強(qiáng)，柳本民

(1.同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，200092上海;2.桂林電子科技大學(xué)建筑與交通工程學(xué)院，541004廣西桂林)

在平曲線設(shè)計(jì)中，確定轉(zhuǎn)彎半徑具有重要的技術(shù)經(jīng)濟(jì)意義.半徑過小，車輛在彎道上行駛時(shí)容易因離心力過大導(dǎo)致橫向失穩(wěn)型交通事故［1］;半徑過大，則線形標(biāo)準(zhǔn)高，難以展線實(shí)施，造價(jià)也高.通常按車輛以設(shè)計(jì)車速在彎道作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的離心力不大于彎道能提供的最大向心力來確定彎道的最小半徑，這個(gè)最小半徑一般作為彎道半徑設(shè)計(jì)的底線，具體設(shè)計(jì)值往往大于最小半徑.但在山區(qū)公路，突破最小半徑限制的設(shè)計(jì)時(shí)有出現(xiàn).我國現(xiàn)行的路線設(shè)計(jì)規(guī)范［2］在計(jì)算彎道半徑時(shí)把各計(jì)算參數(shù)均當(dāng)作定值處理，是一種定值型設(shè)計(jì)方法.實(shí)際上，影響路線轉(zhuǎn)彎半徑設(shè)計(jì)的諸多因素都有較強(qiáng)的隨機(jī)性，如運(yùn)行車速.運(yùn)行車速高于設(shè)計(jì)車速的情況也是常見現(xiàn)象［3］，這導(dǎo)致以最小半徑或接近最小半徑的值作為設(shè)計(jì)半徑的山區(qū)公路往往成為事故多發(fā)路段.設(shè)計(jì)車速法既無法解釋這種現(xiàn)象，亦無法對(duì)所設(shè)計(jì)彎道的安全可靠性給出定量評(píng)價(jià).可靠度設(shè)計(jì)法則考慮了現(xiàn)實(shí)世界的不確定性［4］，能解釋和預(yù)測(cè)上述現(xiàn)象.因此，本文引入可靠性方法進(jìn)行平曲線半徑設(shè)計(jì).

1 車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)的動(dòng)力學(xué)分析

車輛在公路彎道行駛時(shí)，與轉(zhuǎn)彎半徑有關(guān)的失穩(wěn)現(xiàn)象為橫向滑移和橫向傾覆.現(xiàn)代汽車的設(shè)計(jì)一般輪距寬、重心低，通常情況下，若出現(xiàn)橫向失穩(wěn)現(xiàn)象，橫向滑移總是先于橫向傾覆［5］.因此，本文在路線轉(zhuǎn)彎半徑的可靠性分析時(shí)僅以橫向滑移失穩(wěn)為約束條件，認(rèn)為只要車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)出現(xiàn)橫向滑移失穩(wěn)現(xiàn)象，即認(rèn)為轉(zhuǎn)彎半徑不可靠.畫出車輛在彎道作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力圖，見圖1，其中f、α、m、g、V分別為路面橫向力系數(shù)、橫向傾角、汽車質(zhì)量、重力加速度和速度.

圖1 車輛在彎道作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力圖

根據(jù)圖1，車輛在彎道作圓周運(yùn)動(dòng)，要保持橫向穩(wěn)定，必須滿足的約束條件為

式中:當(dāng)橫坡方向的重力分力與路面橫向摩擦力方向相同時(shí)取“+”號(hào)，相反時(shí)取“-”號(hào)，以下相同.

我國現(xiàn)行路線設(shè)計(jì)規(guī)范規(guī)定的各級(jí)公路的最小半徑值正是依據(jù)式(1)推導(dǎo)出來的［6-8］.

2 路線轉(zhuǎn)彎半徑可靠性模型

本文從橫向抗滑移穩(wěn)定性的角度來研究轉(zhuǎn)彎半徑的可靠性，根據(jù)文獻(xiàn)［9］，其可靠度可定義為路線轉(zhuǎn)彎半徑在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)、在規(guī)定的條件下、能保證車輛在彎道上穩(wěn)定行駛而不發(fā)生橫向滑移的概率.

根據(jù)上述定義及文獻(xiàn)［9］，轉(zhuǎn)彎半徑可靠度的定義式可表達(dá)為

式中:Ps、Pf分別為路線轉(zhuǎn)彎半徑rd的可靠度及失效概率;Z0為轉(zhuǎn)彎半徑rd的功能函數(shù).

為了簡(jiǎn)化，將式(3)中的質(zhì)量參數(shù)m消除，得

式(5)為路線轉(zhuǎn)彎半徑rd的可靠度計(jì)算模型.其中f為橫向力系數(shù)，可假定服從正態(tài)分布，采用預(yù)估模型(新路)或者現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)確定(既有路)［10］;V為運(yùn)行車速，服從正態(tài)分布［11］，采用運(yùn)行車速預(yù)估模型(新路)或者現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)確定(既有路);g為重力加速度，常數(shù);轉(zhuǎn)彎半徑rd和路面超高橫坡ic為設(shè)計(jì)參數(shù)，可認(rèn)為是常數(shù).

式中:φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù);μV、σV分別為運(yùn)行車速V的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.

因此，Z=R-S的分布函數(shù)相對(duì)復(fù)雜，不能直接應(yīng)用文獻(xiàn)［9］中的公式(基于R與S同為正態(tài)分布推導(dǎo)出來的)，需要采用變量變換法［12］求解.下面推導(dǎo)功能函數(shù)Z=g(R，S)的概率密度函數(shù).

假定R與S相互獨(dú)立，根據(jù)概率論的變量變換法，推導(dǎo)結(jié)果為

式中:μf、σf分別為隨機(jī)變量f的均值和標(biāo)準(zhǔn)差;r、s分別為隨機(jī)變量R與S的小寫.

得到了Z的概率密度函數(shù)，則Z的均值為

當(dāng)然，若知道了R與S各自的均值時(shí)，Z的均值μZ也可直接由下式計(jì)算［9］.

將式(7)代入式(5)，得到路線轉(zhuǎn)彎半徑的可靠度計(jì)算公式為

當(dāng)路面摩擦系數(shù)f和運(yùn)行車速V并不服從正態(tài)分布時(shí)，式(6)、(7)并不適用，需要重新推導(dǎo)，或采用本文后面介紹的蒙特卡洛法(Monte Carlo法);但式(8)～(10)總是成立的.

2.3 可靠指標(biāo)

當(dāng)隨機(jī)變量R與S各自的概率特征數(shù)容易得出時(shí)，轉(zhuǎn)彎半徑的可靠指標(biāo)也可由下式直接計(jì)算得出［9］.

式中:μZ、σZ分別為隨機(jī)變量Z的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.

式(11)對(duì)于R與S是連續(xù)分布且不相關(guān)的情況總是適用的，不論是否正態(tài)分布［12］.得到了可靠指標(biāo)，可通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表［12］得到轉(zhuǎn)彎半徑的可靠度，即

式中:Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).

3 可靠度及可靠指標(biāo)的其他解法

上述求解可靠度及可靠指標(biāo)的方法，實(shí)際上是中心點(diǎn)法［13］，是建立在隨機(jī)變量都是正態(tài)分布的基礎(chǔ)上的.當(dāng)隨機(jī)變量不服從正態(tài)分布時(shí)，需要采用驗(yàn)算點(diǎn)法，也叫JC法［13］.中心點(diǎn)和JC法都屬于解析法.實(shí)際計(jì)算時(shí)，解析法很麻煩.因此，第3種計(jì)算方法，即計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真法，如Monte Carlo法［12］，便應(yīng)運(yùn)而生.

本文在此引入Monte Carlo法進(jìn)行轉(zhuǎn)彎半徑的可靠性設(shè)計(jì).當(dāng)已知各隨機(jī)變量的分布形式(如正態(tài)分布)和統(tǒng)計(jì)參數(shù)(如均值、方差)后，可通過編程產(chǎn)生服從已知分布的各隨機(jī)變量的大量隨機(jī)數(shù)，然后在這些隨機(jī)數(shù)中進(jìn)行大量隨機(jī)抽樣，把這些值一組一組地代入功能函數(shù)Z中，記下抽樣總數(shù)N及Z≤0的次數(shù)M.當(dāng)N→∞時(shí)，根據(jù)Bernoulli大數(shù)定律及正態(tài)隨機(jī)變量的特性可求得失效概率及可靠指標(biāo).

4 計(jì)算示例

某省道一事故多路段為山嶺重丘區(qū)二級(jí)公路的急彎路段，設(shè)計(jì)時(shí)速40 km/h，圓曲線半徑小(R=90 m)，不能滿足二級(jí)公路一般最小半徑R=100 m的要求;彎道內(nèi)側(cè)處為1座石山，故無視距平臺(tái);彎道處于連續(xù)上坡路段，縱坡大(i=6.286%)，坡長(zhǎng)455 m;彎道超高橫坡7%.該道路于2003年竣工，經(jīng)過2 a多的通車運(yùn)營，此急彎路段已發(fā)生數(shù)十起交通事故，直接死亡人數(shù)達(dá)23人.2005年此路段進(jìn)行了安全改造.根據(jù)交通事故資料，從事故形態(tài)和事故過程分析，該急彎路段的交通事故絕大多數(shù)為車輛橫向失穩(wěn)型路側(cè)傾覆事故.現(xiàn)場(chǎng)踏勘發(fā)現(xiàn)，此急彎路段路面上橫向擦痕多且明顯，應(yīng)為車輛下坡轉(zhuǎn)彎時(shí)橫向滑移所致;此外，彎道內(nèi)側(cè)的石山嚴(yán)重阻礙上、下坡車輛的通視，致使車輛會(huì)車視距、停車視距嚴(yán)重不足.現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，在急彎路段的坡底處，一般車速達(dá)70 km/h.

設(shè)計(jì)部門最終確定的改造方案將彎道半徑(JD1)從原來的90 m增大到173.362 m，超高從原來的7%降低至6%，并對(duì)彎道的通視條件進(jìn)行了改善.經(jīng)驗(yàn)算，各項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)均滿足規(guī)范［2］和指南［7］的要求.表1為運(yùn)行車速差驗(yàn)算，限于篇幅，其余驗(yàn)算內(nèi)容不再詳列.

表1 某省道事故多發(fā)路段安全改造設(shè)計(jì)方案的驗(yàn)算結(jié)果

下面，本文先對(duì)該路段改造前后彎道半徑的可靠性進(jìn)行計(jì)算，然后按可靠性設(shè)計(jì)進(jìn)行設(shè)計(jì).

4.1 可靠性計(jì)算參數(shù)的確定

4.1.1 彎道運(yùn)行車速均值及標(biāo)準(zhǔn)差的確定

要計(jì)算路線轉(zhuǎn)彎半徑的可靠度，必須知道所在彎道的平均車速及車速標(biāo)準(zhǔn)差.獲得平均車速及車速標(biāo)準(zhǔn)差的方法有2種:1)現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)法，表2為該法的實(shí)測(cè)結(jié)果;2)經(jīng)驗(yàn)公式法，從文獻(xiàn)檢索看，目前各國車速預(yù)測(cè)的經(jīng)驗(yàn)公式主要是85位運(yùn)行車速，關(guān)于平均車速及車速標(biāo)準(zhǔn)差經(jīng)驗(yàn)公式的文獻(xiàn)報(bào)道非常有限.本文對(duì)美國聯(lián)邦公路局研究報(bào)告［14］中的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，得到平均車速經(jīng)驗(yàn)公式為

式中:Vm為平均車速，km/h;R為彎道的轉(zhuǎn)彎半徑，m.

同時(shí)也對(duì)本文的檢測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，得到平均車速公式為

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，美國公式的預(yù)測(cè)結(jié)果要高.這可能跟中美兩國公路的路況、交通量及車型等因素不同有關(guān).考慮實(shí)際情況，本文采用式(14)計(jì)算彎道的車速均值和標(biāo)準(zhǔn)差.

對(duì)于車速標(biāo)準(zhǔn)差，文獻(xiàn)［15］認(rèn)為單個(gè)道路區(qū)段的設(shè)計(jì)指標(biāo)與速度離散性之間并沒有相關(guān)性，但當(dāng)實(shí)行限速管理后，則速度離散性與設(shè)計(jì)速度、交通管理中的速度限制的差異性相關(guān)，即有如下的相互關(guān)系.

式中:S、VD、VP分別為運(yùn)行車速標(biāo)準(zhǔn)差、設(shè)計(jì)車速和路段限速，單位都是km/h.

但國外研究［16］均表明，車速標(biāo)準(zhǔn)差與平均車速具有明顯的相關(guān)性，且最獲得承認(rèn)的成果為［17］

因此，本文采用式(16)計(jì)算各設(shè)計(jì)方案的車速標(biāo)準(zhǔn)差.

4.1.2 路面橫向力系數(shù)的確定

路面橫向力系數(shù)隨環(huán)境變異性很大［8］，本文采用有關(guān)研究的結(jié)果［18-19］綜合確定.

4.2 彎道半徑可靠性的計(jì)算

利用前面推導(dǎo)的計(jì)算公式，本文編制了基于MATLAB平臺(tái)和Monte Carlo法的路線半徑可靠度計(jì)算程序RRC1.0.將可靠性計(jì)算所必須的各參數(shù)值代入RRC1.0，即可計(jì)算出彎道半徑的可靠度，結(jié)果見表2.為了尋求滿足可靠度要求下的最佳路線轉(zhuǎn)彎半徑，本文計(jì)算了多個(gè)對(duì)比方案，據(jù)此畫出失效概率和轉(zhuǎn)彎半徑的關(guān)系，如圖2所示.

圖2 失效概率與轉(zhuǎn)彎半徑關(guān)系曲線圖

公眾心理調(diào)查表明［13］，膽大的人能接受的危險(xiǎn)率為10-3，謹(jǐn)慎的人允許的危險(xiǎn)率為10-4，當(dāng)危險(xiǎn)率為10-5或更小，公眾一般都不再考慮其危險(xiǎn)性.公路交通是各種常用交通方式中最危險(xiǎn)的一種，公眾對(duì)此雖然不滿意，但基本尚能接受.綜合技術(shù)經(jīng)濟(jì)方面考慮，可以采用10-3作為路線轉(zhuǎn)彎半徑可靠性設(shè)計(jì)的失效概率，則0.999即為目標(biāo)可靠度.

改造前原設(shè)計(jì)的道路安全狀況是令人無法接受的，其轉(zhuǎn)彎半徑的失效概率顯然太高(0.010 1)，而實(shí)施方案雖然能滿足現(xiàn)行規(guī)范的驗(yàn)算要求，但其失效概率(0.002 7)依然過高.要滿足可靠性設(shè)計(jì)的要求，轉(zhuǎn)彎半徑最小應(yīng)為270 m(超高6%).采用指南［7］對(duì)本文擬定的計(jì)算對(duì)比方案進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明，該方案能滿足指南的要求.

表2 某事故多發(fā)路段各設(shè)計(jì)方案可靠度計(jì)算結(jié)果

5 現(xiàn)行路線設(shè)計(jì)規(guī)范的隱含可靠度

采用RRC1.0可對(duì)現(xiàn)行路線設(shè)計(jì)規(guī)范允許采用的最小半徑的隱含可靠度進(jìn)行計(jì)算.下面僅對(duì)雙車道公路進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表3.表3中的隱含可靠度是以現(xiàn)行公路工程技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)條文說明［6］和現(xiàn)行路線設(shè)計(jì)規(guī)范［2］中的規(guī)定值為參數(shù)代入的.

表3表明，現(xiàn)行路線設(shè)計(jì)規(guī)范中關(guān)于雙車道公路最小半徑值的規(guī)定并不都能滿足可靠性設(shè)計(jì)的要求，設(shè)計(jì)時(shí)速80 km/h的二級(jí)公路都能滿足要求，設(shè)計(jì)時(shí)速60 km/h的二級(jí)公路只有一般最小半徑能滿足要求，三級(jí)公路在彎道實(shí)行限速管理?xiàng)l件下只有一般最小半徑能滿足可靠性要求，而四級(jí)公路的兩種最小半徑值即使在限速條件下也不能滿足可靠性要求.上述計(jì)算結(jié)果與我國公路交通事故的分布特征是相符的.

表3 現(xiàn)行路線設(shè)計(jì)規(guī)范中雙車道公路的隱含可靠度

6 結(jié)論

1)影響道路平曲線轉(zhuǎn)彎半徑設(shè)計(jì)的諸多因素都表現(xiàn)出較強(qiáng)的隨機(jī)性，在設(shè)計(jì)中將它們當(dāng)作定值處理是不合理的，應(yīng)視其為隨機(jī)變量.

2)現(xiàn)行路線設(shè)計(jì)規(guī)范的設(shè)計(jì)車速法未考慮參數(shù)的隨機(jī)性特征，無法從安全可靠度的角度解釋所設(shè)計(jì)彎道可承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)水平，而可靠性設(shè)計(jì)法彌補(bǔ)了這一不足，應(yīng)予以推廣.

3)算例及對(duì)規(guī)范隱含可靠度的分析表明，在路線轉(zhuǎn)彎半徑設(shè)計(jì)中，可靠性設(shè)計(jì)方法的要求更高，更有利于交通安全.

4)失效概率與轉(zhuǎn)彎半徑關(guān)系分析表明，存在滿足安全可靠性和經(jīng)濟(jì)造價(jià)2方面要求的最佳半徑.

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